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专题1 鳖臑阳马 巧用性质【讲】
【典例1】．（2023·河南郑州·模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】．（2023·浙江·模拟预测）《九章算术 商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在底面，且底面为正方形的阳马中，若，则（ ）
A．直线与直线所成角为
B．异面直线与直线的距离为
C．四棱锥的体积为1
D．直线与底面所成角的余弦值为
【典例3】（23-24高三上·天津·期中）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
堑堵、阳马、鳖臑（biē nào）这些名词出自中国古代数学名著《九章算术》“商功篇”：
斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．
刘徽注：此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．
阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓．取一长方体，按图1斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．
图1
再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个（如图2）．
以矩形为底面且有一条棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．
图2
鳖臑出现在《普通高中教科书数学必修第二册A版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第158页例8：
如图3，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面．
图3
例8证明之后，同一页的练习第3题紧接着提出问题：
如图4，平面，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
图4
阳马出现在《普通高中教科书数学选择性必修第一册A版》（人民教育出版社2020年5月第1版）第39页例10：
如图5，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
图5
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角．
本题源于2004年高考天津卷理科第19题．
很多高考题的图形，都与阳马和鳖臑有关．我们归纳出鳖臑的一些性质，如下．
1．鳖臑的判定
如图，在三棱锥中，只要满足下列条件之一：
（1）两两垂直；
（2）平面，且；
（3）平面，且；
（4）平面，且平面平面．
则它的四个面都是直角三角形，它即为鳖臑．
2．鳖臑的性质
（1）异面垂直（一组）：；
（2）线面垂直（两组）：平面，平面；
（3）面面垂直（三组）：平面平面，平面平面，平面平面．
此外，若点在上的射影分别为，则三棱锥的四个面也都是直角三角形．
以上结论，请读者自己进行证明．
鳖臑是最简单的几何体之一，即三棱锥，图形中包含了立体几何中点、线、面的各种位置关系，突出了“垂直”这条横贯立体几何知识的“红线”，是讨论线线垂直、线面垂直、面面垂直以及三种垂直关系相互转化的非常好的载体，可以破解立体几何千变万化的空间角，可以揭示立体几何的基本结构与本质规律．因此，历年高考命题者对鳖臑这一几何体情有独钟．
【精细化解析 典例1】
第一步：根据题设得，判断选项A；
由题设，，，则，A对；
第二步：将阳马一分为二，分析阳马与鳖臑的体积数量关系，即可判断各项正误．
如下图，连接，将阳马一分为二，又，
所以，，则，故，
所以B错，C、D对.
故选：B
[精细化解析 典例2]
第一步：把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；利用线面距离求解判断B；
由底面，底面为正方形，而，则阳马可补形成正方体，如图，
对于A，由底面，底面，则，因此直线与所成角为，A错误；
对于B，连接，平面，平面，则有平面，
从而异面直线与直线的距离等于直线与平面的距离，
取的中点，连接，则，而平面，
平面，于是，又平面，
因此平面，所以直线与平面的距离为，B正确；
第二步：求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.
对于C，四棱锥的体积，C错误；
对于D，连接，则是直线与底面所成的角，而，
因此，D错误.
故选：B
【精细化解析 典例3】
根据补形的方法求得外接球的表面积.
由于平面，平面，所以，
由于四边形是矩形，所以，
所以两两相互垂直，
所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为，
所以外接球的直径，所以外接球的表面积为.
