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专题3 焦点弦题 性质优先【讲】
【典例1】（2022年新高考全国Ⅱ卷第10题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【典例2】（2024·广西南宁·一模）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线上的A点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（ ）
A． B．9 C．36 D．
【典例3】（2017年高考全国Ⅰ卷理科第10题）已知F为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于，两点，直线与交于D，E两点，则的最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
上面三道题都与抛物线的焦点弦（过抛物线焦点的直线被抛物线截得的线段）相关．
抛物线的焦点弦的性质非常丰富，下面我们以抛物线为例，归纳出抛物线焦点弦的几条重要性质．
设AB是过抛物线的焦点的一条弦，，，直线AB的倾斜角为．
定理1 抛物线中的定值：，，．
定理2 抛物线的焦点弦的长度：．
定理3 抛物线中的面积：．
定理4 ．
证明 定理1证明如下．
当时，直线AB的方程为，代入中，有，不妨令，，则．
当时，设直线AB的斜率为，则，，．
联立得，则，．
以上两种情况都有．
进一步有
．
定理2证明如下．
由定理1，进一步得到
，
根据抛物线的定义，有
．
定理3证明如下．
．
定理4证明如下．
，
将上面证明中得到的，代入，化简即得．
注 如果抛物线的方程是，设AB是过抛物线的焦点F的一条弦，，，直线AB的倾斜角为，则可以类比得出关于其焦点弦的定理如下．
定理5 抛物线中的定值：，，．
定理6 抛物线焦点弦的长度：．
定理7 抛物线中的面积：．
定理8 ．
定理5～8可分别仿照定理1～4进行证明，在此略去．
【精细化解析 典例1】
第一步：由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A；
易得，由可得点A在的垂直平分线上，则A点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
第二步：表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
第三步：由抛物线的定义求出即可判断C选项；
由抛物线定义知：，C正确；
第四步：由，求得，为钝角即可判断D选项.
，则为钝角，
又，
则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
[精细化解析 典例2]
第一步：求出直线的方程为；
令，则，则点的坐标为的焦点为，
则，所以直线的方程为，
第二步：将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，则得到，即可求解弦长.
直线与抛物线方程联立，消去得，
由韦达定理得，
所以，
所以由抛物线的定义得.
故选：D.
【精细化解析 典例3】
第一步：设直线AB的倾斜角，根据垂直关系及焦半径公式求解弦长；
不妨设直线AB的倾斜角为，因为直线DE与直线AB垂直，所以直线DE的倾斜角为．
由定理2知，，，
第二步：根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，利用正弦函数性质求解即可.
故，
当且仅当时取等号，故所求最小值为16．故选A．
类型1 给定焦半径（焦点弦）的长度
例1 设为抛物线的焦点，过点作倾斜角为60°的直线交于，两点，若，则______
解析 因为，，
由题意知，所以解得，．
又，得，所以．
升华 根据定理4或定理8的结论，可知给定焦参数，焦半径，焦半径中的任意两个，可直接求出第三个．
【类题1-1】
1．已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，，则 ．
【类题1-2】
2．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为 ．
【类题1-3】
3．设抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值.
类型3 给定倾斜角（或斜率）求弦长
例3 已知F是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．3
解析 如图，过点作，由抛物线的定义知．因为，所以在中，有，所以，从而直线的倾斜角为．
方法一 由定理2和定理4得，
①，
②，
由①②两式得，，所以．故选B．
方法二 设，因为（为抛物线的离心率），，
由，得，即，所以，则．故选B．
方法三 由抛物线的定义知，
，，所以．故选B．
升华 由定理2（或定理6）知，抛物线的焦点弦长（或），可知给定焦参数，焦点弦长，直线的倾斜角中的任意两个，可直接求出第三个．
【类题1-1】
4．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点.若，点M到l的距离为4，则p的值为 .
