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专题4 离心率题 定义方程【讲】
【典例1】（2023·全国1卷高考）已知双曲线的左、右焦点分别为．点A在上，点在轴上，，则的离心率为_____．
【典例2】（2022年高考全国乙卷理科第11题）双曲线的两个焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过点作圆的切线，与双曲线交于M，N两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022年高考浙江卷第16题）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是______．
离心率是圆锥曲线的一个非常重要的特征量，求椭圆或双曲线的离心率（或离心率的取值范围），是高考及各类考试的热点问题．
椭圆的离心率，描述的是椭圆的扁平程度，在图象上表现为越大，椭圆的形状越扁平．
双曲线的离心率，其中是双曲线的一条渐近线的斜率（为该渐近线的倾斜角），它是描述双曲线开口大小的特征量，在图象上表现为越大，双曲线的开口越大．
离心率问题的求解，就是从“形”或“数”的角度入手，建立a，b，c的关系式，通常有如下三个视角．
定义视角：利用椭圆或双曲线的定义，借助曲线上的点到两焦点的距离之和（差）等于定值，建立a，b，c的关系式．
坐标视角：标准方程是圆锥曲线的量化体现之一，借助曲线上的点（如两直线的交点、直线与曲线的交点）的坐标满足曲线的方程，建立a，b，c的关系式．
平面几何视角：在用代数方法研究曲线间的关系的同时，要善于挖掘并充分利用图形本身所具有的平面几何特征，从几何性质（如三角形的相似性质、三角形中位线的性质、平行四边形的性质、直角三角形中的勾股定理等）着手，借助几何条件建立a，b，c的关系式．
【精细化解析 典例1】
第一步：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式；
依题意，设，则，
第二步：利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
[精细化解析 典例2]
第一步：分类讨论，利用几何性质列方程，求解离心率；
情形１当两个交点M，N都在双曲线左支上时，设切点为，连接OP，
则，
作，交MN于点，则，
且．
由，可得，所以．
而，
又，所以，可得．
第二步：根据余弦定理，结合双曲线定义，利用双曲线定义求解离心率.
情形2 当两个交点M，N分别在双曲线的两支上时，设切点为，连接OP，如图，
则．
仿情形1，由，可得，
则，所以，．故选AC．
【精细化解析 典例3】
第一步：联立直线AB和渐近线的方程，可求出点的坐标；
如图，过点且斜率为的直线，渐近线，
联立得．
第二步：根据可求得点的坐标，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
由，得．
而点在双曲线上，于是，解得，所以离心率．
类型1 定义法
例1 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为的延长线交于点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
思路 设．利用椭圆的定义表示出，在中表示出，在中，，，表示出，得到a，b，c的齐次式，即可求得椭圆的离心率．
解析 由椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为
可得．
如图，．
设，则．
由椭圆的定义可得，即，解得．
所以在中，，所以．
在中，，
所以．
从而，即，所以，得（舍去）．故选D．
升华 与椭圆或双曲线的焦点三角形相关的离心率求解问题，一般可借助定义列出等量关系式．在已知焦点三角形内角的条件下，求离心率，有以下两个常用的结论：
（1）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的动点，若，则椭圆的离心率；
（2）设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线上的动点，若，则双曲线的离心率．
证明 （1）设，由正弦定理及椭圆的定义可得，
，从而，
即，所以．
（2）双曲线的情形类似可证，此处略．
【类题1-1】
1．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
2．已知分别为双曲线的左，右焦点，过右焦点倾斜角为的直线与双曲线的两支分别相交于A，B两点，且点A在右支上，，则此双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．2
【类题1-3 】
3．设、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段垂直平分线经过 ，若和的离心率分别为、，则的最小值（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
类型2 坐标法
例2已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则的离心率为______．
解析 方法一（坐标视角，由“数”入手）由，可知点是以为直径的圆与直线的交点．由得．
又，所以为线段的中点，可得．
又点在直线上，所以，即，故．
方法二（坐标视角，由“数”入手）如图，由，且，得，
则直线，联立解得，
则，
所以，
整理得，所以，即，所以．
方法三（坐标视角，由“数”入手）设，则．
在中，，设，
则，即，
易知，得，得．故．
方法四（平几视角，由“形”入手）由知，为的中点，．
又，所以OA为的中位线，且，故．
因此．
故．
注 在得到为正三角形之后，也可以按照以下方法求解：
