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专题1 千年古图 巧用定理【讲】
【典例1】．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】．（2021年高考全国乙卷理科）已知抛物线的焦点为F，且点F与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值．
【典例3】（江西省上高二中2023年高三全真模拟考试）已知抛物线与双曲线有一个公共焦点F，过上一点向作两条切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．49 B．68 C．32 D．52
题组中的三道题，涉及抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形常被称为阿基米德三角形．《普通高中教科书数学选择性必修第一册A版》第139页习题3.3拓广探索第12题（1）对应的结论即为阿基米德三角形．
阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明了如下结论：
抛物线的弦与抛物线所围的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形面积的三分之二．
阿基米德（Archimedes，前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家和机械发明家，并享有“数学之神”的称号，他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．
自公元前三世纪至今，历经了两千多年的风霜雨雪，阿基米德三角形犹如一颗闪耀的明珠，以其深刻的背景、丰富的内涵，散发出无穷的魅力，在数学发展的历史长河中不断闪烁着真理的光辉．阿基米德三角形一直是高考命题者青睐的图形，其性质自然是命题的热点素材．
阿基米德三角形的性质
下面的讨论，我们均以抛物线为例．
如图，抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德的底边．
定理1 1．点P的坐标为；
2．底边AB所在的直线方程为；
3．的面积．
证明 1．由于过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，联立这两个方程，消去y，可得，再将代入点A处的切线方程，可得．
这表明，点P的坐标为．
2．直线AB的斜率为，故直线AB的方程为，化简即得．
3．由1和2可得点P到直线AB的距离为，
又，
故的面积为．
推论1 1．阿基米德三角形底边上的中线平行（重合）于抛物线的对称轴；
2．设点P的坐标为，则底边AB所在直线方程为．
证明 1．如图，设Q为底边AB的中点，由定理1.1可知，点P与点Q的横坐标相同，故PQ与y轴平行或重合．
2．将定理1.2中直线AB的方程，化为，
再由定理1.1知，，，代入即得．
定理2 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则另一顶点P的轨迹为一条直线，其方程为．
证明 设，由定理1得到，，
于是有，．
由A，B，C三点共线得，即．
将，代入得，
此即点P的轨迹方程，显然，它表示一条直线．
特别地，当定点C在y轴上时，由定理2可得以下推论．
推论2 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则：
1．另一顶点P的轨迹方程为；
2．（定值）．
证明 1．根据定理2的结论，将代入点P的轨迹方程，得．
2．将代入定理1.2中直线AB的方程，得，即．
从而．
特别地，当时，进一步有以下推论．
推论3 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线的焦点，则：
1．另一顶点P的轨迹为准线；
2．；
3．；
4．面积的最小值为．
《普通高中教科书数学选择性必修第一册A版》第146页复习参考题3第16题抛物线的情形即对应以上推论．
事实上，将分别代入推论2.1和2.2，即得推论3.1和3.2．
下面证明推论3.3和3.4．
若阿基米德三角形的底边AB过抛物线的焦点，则点的坐标满足定理1.2中直线AB的方程，代入可得，即，
由定理1.1得，因为，所以．
又，则，
所以，即推论3.3成立．
设Q为AB的中点，于是根据推论1.1知，PQ与x轴垂直，于是，
从而，即推论3.4成立．
定理3 如图，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D，则有．
证明 由定理1.1知点P，C，D的横坐标分别为，，，
所以，
，
从而．同理得．故．
推论4 1．若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德的边PA，PB分别交于点C，D，则有；
2．抛物线和它的一条弦所围图形的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
证明 1．设，记，则，即．
同理，，．
因为，
于是，
所以，
又，所以．
2．设C是阿基米德的边PA的中点，过点C作抛物线的切线，切点为E，CE交PB于点D．
由定理3可得，．
设Q为AB的中点，则可得P，E，Q三点共线，且．
这表明，在阿基米德三角形中，与底边平行的中位线是抛物线的一条切线，且切点就是这条切线与底边上中线的交点（如图）．
根据此结论，可知：
，
．
同理，．
对和，分别作与底边平行的中位线，有与上面相同的结果，类似地这样无限操作下去，抛物线和弦AB所围图形的面积S就等于无限多条边的凸多边形的面积，且可无限分割求和．
．
【精细化解析 典例1】
第一步：设出直线方程，联立抛物线求得；
易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得，显然；
第二步：通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积.
又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等. 故三角形PAB的面积的最小值为4.
故选：C.
[精细化解析 典例2]
第一步：根据抛物线的定义，利用点到直线的距离求解最值；
（1）抛物线C的焦点为，，
则点F与圆上点的距离的最小值为，解得．
第二步：结合韦达定理及三角形性质，再根据阿基米德定理求解最值即可.
（2）设点，，，
根据推论1.2可得直线AB的方程为，
由可得，
由韦达定理可得，，
所以根据定理1.3得，，
因为点P在圆M上，
所以，
由已知可得，所以当时，面积的最大值为．
【精细化解析 典例3】
第一步：根据条件求得双曲线方程，进而求得抛物线方程；
因为点P在双曲线上，所以，
所以双曲线的方程为，由此不难求出公共焦点，所以，，
所以抛物线的方程为．
第二步：根据阿基米德三角形性质结合焦半径公式求解弦长即可.
