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专题9 奇偶分项 分组并项【讲】
【典例1】．（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A．624 B．625 C．626 D．650
【典例2】．（2020年高考全国Ⅰ卷文科第16题）数列满足，前16项和为540，则______．
【典例3】.（宁夏回族自治区石嘴山市2022届高三适应性测试理科第15题）已知数列满足，则数列的前32项和为______．
上面三个问题中，主要以奇偶交织的形式将数列的递推关系展现出来．我们来研究一下这类问题的一些解题策略．
1．定义
定义1：在数列中，若对做任意，都存在，使（d为常数），则称数列是“隔项等差数列”．
定义2：在各项都不为0的数列中，若对做任意，都存在，使（q为常数），则称数列是“隔项等比数列”．
2．四种常见类型的解题策略
（1）
解题策略：由两式相减得，
这就得到“隔项等差数列”．
①特别地，当时，，可以考虑分和
两种情况讨论，利用累加法求出和，进而求出测啊的．
②当时，数列为周期数列．
（2）
解题策略：由两式相除得，这就得到“隔项等比数列”．
①特别地，当时，，可以考虑分和两种情况讨论，利用累乘法求出和，进而求出通项．
②当时，数列为周期数列．
（3）
解题策略：对n分别进行和的赋值，于是有
进而有，即，可以构造新的公比为的等比数列，从而求出，将代入可求得，进而求出通项．
（4）递推式为奇偶交织的分段形式
解题策略：先将奇偶项间的关系转化为纯粹的偶数项（或奇数项）的关系，求出偶数项（或奇数项）通项公式，再“返代”回递推式，求出奇数项（或偶数项）的通项公式，进而求出通项．
【精细化解析 典例1】
第一步：根据给定的递推公式，按奇偶分类求和；
数列中，，，
当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，
则，
第二步：根据等比数列的定义求出通项公式，然后根据等比数列求和公式求解即可.
当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，
则，
所以.
故选：C
[精细化解析 典例2]
第一步：先求当n为偶数时，利用分组求和求解；
当n为偶数时，，
所以．
因为前16项和为540，所以．
第二步：n为奇数时，，，利用累加法求得，通过，即可证明.
当n为奇数时，，由累加法得
，所以．
所以，得．
【精细化解析 典例3】
第一步：当n为奇数时，利用数列递推式的特点求得；
思路 先分n为奇数和偶数两种情况讨论，发现数列递推式的特点和鳱，再分组求和．
解析 当n为奇数时，，，两式相减得；
第二步：当n为偶数时，利用数列递推式的特点求得，最后根据并项求和法求解即可.
当n为偶数时，，，两式相加得．
所以
类型1 或型
例1已知数列满足．
（1）记，求，，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和．
思路 根据题目引导，求出，，利用等差数列的定义证明为等差数列，进而求出，
即，将代回，求出，再求出的前20项和．
解析（1）依题意，，所以．
，所以；，所以．所以．
因为，，
所以．
因此，是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
（2）方法一 因为，所以．
方法二 ．
升华 对于，常常构造新式，
两式相减可得，这样就转化为奇数项和偶数项分别成等差数列．在求解过程中，可以分别求出奇数项和偶数项的通项，也可以求出奇数项（或偶数项）的通项，代回，求出偶数项（或奇数项）的通项，进而写出的表达式．
【类题1-1】
1．已知数列满足，，求数列的通项公式．
【类题1-2】
2．已知数列，满足：，，．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）记为数列的前项和，求的值．
【类题1-3 】
3．已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．
(1)求的通项公式，并证明：；
(2)设，求数列的前项和．
类型2 含有的数列递推式求通项或前n项和
例2 已知数列满足，，
记数列的前n项和．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
思路 （1）当时，，从而求得，
，，，按照等差数列的求和公式求解即可．
（2）当时，，与（1）中n为偶数时的式子作差，从而求得，，奇数项为常数项，偶数项单调递减，只需对n讨论，找到最大的即可．
解析（1）由可得，
当时，①，
所以，，…，，
因此．
（2）当时，②，
①-②得．
又，于是，，
可得，，．当时，．
又，，则当时，．
易知，，，，，当时，，
因此，当时，取得最大值，即．
点评 在递推关系中，前面的系数出现的形式时，需要分奇偶来分别写出递推关系，从而求得通项或前n项和，并借助单调性求得最值．
【类题1-1】
4．设为数列的前项和，，则数列的前7项和为________.