易知直线AB的方程为，即，故点到直线AB的距离为，所以．
在中，，则，故．
本题的一个变式是2019年之江教育联盟第二次联考第16题．
已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则的离心率为______．
解析 方法一由知，点的轨迹是以为直径的圆，
不妨设点在第一象限，联立可得．
由，得到，解得．
由点在直线上，得，则，求得．
方法二 如图，设．
在和中，由正弦定理，可得，
由，可知点的轨迹是以为直径的圆，所以，
且，所以，
又，所以，即，解得，
因此．
升华 解析几何的本质就是坐标法．用椭圆或双曲线的参数a，b，c表示曲线上的动点的坐标，根据动点满足的条件，建立关于a，b，c的关系式，求出离心率．可以从代数的角度（联立方程）切入，通过联立两直线的方程解出动点的坐标；也可以从三角函数的角度切入，通过三角函数的定义、解三角形等方法求出动点的坐标．
【类题1-1】
4．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【类题1-2】
5．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【类题1-3 】
6．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
类型3 几何法
例3 为双曲线的两焦点（焦点在轴上），直线AB经过点且与双曲线左、右两支分别交于点，求双曲线的离心率．
思路 （平几视角）由“形”入手，根据双曲线的定义，利用余弦定理，分别在和中建立a，b，c的关系式．
解析 如图，设．由，可得．
由，得．
在中，，，解得．
在中，，，解得．，故双曲线的离心率为．
升华 挖掘并利用图形本身所具有的平面几何性质，可以简化运算，优化过程．本题的解法，是由“形”入手，通过三角形建立关于a，b，c的关系式，求出离心率．
【类题1-1】
7．经过双曲线右焦点的直线与的两条渐近线，分别交于，两点，若，且，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
8．两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3 】
9．如图，，是离心率都为的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，．若直线，的斜率分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理即可得到，从而可求出结果.
【详解】由题意知延长则必过点,如图：
由双曲线的定义知，
又因为，，所以，设，则，因此，从而，所以，又因为，所以，即，即，
故选：B.
2．A
【分析】设双曲线的半焦距为c，则，然后在直角三角形中，，可求出，然后利用定义建立方程可得答案.
【详解】设双曲线的半焦距为c，则，
由过右焦点倾斜角为的直线，可得，
在直角三角形中，可得，
由双曲线的定义可得，
即，
所以．
故选：A
3．D
【解析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出，即可得，计算，展开后利用基本不等式即可求最值.
【详解】设椭圆的方程为，则，
设双曲线的方程为，则，
因为椭圆和双曲线的焦点相同，
所以，设即，
因为是椭圆和双曲线的一个公共点，
所以，，
因为线段垂直平分线经过，所以，
所以，且，
所以，可得，
所以，，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出，进而可得，
再利用基本不等式可求最值.
4．2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
5．A
【分析】由中点B，且得，由点到直线距离公式得，从而得，通过三角形全等证得△MNB为等边三角形，然后得，从而计算出离心率．
【详解】记M为双曲线C：的渐近线上的点，因为，且，所以，．
所以．因为右焦点到渐近线的距离，
所以．所以，所以，
所以，所以，
又因为，．
所以△MNB为等边三角形，所以，所以，
即，所以．
故选：A．
6．D
【分析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
7．A
【分析】求双曲线的渐近线，并求直线与渐近线交点坐标，再由向量方程可得解.
【详解】双曲线渐近线为：，焦点，
设直线方程：，
则由列方程组可得；
同理可得；
因为，所以，
得，，而；
因为，所以，
所以.
故选：A.
8．B
【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于，可得，所以椭圆的离心率为；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.
【详解】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，
联立消去可得：，
因为直线为椭圆的切线，所以，
化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.
故选：B.
法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.
设切点，，，，
切线：，切线：，
∴①，②，
又∵，即，即，即，
∴，同理，∴，∴，
将，代入椭圆中得：，经分析得：，
由①②可知，∴，∴，∴.
故选：B.
9．C
【详解】不妨设，，
∴，代入的方程得：
，
，
化简得．
代入得．
．
化简得．∴，∴，
故选C．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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