根据推论1.2可知直线AB的方程为，
联立化简可得．
设，，则，，
所以
．故选A．
类型1 线段长度问题
例1 已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点满足，则（ ）
A． B． C．5 D．6
解析 已知是阿基米德三角形，根据阿基米德三角形的有关性质可知，，易知，所以，所以．由得，由此可得，所以，故选C．
【类题1-1】
1．已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线和x轴分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线的另一个交点为Q．过点B作交PF于点C，若，则等于（ ）
附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德的底边．

定理：点P的坐标为；
推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则另一顶点P的轨迹方程为.
A． B． C． D．
【类题1-2】
2．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于、两点，且（为非零常数）.以为切点作抛物线的切线交直线于点，则的长度为 .（结果用含式子表示）.
【类题1-3 】
3．已知过点作抛物线的两条切线，切点为，，直线经过抛物线的焦点，则 .
类型2 轨迹问题
例2 如图，抛物线，，点在抛物线上，过点M作的切线，切点为A，B（当点M为原点O时，点A，B重合于点O）．当时，切线MA的斜率为．
（1）求p的值；
（2）当点M在上运动时，求线段AB的中点N的轨迹方程（当点A，B重合于点O时，中点为O）．
思路 对于第（2）小题，以A，B两点的横坐标，为参数，表示线段AB的中点N的坐标，通过点M在抛物线上得到轨迹方程．
解析 （1）因为过抛物线上任意一点的切线的斜率为，
又已知切线MA的斜率为，
可得点A的坐标为，故切线MA的方程为．
因为点既在切线MA上，又在抛物线上，于是
，，得．
（2）设，，，．
由点N为线段AB的中点，知
①，
②，
由定理1.1可得点，由于点M在抛物线上，故得
③．
由①②③式得，．
当时，点A，B重合于原点O，AB的中点N即为O，点N的坐标满足．
因此线段AB的中点N的轨迹方程为．
升华 本题的一般情形如下：
设抛物线的阿基米德底边AB的中点为Q，
设，，，，则，，
，
根据定理1.1，点P的坐标为，即．
当点P在曲线上运动时，可求得阿基米德底边AB的中点Q的轨迹方程为．
比如，令，则，可得例2中点N的轨迹方程为．
【类题1-1】
4．已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【类题1-2】
5．已知直线过抛物线：的焦点，与交于，两点，过点，分别作的切线，交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3 】
6．已知曲线的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数使得，曲线C在点A，B处的切线交于点D．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当时，求四边形ADBE的面积．
类型3 面积问题
例3 （2023·青海西宁·二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值．
【详解】设且，直线，联立，
整理得，则．
设过点的切线方程为，联立，
整理得，由，可得，
则过A的切线为：，即，即，即，
同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，
联立两切线，则，
所以两条切线的交点在准线上，则，
两式相减得，
，可得，，
又因为直线的斜率为，（也成立），
如图，设准线与轴的交点为，
的面积，
当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时的面积取最小值．
故选：B
升华 本题的一般情形如下：
如果抛物线的阿基米德的底边AB经过抛物线的焦点F，且，则．
由基本不等式知，故，与推论3.4的结论一致．
【类题1-1】
7．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A B两点，分别过A B两点作抛物线的切线，相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为 .
【类题1-2】
8．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为
A． B． C． D．
【类题1-3 】
9．过点P(2，－1)作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
类题3-3 （2019年7月中学生标准学术能力诊断性测试第20题）
10．已知抛物线与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）试求△PAB面积的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
根据题意可知：为抛物线的阿基米德三角形，AQ也与抛物线相切，结合平行关系可得，可得，，联立求解即可.
【详解】因为直线PQ过抛物线的焦点，
由推论可知以PQ为底边的阿基米德三角形的另一个顶点P的轨迹方程为，
又因为切线PA与直线相交于点A，
故为抛物线的阿基米德三角形，AQ也与抛物线相切．
如图，设点P，Q在直线（抛物线的准线）上的射影分别为，，
连接，，与x轴相交于点D．

由可得．
因为，则．
又因为，所以．
设，，则有①．
由定理可得，得，
即，故②．
联立①②两式，解得，，
故．
故选：C．
2．
【分析】设直线的方程为，联立直线的方程与抛物线的方程，列出韦达定理，结合得出点的横坐标，然后利用导数求出抛物线在点处的切线方程，并求出点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出的长度.
【详解】设点、，抛物线的焦点为，设直线的方程为，
联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，
由韦达定理得，.
，，，，，
，得.
抛物线的函数解析式为，求导得，
则抛物线在点处的切线方程为，即，
联立，解得，所点，
因此，，
故答案为.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题.
