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2024年广东省佛山市顺德区中考数学二模试卷
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．（3分）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（3分）剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）数学的英语单词为“”．现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，背面朝上洗匀．小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“”的概率是　　
A． B． C． D．
5．（3分）一元一次不等式组的解集为　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点．若，，则的长为　　
A．3 B． C．6 D．
7．（3分）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在函数图象上　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，点，分别在边，上，，，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
9．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是　　
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
二、填空题（5个题，每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：　　．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的点的坐标是 　　．
13．（3分）要使有意义，则的取值范围是 　　．
14．（3分）新定义：．若，则的值为 　　．
15．（3分）如图，菱形的边长为2，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则　　．
三、解答题（8个题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
17．（7分）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．
（1）求单位纸的用纸量月平均降低率；
（2）根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量．
18．（7分）人字梯主要用于登高作业．如图是人字梯完全打开后的实物图及示意图，其中点，为梯子的着地点，，上部夹角，点是人字梯最高级踏板与的交点，，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，
19．（9分）如图，点是外接圆上的一点，且在下方，连接交于点，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）给出下列三个条件：①，②，③，选出能求长的条件，写出解答过程．
20．（9分）如图，四边形是平行四边形．
【动手操作】
（1）将沿着过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请用尺规作图法作出点及折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
【计算应用】
（2）在（1）的条件下，，，连接．若平分，求的长．
21．（9分）综合与实践
某校要从甲、乙、丙三个射击运动员中挑选一人参加比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：环）如表所示：
数据统计表
射击次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 9 9 8 10 6 8 5 9 7 9
乙 7 8 9 7 9 8 9 8 7 8
丙 5 6 5 4 6 5 6 5 6 5
任务：学校要从这三个人中挑选一人参加比赛，根据所学统计与概率有关知识作出更加合理的选择，说明理由．
22．（11分）综合应用
如图，等边三角形的边长为，点，，分别是边，，上的动点，且满足，连接，，．
（1）证明：；
（2）设的长为，的面积为，求出与的函数表达式（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当时，有最小值，画出与的函数图象．
23．（13分）综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【问题情境】
分别以的两边和为边作正方形和．连接，探究与之间的关系．
【初步感知】
（1）如图1，若，直接写出与之间的关系；
【深入探究】
（2）①在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由；
②改变点的位置，画出异于前面两种情况的图形，判断与之间的关系是否依然成立？
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，，过点作，垂足为点，的延长线交于点．求证：．
2024年广东省佛山市顺德区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1．（3分）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
【解答】解：如果在微信零钱记录中，收入100元，记作元，那么支出50元应记作为元．
故选：．
2．（3分）剪纸是中国的传统艺术．下列剪纸图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
3．（3分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意；
、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
4．（3分）数学的英语单词为“”．现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，背面朝上洗匀．小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“”的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：数学的英语单词为“”，现把四个字母分别写在四张完全一样的卡片上，
小明随机抽取一张，抽中的卡片是字母“”的概率是，
故选：．
5．（3分）一元一次不等式组的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为．
故选：．
6．（3分）如图，矩形的对角线、相交于点．若，，则的长为　　
A．3 B． C．6 D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：．
7．（3分）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在函数图象上　　
A． B． C． D．
【解答】解：点在反比例函数的图象上，
，
中纵横坐标之积，
点在反比例函数的图象上．
故选：．
8．（3分）如图，点，分别在边，上，，，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
9．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，即△，
解得，
实数的值可以是2．
故选：．
10．（3分）如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（5个题，每题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：　　．
【解答】解：．
故答案为：．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的点的坐标是 　　．
【解答】解：将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
得到点的坐标是，
即，
故答案为：．
13．（3分）要使有意义，则的取值范围是 　　．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
14．（3分）新定义：．若，则的值为 　或2　．
【解答】解：，
，
可化为，
即，
，
解得，．
故答案为：或2．
15．（3分）如图，菱形的边长为2，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则　　．
【解答】解：过点作轴交轴于点，
菱形的边长为2，
，
，
，
，，
，，
把，代入，
．
故答案为：．
三、解答题（8个题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【解答】解：（1）
．
（2）去分母得：，
移项、合并同类项得：，
解得：．
检验：当时，，
分式方程的解为．
17．（7分）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．
（1）求单位纸的用纸量月平均降低率；
（2）根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量．
【解答】解：（1）设该单位纸的用纸量月平均降低率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该单位纸的用纸量月平均降低率为；
（2）根据题意得：（张．
答：预计5月份该单位纸的用纸量为512张．
18．（7分）人字梯主要用于登高作业．如图是人字梯完全打开后的实物图及示意图，其中点，为梯子的着地点，，上部夹角，点是人字梯最高级踏板与的交点，，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，
【解答】解：连接，过点作，垂足为，
，
，，
，
，
在中，，
，
点到地面的距离约为．
19．（9分）如图，点是外接圆上的一点，且在下方，连接交于点，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）给出下列三个条件：①，②，③，选出能求长的条件，写出解答过程．
【解答】（1）证明：，，
，，
是等腰直角三角形；
（2）解：选条件①②．．
理由：如图，过点作于点，交的延长线于点．
，
是直径，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
20．（9分）如图，四边形是平行四边形．
【动手操作】
（1）将沿着过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请用尺规作图法作出点及折痕；（不写作法，保留作图痕迹）
【计算应用】
（2）在（1）的条件下，，，连接．若平分，求的长．
【解答】解：（1）如图，点即为所求；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
．
21．（9分）综合与实践
某校要从甲、乙、丙三个射击运动员中挑选一人参加比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：环）如表所示：
数据统计表
射击次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 9 9 8 10 6 8 5 9 7 9
乙 7 8 9 7 9 8 9 8 7 8
丙 5 6 5 4 6 5 6 5 6 5
任务：学校要从这三个人中挑选一人参加比赛，根据所学统计与概率有关知识作出更加合理的选择，说明理由．
【解答】解：选甲参加比赛，理由如下：
由题意得，（环，
（环，
（环，
因为甲和乙的平均成绩相同且比丙高，所以从甲和乙中挑选一人参加比赛，
，
，
乙的成绩比甲稳定，
选甲参加比赛．
22．（11分）综合应用
如图，等边三角形的边长为，点，，分别是边，，上的动点，且满足，连接，，．
（1）证明：；
（2）设的长为，的面积为，求出与的函数表达式（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当时，有最小值，画出与的函数图象．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：过作于，如图：
同（1）可证，
，
，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
；
与的函数表达式为；
（3）解：，
当时，有最小值，
，
解得，
，
的图象顶点为，过点，，，，，，画出图象如下：
23．（13分）综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【问题情境】
分别以的两边和为边作正方形和．连接，探究与之间的关系．
【初步感知】
（1）如图1，若，直接写出与之间的关系；
【深入探究】
（2）①在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由；
②改变点的位置，画出异于前面两种情况的图形，判断与之间的关系是否依然成立？
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，，过点作，垂足为点，的延长线交于点．求证：．
【解答】（1）解：，理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，即，
，
；
②改变点的位置，与之间的关系依然成立，即，理由如下：
如图：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，即，
，
；
（3）证明：过作交的延长线于，连接，如图：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．

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