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专题2 球组合体 补体性质【讲】
【典例1】．（23-24高三上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】．（23-24高三上·广东湛江·期末）已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，若三棱锥外接球的体积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．8
定义：空间中，若一个定点到一个几何体的各顶点的距离都相等，则这个定点就是该几何体的外接球的球心．
性质：球心与截面圆（小圆）圆心的连线垂直于截面圆．
根据上述定义与性质，可以得到以下确定简单多面体外接球的球心位置的结论．
①长方体的外接球的球心是其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
②直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，半径可在球心、底面三角形外心、底面一个顶点构成的直角三角形中求解．
③正棱锥的外接球的球心在其高线上，半径可在球心、底面三角形外心、底面一个顶点构成的直角三角形中求解．
④若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
⑤过几何体的两个面（外心较易找到）的外心分别作这两个面的垂线，垂线的交点即为球心．
在画球的内接四面体的底面时，通常将一点画在球的边界上，另外两点放置于截面圆的圆弧的其他位置．当分别为任意三角形、等边三角形、直角三角形时的情形及几何量的内在基本关系如图1、图2、图3（为的外心，平面，为圆的半径，为球的半径，）．
图1 图2 图3
对任意，由正弦定理可得（图1）；
对等边，（图2）；
对（图3）．
【精细化解析 典例1】
第一步：将三棱锥转化为长方体，转化为长方体外接球；
如图，将三棱锥转化为长方体，
可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
第二步：结合长方体的外接球以及长度关系运算求解.
则，可得，
则外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
[精细化解析 典例2]
第一步：根据条件得到三棱锥中的线面关系，利用球的性质确定球心；
在三棱锥中，平面，
由二面角为，，得是正三角形，令其外接圆圆心为，
则，令三棱锥外接球的球心为，球半径为，
则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，
第二步：结合球的截面圆性质确定球心位置，再求出球半径即得.
令线段的中垂面交于，
则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱锥外接球的表面积.
故选：C
【精细化解析 典例3】
第一步：由已知可得，结合直角三角形的性质，找到棱锥外接球的球心为的中点；
因为，所以，
又因为，所以，取的中点，连接，
所以为三棱锥的外接球的球心，外接球的体积为，
第二步：求得，再由基本不等式可求得的最大值.
所以，则，所以，则，
因为，两边同时加上，则，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
则的最大值为.
故选：A.
类型1 定义找心
例1 （2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.
【详解】过三角形的中心作平面的垂线，
过三角形的中心作平面的垂线，两垂线交于点，连接，
依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，
因为，所以，
则，即外接球半径为，则该球的表面积为，
故选：C.
升华 根据外接球的定义，确定到多面体各顶点距离相等的点．例如，两个面是具有公共斜边的直角三角形的四面体的球心为斜边中点；直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点处．常见的模型有：
1.1 共斜边的和构成的四面体的外接球的球心位于斜边的中点处．
1.2 在三棱锥中，若平面，作的外接圆的直径，则球心位于的中点处．
1.3 在三棱锥中，若平面平面，且，则球心就是的外心．
1.4 直棱柱或圆柱外接球的球心在上下底面中心连线的中点处．
【类题1-1】
1．在三棱锥中，，，，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【类题1-2】
2．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3 】
3．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
类型2 垂线找心
例2 四边形是菱形，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
解析 过与的外心分别作两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心．
如图，取的中点，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，又，所以．
设，则，由此得，球的半径，三棱锥的外接球的体积为．故选B．
升华 如图，取球面上的任意两个小圆（所在平面不平行），过各自圆心分别作两个圆所在平面的垂线，这两条垂线的交点即为球心，这两个小圆即多面体的两个面的外接圆．因此可在过多面体面的外心且垂直于底面的直线上寻找多面体外接球的球心．
为便于找到球心，常选择多面体中具有特殊形状的面（如直角三角形、等腰三角形、正方形等）进行分析．
若多面体有一个面为直角三角形，则在过斜边中点且垂直于直角三角形所在平面的直线上寻找球心；
若多面体有一个面为等边三角形，则在过等边三角形的中心且垂直于等边三角形所在平面的直线上寻找球心；
若多面体有一个面为矩形，则在过矩形的中心且垂直于矩形所在平面的直线上寻找球心；
若多面体涉及二面角大小，设过二面角两个半平面所在三角形外心且分别垂直于两个半平面的直线为，则球心为的交点．
由例2，可以归纳出以下“二面角”模型结论：
如图，二面角的大小为分别为的外心，为的中点，，则三棱锥的外接球半径．
事实上，由分别为与的外心，为的中点，可知，为二面角的平面角，即．
设三棱锥的外接球的球心为，则平面，平面，故得，四边形为圆内接四边形，且为该圆的直径．
在中，由余弦定理可得
于是四边形的外接圆直径为
在中，由勾股定理可得．
【类题1-1】
（23-24高三上·浙江绍兴·期末）
4．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 .