3．
【分析】设设，在抛物线，过切点与抛物线相切的直线斜率为，进而联立方程并结合判别式得，进一步得以为切点的切线方程为，同理以为切点与抛物线相切的直线方程为，再结合在两条切线上得弦的方程，再根据弦过抛物线的焦点得，进而抛物线方程为，直线的方程，再联立方程计算即可得答案.
【详解】解：设，在抛物线，过切点与抛物线相切的直线斜率为，
则以为切点的切线方程为，
与抛物线联立方程得，
所以，整理得，
所以，解得，
所以以为切点的切线方程为，整理得，
同理，设，在抛物线，过切点与抛物线相切的直线方程为，
又因为在切线和，
所以，，
所以直线的方程，
又因为直线经过抛物线的焦点，
所以令得，即
所以抛物线方程为，直线的方程
联立方程得或，
所以，
所以
故答案为：
4．B
【分析】设，，的重心为，由定理1.1知，再由重心公式得到，，代入直线方程整理即可．
【详解】设，，的重心为．
由定理1.1知，则由三角形的重心坐标公式，
可得，
．
于是，，，
由点在直线上得，即．
其中定理1.1及证明：如图，抛物线上两个不同的点，的坐标分别为，，
以，为切点的切线，相交于点，我们称弦为阿基米德的底边．
定理1.1．点的坐标为；
证明：由，则，
所以过点的切线方程为，
过点的切线方程为，联立这两个方程，
消去，可得，再将代入点处的切线方程，
可得．
这表明，点的坐标为．
故选：B．
5．A
【分析】将交换，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，然后由导数的几何意义，写出抛物线在点、处的切线方程，联立求出交点坐标，即可求出点的轨迹方程．
【详解】解：将抛物线翻转为，设翻转后的直线的方程为，
翻转后两点的坐标分别为，，
则，可得，①
因为，所以，
所以由导数的几何意义，易得抛物线在点处的切线方程为，
同理可得抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，
又由①可得，
所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：A.
6．(1)；
(2).
【分析】
（1）由题意知、、三点共线，可设直线的方程为，并设点，，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，利用导数求出曲线在点、处的切线方程，将两切线方程联立，求出点的坐标，即可得出点的轨迹方程；
（2）由，利用坐标运算得出，代入韦达定理解出，根据对称性取，求出线段的中点的坐标为，由转化为可求出点的坐标，并得出点的坐标，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式分别计算出和的高，并计算出这两个三角形的面积，相加即可得出四边形的面积.
【详解】（1）曲线就是抛物线，它的焦点坐标为，
存在实数使得，则、、三点共线，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去，整理得，，设，，
则，，由，求导得，切线斜率，
曲线在点处的切线方程是，即，
同理得曲线在点处的切线方程是，
由，得，因此点的坐标为，
所以点的轨迹方程为.
（2）当时，由，得，则，
于是，解得，，，由对称性不妨取，
，
设的中点为，则，，
由点在以点为直径的圆上，得，
设，则，即，解得，则，
将直线的方程，即，
则点到的距离，
因此，
由（1）点，即，点到的距离
因此，
显然、在两侧，所以四边形ADBE的面积．
7．4
【分析】设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可.
【详解】易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，
联立得， 显然；
又PF⊥AB可得，即，化简得，
过作轴交于点，如图所示：
则，
所以为中点，故，
故，
当且仅当时取等，
故三角形PAB的面积的最小值为4，
故答案为：4
8．C
【分析】先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得的坐标表示出点到直线的距离，设直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理和求出，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值
【详解】物线C：的焦点坐标为，
∴，∴，
抛物线C：，
设，，
∵，∴，
过点A的切线方程为，令，得，
过点B的切线方程为，令，得
则两切线的交点为，
由AB过点，设直线方程为，
由，消y可得，
∴，，
∴，
∴，
当时，此时面积最小，最小值为，故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题
9．C
【分析】由已知抛物线方程求导得，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得出点A，B处的切线方程，求得点E ，F，又由这两条切线都过点P(2，－1)，得，得lAB过定点(0，1)，得出面积的表示式，可得答案．
【详解】由得，求导得，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则点A，B处的切线方程为，
即x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，
因为这两条切线都过点P(2，－1)，则，
所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线的切线方程，运用函数的导函数求切线，属于中档题．
10．（1）见解析； （2）.
【解析】（1）借助导数，可求得在A，B两点的切线方程PA，PB，由于P点在两条切线上，结合方程，可得直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，可得定点.
（2）将直线AB与抛物线联立，利用弦长公式，点到直线距离公式表示三角形的底和高，继而表示面积，配方，求解最小值，即可.
【详解】（1）由求导得y′＝x，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
其中
则kPA＝x1，
PA：y﹣y1＝x1（x﹣x1），
设P（x0，kx0﹣1），
代入PA直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，
PB直线方程同理，
代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，
所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，
即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；
（2）直线l方程与抛物线方程联立，
得到x2﹣2kx+2＝0，
由于△<0,k2＜2．
将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入，
得，
所以，
，
设点P到直线AB的距离是d，
则，
所以，
所以面积最小值为．
【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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