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长方体和正方体经典例题与过关练习-数学五年级下册人教版
经典例题一 ．百货大楼长60米，宽50米，高70米，五一劳动节快到了，为了增添节日气氛，要在百货大楼的四周挂上彩灯（除去底面四周），至少需要多少米的彩灯？ 【答案】500米 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。 根据题意，在百货大楼的四周挂上彩灯（除去底面四周），即底面四周不挂彩灯，那么长、宽要各减少2条，则彩灯的长度＝2条长＋2条宽＋4条高，代入数据计算即可。 【详解】60×2＋50×2＋70×4 ＝120＋100＋280 ＝500（米） 答：至少需要500米的彩灯。 【点睛】本题考查长方体的特征以及长方体的棱长总和公式的灵活运用，关键是弄清求彩灯的长度是求哪几条棱的长度和。 经典例题二 ．一间教室长9m，宽7m，高3.5m，要在四壁和天花板刷上白色涂料，已知门窗和黑板的面积为45m2，如果每平方米用涂料0.6千克，那么粉刷这间教室至少需要多少千克的涂料？ 【答案】78千克 【分析】在长方体教室的四壁和天花板刷上白色涂料，即在除去一个长宽组成的面，其余五个面刷白色涂料，面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽－门窗面积，得到面积后乘每平方米涂料的重量，即可得出答案。 【详解】[9×7＋（9×3.5＋7×3.5）×2－45]×0.6 ＝[9×7＋56×2－45]×0.6 ＝[63＋112－45]×0.6 ＝130×0.6 ＝78（千克） 答：粉刷这间教室至少需要78千克的涂料。 【点睛】本题主要考查的是长方体表面积计算的应用，解题的关键是理解题干中只需刷5面涂料，进而计算得出答案。 经典例题三 ．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？ 【答案】17厘米 【分析】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。 【详解】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。 25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）] 625－125＝9375－125×[－10] 500＝9375－125＋1250 500＝10625－125 500＋125＝10625－125＋125 625＝10625 625÷625＝10625÷625 ＝17 答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。
过关练习
1．一个蓄水池，长20米，宽15米，深2米。在它的底面和内壁各面上抹一层水泥防止渗水。如果每平方米用水泥10千克，一共要用水泥多少千克？
2．一根铁丝正好能做一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体框架。如果用这根铁丝做一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少厘米？
3．用下面的铁皮制作一个长方体茶叶盒，茶叶盒的底面是边长为0.8分米的正方形。（不计损耗和铁皮厚度）
（1）要在制作好的茶叶盒四周贴上一圈商标纸，至少需要多少平方厘米的商标纸？
（2）这个茶叶盒的容积是多少立方厘米？
4．勤洗手、戴口罩，疫情防控、人人有责。为了做好新冠肺炎疫情防控工作，欣欣小区为每栋楼安置了废弃口罩消毒回收机（如图）。这个回收机的占地面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？

5．王叔叔有一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。
（1）你来帮王叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计）
（2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？
6．有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高6厘米（图1）。如果把这个容器竖起来放（图2），水的高度会是多少厘米？
7．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
8．一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体，且表面积减少60平方厘米，原来这个长方体的表面积和体积分别是多少？
9．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为2分米，体积为2立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石刚好淹没？
10．从一个长方体中锯掉一个正方体后，成了下图所示的形状。求现在这个物体的表面积和体积。（单位：厘米）
11．一个长方体如下图所示，如果高增加3厘米，就变成了正方体，且表面积比原来增加120平方厘米，那么原来长方体的体积是多少？

12．生活实践。
下图是一种茶叶包装盒，把这样的4盒茶叶放一个礼品袋（如图）。
（1）这个礼品袋的占地面积是多少？
（2）做这个礼品袋至少需要多少平方厘米的纸板？
（3）这个礼品袋的体积最少是多少立方分米？
参考答案：
1．4400千克
【分析】先根据“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”计算需要抹水泥部分的面积，在蓄水池的底面和内壁抹水泥，只需计算长方体5个面的面积，最后乘每平方米需要水泥的质量，据此解答。
【详解】（20×2＋15×2）×2＋20×15
＝（40＋30）×2＋20×15
＝70×2＋20×15
＝140＋300
＝440（平方米）
440×10＝4400（千克）
答：一共要用水泥4400千克。
【点睛】本题主要考查长方体表面积公式的应用，明确需要计算长方体哪些面的面积是解答题目的关键。
2．8厘米
【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，先求出长方体棱长总和，这根铁丝的长度不变，长方体的棱长总和就是正方体的棱长总和，再用棱长总和÷12＝正方体框架的棱长。
【详解】（10＋8＋6）×4÷12
＝24×4÷12
＝8（厘米）
答：这个正方体框架的棱长是8厘米。
【点睛】此题考查了长方体、正方体棱长总和的综合应用，牢记公式并能灵活运用。
3．（1）480平方厘米
（2）960立方厘米
【分析】（1）根据底面是正方形，求至少需要多少平方厘米的商标纸，就是求长方体的侧面积，利用底面周长乘高即可求出；
（2）利用长方体体积公式：V＝abh计算茶叶盒的容积即可。
【详解】（1）商标纸的面积：
0.8×4×1.5
＝3.2×1.5
＝4.8（平方分米）
4.8平方分米＝480平方厘米
答：至少需要480平方厘米的商标纸。
（2）茶叶盒的容积：
0.8×0.8×1.5
＝0.64×1.5
＝0.96（立方分米）
0.96立方分米＝960立方厘米
答：这个茶叶盒的容积是960立方厘米。
【点睛】本题主要考查长方体表面积和体积的计算。
4．17.5平方分米；175立方分米。
【分析】占地面积就是长方体的底面积，利用长方形面积公式：S＝ab计算；利用长方体的体积公式：V＝Sh计算体积即可。
【详解】3.5×5＝17.5（平方分米）
17.5×10＝175（立方分米）
