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专题1 三斜求积 巧求面积【讲】
【典例1】（2024·广东广州·铁一中学校考一模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是（其中为三角形面积，为小斜，为中斜，为大斜）.在中，若，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）若向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积可以用、的外积表示出来，即.已知在平面直角坐标系中，、，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知点，求：
（1）的模；
（2）的面积.
上面三个问题虽然呈现的形式不一样，但都源于一个共同的背景：三角形面积的海伦—秦九韶公式．
我国著名的数学家秦九韶（约1202—1261）在他所著的《数书九章》卷五“田域类”里给出了一道题目：
问沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何？
问题的本质是已知三角形的三边长，求三角形的面积．
《数书九章》中给出了这类问题的一般性结论，其求法是：
以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．三斜求积术就是用小斜平方加大斜平方减中斜平方，取得数的一半，自乘而得一个数；小斜平方乘大斜平方，减上面所得到的那个数，相减后的数被4除，所得的数作为“实”；取1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”“隅”，即在方程中，为“隅”，为“实”．（参见下面的④式）
《普通高中教科书数学必修第三册B版》（人民教育出版社2019年4月第1版）第88页拓展阅读“向量的数量积与二角形的面积”介绍了如下结论：
如图，在中，，求证：的面积为．该题的证法如下．
①
因为，
所以②．
注 ②式是三角形面积公式的向量形式，也是前面“经典题组”中问题1的结论．
②式可作如下推广：
在平面直角坐标系中，为不共线的三点，，则的面积为③．
《普通高中教科书数学必修第二册A版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第55页阅读与思考中，介绍了三角形面积的三斜求积公式：
④
在中，根据数量积的定义，不难发现
，
这表明，④式等价于①式．
将④式进行化简，可推出海伦公式：
，
这里，为的半周长．
秦九韶提出的三斜求积术虽然与古希腊数学家提出的海伦公式在形式上有所不同，但完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史上的空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．三斜求积术，是我国数学史上的一颗明珠．
【精细化解析 典例1】
利用题中所给三角形的面积公式即可求解．
在中，若，，，
则的面积．
故选：B．
[精细化解析 典例2]
第一步：利用三角形面积的外积公式结合三角恒等变换化简；
已知在平面直角坐标系中，、，，
因为
，
第二步：结合正弦函数性质求解值域即可.
因为，则，则，
则，则，
当时，即当时，面积取最大值.
故选：A.
【精细化解析 典例3】
第一步：利用坐标运算及模的坐标运算求解；
（1）因为，所以，
所以.
第二步：利用夹角公式求得，进而得到；
（2）因为，所以，
，所以，
第三步：利用三角形面积公式求解.
.
类型1 由三角形的边长求面积
例1 《数书九章》中记载了三斜求积术：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜；分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高；．若在中，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为______．
解析 根据题意可知，故设．
由，可得，
由余弦定理可得，从而，
由正弦定理得的外接圆半径为．
升华 原则上，由海伦公式求三角形的面积，需要知道三角形的三边长，但是，用三斜求积公式求三角形的面积，只需求得和即可．
【类题1-1】
1．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【类题1-2】
2．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是.现有满足，且的面积是，则的周长为 ，边中线的长为
【类题1-3】
3．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A．的周长为 B．三个内角，，满足
C．外接圆的直径为 D．的中线的长为
类型2 由三角形两边的向量坐标求面积
例2 已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．1
解析
．故选A．
升华 给定三角形两边的向量坐标或三顶点的坐标求面积，直接由②式计算．
【类题1-1】
4．已知，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【类题1-2】
5．在四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．15
【类题1-3】
6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
类型3 已知三角形三边的关系式求面积的最大值
例3 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中分别为的内角的对边．若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
解析 因为，所以，
又，所以，
所以，
所以，
由正弦定理得．
因为，所以的面积
，
将看成整体并利用二次函数性质知，当，即时，的面积的最大值为．故选A．
升华 由三角形的一边的长度和另外两边的关系式求面积的最大值，都可运用例3的思路解决，即根据海伦公式，将三角形面积转化为关于一边的表达式，运用函数性质或基本不等式求面积的最大值．
【类题1-1】
7．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，其中是的内角的对边为.若，且，则面积的最大值为 .
【类题1-2】
8．在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为 ．
【类题1-3】
9．已知的内角的平分线交于点，与的面积之比为，，则面积的最大值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】对于，利用正弦定理角化边可得，继而化简可得，代入“三斜求积”公式即得答案.
【详解】由得，
由得，
故，
股癣：A
2． ##
【分析】由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用即可求出中线的长.
【详解】因为，由正弦定理可得，
设，
则由题可得，解得，
则的周长为，
因为为中线，中，，设，
则，解得或.
又在三角形中，，所以.
故答案为：；.
3．ABC
【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；
对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列；
对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值；
对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解．
【详解】由正弦定理可得．
设
，
解得的周长为，故A正确；
由余弦定理得，，
故B正确；
由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；
由中线定理得，即，
，故D错误．
故选:ABC．
4．A
【分析】由三角形面积公式、向量数量积以及模的坐标运算即可得解.
【详解】因为，
所以
.
故选：A．
5．D
【分析】设相交于点，首先证明四边形对角线互相垂直，从而由即可得解.
【详解】因为，
所以，即四边形对角线互相垂直，
设相交于点，
则
．
故选：D．
6．A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
7．
【分析】根据正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函数求最值的知识，即可求解.
【详解】 ，
又，，

时，面积的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
8．
【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可.
【详解】由题知，
则
，当且仅当时取等号.
，
而，
.
故答案为：
9．
【详解】根据题意与的面积之比为，可得到AB是AC的二倍，设AB=2x,AC=x,由余弦定理得到
三角形面积为 上式在出取得最大值，代入得到.
故答案为.
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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