故选：D
类型1 垂直关系的论证
例1 （21-22高二上·云南昆明·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中对几何学的研究比西方早一千多年，在该书中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，下列选项中，可以判定是“鳖臑”的有（ ）
A．AB，BC，BD两两垂
B．平面BCD，且
C．平面BCD，且平面平面ACD
D．平面平面BCD，且平面平面ABC
【分析】对于AD，举例判断即可，对于BC由线线垂直、线面垂直和面面垂直的判定和性质结合“鳖臑”的定义分析判断即可
【详解】对于A，如图，在正方体中，AB，BC，BD两两垂直，而此时四面体中，为等边三角形，所以此四面体不是“鳖臑”，所以A错误，
对于B，因为平面BCD，平面，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以，所以，所以此四面体的四个面均为直角三角形，所以此四面体为“鳖臑”，所以B正确，
对于C，过作于，因为平面平面ACD，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面BCD，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，，所以，所以此四面体的四个面均为直角三角形，所以此四面体为“鳖臑”，所以C正确，
对于D，如图，在正方体中，平面平面BCD，且平面平面ABC，而此时四面体中，为等边三角形，所以此四面体不是“鳖臑”，所以D错误，
【类题1-1】
1．如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（ ）
A．平面； B．平面；
C．平面 D．平面平面
【类题1-2】
2．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积最大为
D．过点分别作于点，于点，则
【类题1-3 】（21-22高一·全国·单元测试）
3．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积最大为
D．过点分别作于点，于点，则
类型2 空间角的求解
例2 如图，在三棱锥中，平面，平面经过棱的中点，与棱分别交于点，且平面，平面．
（1）证明：平面；
（2）若是直线上的动点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．
思路 由题意知三棱锥是一个鳖臑．
（1）由已知条件，结合直线与平面平行的性质得，进一步可得，再由直线与平面垂直的判定定理得平面．
（2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两个法向量所成角的余弦值，可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．
解析（1）因为平面，平面，平面平面，所以．
因为为的中点，所以为的中点．
因为，所以．
由平面，同理可得．
因为平面，平面，所以，则．
又因为平面，所以平面．
（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以．
设，则，
设平面的一个法向量为，
则令，得．
设平面的一个法向量为，
则令，得．
设平面与平面所成的锐二面角为，
则．
当时，；
当时，，
当且仅当，即时，取得最小值取得最大值，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值为．
【类题1-1】
4．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折到的位置，使得四面体为鳖臑，若为的重心，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【类题1-2】
5．《九章算术》中记载了阳马和鳖臑两个空间几何体，阳马即有一条侧棱垂直于底面（底面为矩形）的四棱锥，鳖臑即每个面均为直角三角形的三棱锥．已知四边形为矩形（图①），，，B，分别为AC和的中点，将四边形沿向上折起得到一个三棱柱（图②），平面将此三棱柱分割成两部分．
(1)当四棱锥为阳马时，证明：三棱锥为鳖臑；
(2)在三棱柱中，当时，求锐二面角的余弦值．
【类题1-3 】
6．在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则　　
A． B． C． D．
类型3 外接球的体积或表面积
例3 （2022·全国·模拟预测）《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为 .
【分析】设，根据等体积法求得两个棱锥内切球半径，即可求得结果.
【详解】因为面，又四边形为正方形，故，
又四棱锥的四个侧面均为直角三角形，设，
，，
故四棱锥的表面积；
又三棱锥为鳖臑，其所有面均为直角三角形，
又，，
故三棱锥的表面积
设四棱锥的内切球半径为，
故，则，同理可得，
故.
故答案为：.
升华 鳖臑堑堵长方体，是补形法的基本思想，可以简化线面位置关系的证明，便于找到外接球球心位置．
【类题1-1】
7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为 .
【类题1-2】
8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）.如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则（ ）
A．平面
B．为三棱锥的外接球的直径
C．三棱锥的外接球体积为
D．三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等
【类题1-3 】
9．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào）.如图所示，三棱锥中，平面，，则该三棱锥即为鳖臑.若且三棱锥外接球的体积为，则长度的最大值是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．AD
【分析】根据题中条件，由线面平行的判定定理，可判断A正确，B错；根据题中条件，判断不与垂直，故C错；根据面面垂直的判定定理，可判断D正确.
【详解】因为为圆O的直径，M是线段的中点，
所以；又平面，平面，所以平面；即A正确；
又平面，即平面，故B错；
因为点C在圆O的圆周上，所以，故不与垂直，所以不可能与平面垂直，即C错；
由直线垂直于圆O所在的平面，所以；
又，，平面、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即D正确.
故选：AD.