【类题1-2】
5．斜率为且过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若，则实数 为
A．3 B．2 C．5 D．4
【类题1-3】
6．若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ．
类型4 给定倾斜角（或斜率）求面积
例4 在平面直角坐标系xOy中，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为60°，则的面积为______．
解析 因为，，由定理3可得①．
另一方面，由定理4得，
由定理2得，即，
联立即得，，故 ②.
由①②两式，解得．
升华 由定理3（或定理7）可知，（或），由抛物线的方程（焦参数）和焦点弦所在直线的倾斜角，即可求得抛物线的顶点与弦的端点构成的三角形的面积．
【类题1-1】
7．已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为 .
【类题1-2】
8．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为 ．
【类题1-3】
9．已知抛物线)的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列四个命题中正确的是( )
①；
②若M(1，1)，P是抛物线上一动点，则的最小值为；
③；
④(O为坐标原点)的面积为.
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设点，根据韦达定理可求得的值，又根据抛物线定义可知，代入可得其值为，再由，即可得到.
【详解】由题意知焦点，准线方程为，
当直线斜率存在时，设过点的直线为，
代入抛物线方程，得，
化简后为：，
设，则有，
根据抛物线性质可知，
，
又由，则.
当斜率不存在时，直线方程为，此时，不成立.
故答案为：.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．4
【详解】设过抛物线：的准线 与 轴交于点 ，与直线 交于 ，过 作 的垂线，垂足为 ，作 于 ，根据相似三角形性质可得是中点，可得，，，故答案为.
3．（1）（2）
【分析】(1)代入计算即可.
(2) 设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.
【详解】解：
（1）因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.
【点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.
4．3
【分析】方法一，当斜率为0时，不合要求，设出PQ：，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由得到，进而求出，，由点M到l的距离为4得到方程，求出；
方法二：设PQ的倾斜角为，使用焦点弦的二级结论得到方程，求出答案.
【详解】方法一：当斜率为0时，过F的直线与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设PQ：，，，
由与联立，得，所以．
由，得，代入，得，
故，．
因为M为的中点，所以点的横坐标为，
因为点M到l的距离为4，所以，
即，故，解得；
方法二：设PQ的倾斜角为，则，
由得，即，
解得，则，
由点M到l的距离为4，得，即，所以．
故答案为：3
5．D
【解析】求得抛物线的焦点坐标，得直线方程为，联立方程组，求得，在根据向量的坐标运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，设，
直线方程为，联立，化为，
解得，
因为，所以，解得，故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了向量的坐标运算，其中把直线的方程和抛物线的方程联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．
【分析】设，其中点为C，将A，B两点代入抛物线方程，结合斜率公式与，
可得，即可得，后由抛物线定义可得，即可得答案.
【详解】设，其中点为C，坐标为.
将A，B两点代入抛物线方程，有，
两式相减可得：，设，
则，因，
则.
又，则.
又准线方程为，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为，
则由抛物线定义，可得.故.
故答案为：.
7．
【分析】先写出直线方程，联立椭圆求得，，再由计算面积即可.
【详解】
由题意知，的方程为，代入的方程得，所以，设，
则，，所以.
故答案为：.
8．2
【分析】易知直线和的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理，可求出的表达式，同理可得出的表达式，由四边形的面积，并结合基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】由题意可知，直线和的斜率都存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
焦点的坐标为，则直线的方程为，
联立，得，
则，
所以，
同理可得，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以四边形面积的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生的数学运算能力.
9．C
【分析】根据求出p﹒①验算在A和B处切线斜率是否为－1；②根据抛物线定义，数形结合即可求解；③根据抛物线焦点弦性质即可求解；④根据三角形面积公式即可计算.
【详解】∵过点且倾斜角为，∴直线的方程为，
与抛物线方程联立得：，设，，，，
则，
.
易得.
不妨设，则，
当时，，∴过点的切线斜率为，
同理过点的切线斜率为，
∴，∴①正确；
设P到准线距离为，点到准线的距离为，
若，则，当与y轴垂直时等号成立，则②正确．
，故③错误；
，故④错误；
故选：C．
答案第1页，共2页
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