【类题1-2】
（2022·全国·模拟预测）
5．已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3 】
（2024·陕西宝鸡·一模）
6．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
类型3 补形找心
例3 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是______．
思路 补“锥”成“柱”，则外接球球心在直三棱柱上下底面外心连线的中点处．
解析 因为，所以．
因为，所以．
如图，以为底面，为棱，将三棱锥补成直三棱柱，其高．
在中，，则，
于是的外接圆半径．
三棱锥外接球的球心在上下底面外心的连线上，
其半径，
所以外接球表面积为．
升华 对某些特殊多面体，可通过构造直三棱柱、长方体等几何体，使多面体的顶点为直三棱柱或长方体的顶点，将多面体“镶嵌”在直三棱柱、长方体内，借助直三棱柱、长方体外接球的球心寻找所研究多面体的外接球球心．常见的类型有以下几种．
侧棱垂直于底面的棱锥可以补成直棱柱．
三条棱两两垂直的四面体可以补成长方体，长方体的体对角线的中点即为球心．
“墙角”型
三条棱两两垂直且共顶点：在三棱锥中，过点的三条棱两两互相垂直，即，可构造分别以为长、宽、高的长方体．
“直角垂线”型
三组对棱分别垂直：在三棱锥中，平面，可构造以的两条直角边和垂线分别为长、宽、高的长方体．
3“对棱”相等型
若四面体三组对棱分别相等，则可构造以三组对棱为六个面的对角线的长方体．
特别地，当（即四面体为正四面体）时，长方体就变成了正方体．
【类题1-1】
7．在三棱锥中，，，，且二面角为120°，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-2】
（2024·四川自贡·一模）
8．中，，将绕旋转至处，使平面平面，则多面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【类题1-3 】
（2023·江苏徐州·模拟预测）
9．在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
类型4 坐标找心
例4 在四面体中，已知，则四面体的外接球半径是______．
思路 将四面体置于正方体中，建立空间直角坐标系，算出球心的坐标．
解析 由题意知该四面体以为顶点的3个角都相等，容易联想到正四面体．
又由可知，只需要将延长到点，使得，则四面体就是正四面体，此时便可将四面体放入边长为的正方体中．
如图，建立空间直角坐标系，设，其中．
再设外接球的球心为，
则可得方程组解得
故外接球的半径为．
升华 通过建立空间直角坐标系，利用球心到四个顶点的距离相等求出球心坐标，用计算代替推理，减少空间想象能力．
类题
10．四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】由，可知为三棱锥的外接球的一条直径，过点作平面，可知为外接圆的一条直径，计算出的长度，再利用勾股定理计算出的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.
【详解】设的中点为点，，，
为三棱锥的外接球的一条直径，
过点作平面，垂足为点，
、、平面，，，，
，，由勾股定理可得，同理可知，
，为等边三角形，
设的外接圆圆心为点，连接，则，且，
由中位线的性质可知点为的中点，为圆的一条直径，
所以，，由圆的内接四边形的性质可知，，
，由正弦定理可得，
，因此，球的表面积为，故答案为.
【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

3．C
【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
4．
【分析】由几何关系和勾股定理确定关于的方程，解出半径，再计算面积即可.
【详解】
如图，因为，所以球心在的延长线上，
因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以，
设，，
则，解得，所以半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
5．B
【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，点即为该球的球心，求出长度，由勾股定理可求出四棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式可得出答案.
【详解】如图，在四棱锥中，
取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，
分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，
点即为该球的球心，连接并延长，交教AB于E,则E线段的中点，
连接，则四边形为矩形.
在等边中，可得，则，即，
在正方形中，因为，可得，
在中，，即，
所以四棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
6．B
【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.
【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，
点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，
则点为三棱锥外接球的球心，
因为平面，且为等边三角形，，
所以四边形为矩形，，，
所以，即三棱锥外接球的半径，
则该三棱锥外接球的表面积为.
故选：B
7．D
【分析】将三棱锥置于一个直三棱柱，计算外接球的半径，得到答案.
【详解】由题意可得，将三棱锥置于一个直三棱柱，如图所示，由二面角为120°可知，
直三棱柱的外接球即三棱锥的外接球，
外接球的球心O在上下底面三角形外心连线段的中点.
在中，，，得.
设外接球的半径为R，外接圆的半径为r，正弦定理得，
解得，又球心到底面的距离，
所以外接球的半径，所以外接球的表面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
8．A
【分析】
通过补形的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】由于，所以，
折叠后，由于平面平面，且交线为，
平面，所以平面，
由于平面，所以，
所以两两相互垂直，
所以可将多面体补形为长方体，
设多面体外接球的直径为，
则，
所以外接球的表面积为.
故选：A
9．A
【分析】
根据三条侧棱三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，可得三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为相邻的三条棱的正方体的外接球，由此可得答案.
【详解】由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，补全三棱锥，
则三棱锥的外接球的半径，
所以该球的体积是，
故选：A

10．
【详解】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r，由△DOF～△EAF，得.
而,,,所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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