2．ABD
【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴四棱锥为“阳马”，对；
B选项，由，即，又且，
∴平面，
∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．
∴四面体为“鳖臑”，对；
C选项，在底面有，即，
当且仅当时取等号，
，错；
D选项，因为平面，则，
且，则平面，
∴，又且，
则平面，所以则，对；
故选：ABD．
3．ABD
【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴四棱锥为“阳马”，对；
B选项，由，即，又且，
∴平面，
∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．
∴四面体为“鳖臑”，对；
C选项，在底面有，即，
当且仅当时取等号，
，错；
D选项，因为平面，则，
且，则平面，
∴，又且，
则平面，所以则，对；
故选：ABD．
4．
【分析】根据题意可∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C为直角，求出四面体的棱长，然后在长方体中作出四面体ADB′C，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.
【详解】在直角中，为斜边上的高，，，
则，，，，即在四面体中，
，，，，，则．
要使四面体为鳖臑，根据三角形中大边对大角，可知需要平面，
此时，，，为直角，满足四面体为鳖臑，
则．
如图，在长、宽、高分别为，1，的长方体中作出四面体，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，．
设为平面的一个法向量，则，
令，则，，所以．
又，所以直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知得平面，再根据线面垂直的性质和判定可得为直角三角形，为直角三角形．为直角三角形，根据鳖臑的定义可得证．
（2）取BC的中点O，连接AO．根据线面垂直的性质证得平面．以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，过点O且平行于的直线为y轴，OA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，运用面面角的空间向量求解方法可求得答案.
【详解】（1）证明：因为，所以为直角三角形．
当四棱锥为阳马时，平面，
因为平面，所以．
因为，且，所以平面，
因为平面，所以，即为直角三角形，同理，可得也为直角三角形．
因为平面，且平面，所以．
因为，且，所以平面．
因为平面，所以，
即为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑．
（2）解：取BC的中点O，连接AO．
因为，，且，
平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．
又平面ABC，所以．
又因为在等边三角形ABC中，，且，平面，平面，所以平面．
以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，过点O且平行于的直线为y轴，OA所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，．
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，
取AC的中点D，连接BD，则，则平面．
因为，所以选取平面的法向量为，
所以，故锐二面角的余弦值为．
6．A
【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念，分别求得三个角的正切函数，根据正切函数的性质，即可得到答案.
【详解】由题意，四棱锥为阳马，且，底面是线段AB上的点，
设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，
当点E与A点不重合时，
在上取点，分别连接，使得，
则,,，
因为，所以，所以，
又由，所以，所以，
所以．
当点E与点A重合时，此时,则，
所以
综上可知．
故选A．
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.
7．
【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.
【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，
设，即，由题意得，
在中，由余弦定理得
即
即，解得或（舍去），
将三棱锥补成长方体如图2所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径，
所以外接球的体积.
故答案为：
8．BC
【分析】利用线面垂直的判定可判断A选项的正误；利用直角三角形的性质可判断B选项的正误；确定球心的位置，求出三棱锥的外接球的半径，利用球体的体积公式可判断C选项的正误；求出三棱锥的外接球半径，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，如下图，过点向引垂线，垂足为，
平面，平面，则，
，，则平面，
又、平面，所以，，，
，，则平面，
这与平面矛盾，A错；
对于B选项，平面，平面，则，
在三棱锥中，，则的中点到、、、的距离相等，
所以为三棱锥的外接球的直径，故B正确；
对于C选项，分别取、的中点、，连接，
因为、分别为、的中点，则，
平面，则平面，
平面，平面，则，
故的外心为线段的中点，
因为平面，则平面平面，
故三棱锥的外接球球心在直线上，即该球球心在平面内，
所以的外接圆直径为三棱锥的外接球直径，
，，
，,
在中，，，
在中，由余弦定理得，，
故，则，
所以三棱锥的外接球体积为，故C正确；
因为，故为三棱锥的外接球的直径，且，
而三棱锥的外接球直径为，故D错误.
故选：BC.
9．
【解析】由三棱锥外接球体积求半径为，根据已知条件知与构成平面一定是外接球过球心的截面，即可得而，结合基本不等式求最大值即可.
【详解】设三棱锥外接球的半径为，由体积为，知：，即，
又∵平面，，知：面的外接圆半径为，即有：，有，
而在中，，
∴，而，当且仅当时等号成立，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题、以及应用基本不等式求最值，注意理解当三棱锥中有一条棱垂直于底面时底面外接圆半径、球半径与这条棱之间的关系.
答案第1页，共2页
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