答：这个回收机的占地面积是17.5平方分米，体积是175立方分米。
【点睛】本题主要考查长方体体积，熟记公式是解题的关键。
5．（1）7.5立方分米
（2）64立方厘米
【分析】（1）这个无盖的铁皮盒子是长方体，长为（60－5×2）厘米，宽为（40－5×2）cm，高为5cm，根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可；
（2）根据题意，流出来的水＝正方体铁块的体积，根据正方体的体积＝a3，将数据代入公式计算即可；
【详解】（1）（60－5×2）×（40－5×2）×5
＝50×30×5
＝1500×5
＝7500（立方厘米）
7500立方厘米＝7.5立方分米
答：这个盒子的容积是7.5立方分米。
（2）4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
答：流出来的水的体积是64立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体的展开图和容积计算以及正方体的体积计算，关键理解题目掌握公式。
6．12厘米
【分析】完全封闭的长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积不变；
先根据图1中的数据，利用长方体的体积公式V＝abh，求出容器中水的体积；
再根据长方体的高h＝V÷a÷b，求出图2中水的高度。
【详解】水的体积：
20×16×6
＝320×6
＝1920（立方厘米）
图2中水的高度：
1920÷10÷16
＝192÷16
＝12（厘米）
答：水的高度会是12厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，明确容器中水的体积不变是解题的关键。
7．17厘米
【分析】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。
【详解】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。
25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）]
625－125＝9375－125×[－10]
500＝9375－125＋1250
500＝10625－125
500＋125＝10625－125＋125
625＝10625
625÷625＝10625÷625
＝17
答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。
【点睛】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。
8．210平方厘米；200立方厘米
【分析】表面积减少的是前后左右4个面，展开后是个长方形，减少的面积÷减少的高＝底面周长，底面周长÷4＝底面边长，即正方体棱长，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，求出正方体表面积，再加减少的表面积就是原来表面积；正方体棱长＋减少的高＝长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出体积即可。
【详解】（厘米）
（厘米）
表面积：5×5×6＋60
＝150＋60
＝210（平方厘米）
体积：（立方厘米）
答：原来这个长方体的表面积和体积分别是210平方厘米，200立方厘米。
【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，灵活计算长方体表面积和体积。
9．2分钟
【分析】若要使水将假山刚好淹没，此时的水深应为2分米，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水和假山的体积，然后再减去假山的体积即可求出水的体积，再用水的体积除以每分钟水管的流量即可求解。
【详解】（5×2×2－2）÷9
＝（20－2）÷9
＝18÷9
＝2（分钟）
答：至少需要2分钟才能将假山石刚好淹没。
【点睛】本题考查长方体的体积，求出假山和水的总体积是解题的关键。
10．352平方厘米；320立方厘米
【分析】观察图形可知，在长方体木块上锯掉一个正方体，减少了正方体的3个面，同时又露出了正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来长方体的表面积一样大，它的表面积没有发生变化，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解；
在长方体木块上锯掉一个正方体，那么体积就减少这个正方体的体积，所以现在这个物体的体积＝长方体的体积－锯掉的正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。
【详解】表面积：
（12×4＋12×8＋4×8）×2
＝（48＋96＋32）×2
＝176×2
＝352（平方厘米）
体积：
12×4×8－4×4×4
＝384－64
＝320（立方厘米）
答：现在这个物体的表面积是352平方厘米，体积是320立方厘米。
【点睛】本题考查正方体、长方体表面积、体积公式的运用，在计算有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出结论。
11．700立方厘米
【分析】增加的是4个小长方形的面积和。因为高增加3厘米后变成了正方体，所以原长方体的长和宽相等，得出增加的4个面的面积相等。表面积增加了120平方厘米，用120÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷3求出小长方形的长、宽，即求长（或宽）列式为120÷4÷3，再根据原来的高比长少3厘米求出原来的高，最后运用长方体的体积计算公式求出原长方体的体积。
【详解】长（或宽）：120÷4÷3
＝30÷3
＝10（厘米）
高：10－3＝7（厘米）
体积：10×10×7
＝100×7
＝700（立方厘米）
答：原来长方体的体积是700立方厘米。
【点睛】一个长方体高增加一段，表面积增加的部分是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。
12．（1）320平方厘米
（2）1400平方厘米
（3）4.8立方分米
【分析】（1）要求礼盒袋的占地面积，就是求出这四盒茶叶的占地面积，据此解答。
（2）求这个礼品袋至少需要多少平方厘米的纸板，就是求包装后长方体的表面积，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出需要的纸板；
（3）根据“长方体体积＝长×宽×高”求出礼品袋的体积。
【详解】（1）1分米＝10厘米
（10×2）×（8×2）
＝20×16
＝320（平方厘米）
答：这个礼品袋的占地面积是320平方厘米。
（2）1分米＝10厘米
10×2＝20（厘米）
8×2＝16（厘米）
（20×15＋16×15）×2＋20×16
＝（300＋240）×2＋320
＝540×2＋320
＝1080＋320
＝1400（平方厘米）
答：做这个礼品袋至少需要1400平方厘米的纸板。
（3）20×16×15
＝320×15
＝4800（立方厘米）
4800立方厘米＝4.8立方分米
答：这个礼品袋的体积最少是4.8立方分米。
【点睛】明确长方体的长、宽、高各是多少是解答本题的关键，熟记长方体表面积、体积的计算方法。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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