【类题1-2】
5．已知数列满足：，，.
(1)记，求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
【类题1-3 】
6．已知数列满足．若，则 ；前60项和为 ．
类型3 递推式为奇偶交织的分段形式
例3 已知数列满足，
（1）求，；
（2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：．
思路（1）直接利用递推公式求，；（2）先利用定义法证明为等比数列，再求出通项公式；（3）先求出，再用裂项相消法求和后直接证明．
解析 （1）因为数列满足，
所以．
（2）
．
因为，所以数列的各项均不为0，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（3）由（2）知，
所以．
升华 本题数列的递推式为奇偶交织的分段形式，按照题目的设计，其本质是转化为纯粹的偶数项关系，根据题目的引导，先构造等比数列（公比是），求出偶数项通项公式，再代回递推式，求出或，进而写出的表达式．
【类题1-1】
7．已知数列中，，，则数列的前20项和为（ ）
A．1121 B．1122
C．1123 D．1124
【类题1-2】
8．已知数列满足，．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
【类题1-3 】
9．已知数列满足，.
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前12项和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据题意，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由数列满足，，可得，
又因为，且，
两式相除得，所以，所以，
综上可得，数列的通项公式为.
2．（1）详见解析；（2）97．
【分析】（1）根据定义，列出，相减即可得解；
（2）根据，以两项之和为单位，凑出和即可得解.
【详解】法一：（1）依题：，两式相减即得：
，∴为等差数列．
法二：依题：，两式相减即得：
，故奇数项成等差数列，即为等差数列．
（2）法一：，
，
．
法二：，
∵为等差数列，故，，故．
【点睛】本题考查了等差数列的证明，求数列通项，以及式处理，考查了分组求和与等差数列求和，考查了运算能力以及局部与整体的关系处理能力，属于较难题．
3．(1)；证明见解析
(2)
【分析】（1）求等差数列的基本量可得的通项公式，根据数列的迭代可得；
（2）构造法求出数列为等比数列且，用错位相减法可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，可得，即，解得，
又因为，可得，所以，
由数列满足，可得，，，
所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）可知，
因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以，
所以，
则，
两式相减，可得
，
所以.
4．
【分析】由数列的递推式：时，求得，时，，讨论为偶数或奇数，求得，进而求得，即可求解
【详解】∵，
∴时，，即，，
由已知，
当时， (*)，
(*)式中为偶数时，，，此时为奇数，
∴为奇数时即时，；
(*)式中为奇数时，，，
即，此时为偶数，
∴为偶数即时，，
∴，
由，
得为奇数时，，
为偶数时，，
∴数列的前7项和为
．
故答案为：．
5．(1)
(2)353
【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式
（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到
【详解】（1）因为，令n取，则，
即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
（2）令n取2n，则，
所以，
由（1）可知，；
；所以
6． 1 1830
【分析】根据数列的递推公式依次求出，；根据递推公式的规律特征即可求出前60项和.
【详解】数列满足，，
所以，解得，
所以，解得．
因为，
所以有，，，，，…，…，，
从而可得，，，，，，，，…．
从第1项开始，依次取1个相邻奇数项的和都等于2；从第2项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列．
所以的前60项和为．
故答案为·：1，1830.
7．C
【分析】根据数列的递推关系式可判断数列的奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，利用等差、等比数列求和公式即可求解.
【详解】由题意知，数列是首项为1，公比为2的等比数列，
数列是首项为1，公差为2的等差数列，
故数列的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.
故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列，等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题.
8．(1)证明见解析；，；
(2).
【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得，求出即可得证，并求出通项公式.
(2)由(1)求出，再按奇偶分组求和即可计算作答.
【详解】（1）依题意，，
而，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，，.
（2）由(1)知，，则有，
又，则，
于是有，
因此，，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，有的可借助累加、
累乘求通项的方法分析、探讨项间关系，有的可利用奇偶分析逐步计算探求项间关系而解决问题.
9．(1)，，
(2)
【分析】（1）由数列的通项公式可求出，从而得到，又由可知数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故；
（2）由数列的通项公式可得数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，然后根据等比数列求和求解即可.
【详解】（1）解：由题意得：
当时，①
当时，②
由② ，即，③
把③ 代入①，得
故，且，，
所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故.
（2）把① 代入②，得，且
所以数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故，
于是
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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