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圆柱与圆锥经典例题与过关练习-数学六年级下册北师大版
经典例题一 ．笑笑用的牙膏出口处直径为6mm，每次刷牙都挤出10mm长的牙膏．这样一只牙膏可用48次．该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为8mm，笑笑还是按习惯每次挤出10mm长的牙膏．这样一支牙膏只能用多少次？ 【答案】27次 【详解】[3.14×（6÷2）2×10×48）÷[3.14×（8÷2）2×10]=27（次) 经典例题二 ．两个圆柱的底面积相等，第一个圆柱与第二个圆柱高的比是7∶11，第二个圆柱的体积是132立方分米，第一个圆柱的体积是多少？ 【答案】84立方分米 【分析】根据题意，圆柱的体积＝圆柱的底面积×高，因为两圆柱的底面积相等，高之比是7∶11，所以它们的体积比也是7∶11，据此解答即可。 【详解】132÷11×7 ＝12×7 ＝84（立方分米） 答：第一个圆柱的体积是84立方分米。 【点睛】圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系。 经典例题三 ．把一个长、宽、高分别是8厘米、6厘米、2厘米的长方体铁块和一个棱长为4厘米的正方体铁块熔铸成一个圆锥体．这个圆锥体的底面积是120平方厘米，高是多少？ 【答案】4厘米
过关练习
1．在城市建设中，大鹏新区修建了一个圆柱形蓄水池，底面直径是8米，深4米，在蓄水池的底面和四周抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？
2．一个盛水的圆柱形容器，底面直径是10厘米，此时水深20厘米。将一块石头完全浸没在水中，水面升高到24厘米（水没有溢出），这块石头的体积是多少立方厘米？
3．一个圆柱形的茶筒，底面直径是6厘米，高是20厘米。做10个这样的茶筒，用50平方分米的材料够吗？
4．如图所示，一个高为厘米，上底为厘米，下底为3厘米的直角梯形，绕着高为轴旋转一周，得到一个立体图形，计算该立体图形的体积。（圆周率用π表示，不取近似值）
5．工人师傅要用铁皮做一个圆柱形模型，如图是设计图。做这个模型至少需要多少平方分米的铁皮？
6．有一个圆锥形谷堆（如图），如果把这些谷子放到一个圆柱形粮囤里，可以堆2米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？取值
7．做一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。（单位：分米）
（1）你选择的是（ ）和（ ）搭配使用。（填序号）
（2）你选择的材料制成水桶需要铁皮多少平方分米？
（3）你选择的材料制成的水桶最多能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计）
8．建于明永乐十八年（1420）的北京天坛祈年殿已有600年历史。祈年殿为砖木结构，殿高约38米，底层直径约32米，三层重檐向上逐层收缩作伞状。殿内有28根金丝楠木大柱，内围的4根“龙井柱”象征春、夏、秋、冬四季，每根高约19米，直径1.2米。如果要给这4根“龙井柱”刷上油漆，则刷漆面积共是多少平方米？（本题π值取3）
9．三个半径分别是3cm，2cm，1cm，高都是2cm的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是多少平方分米？
10．已知一根长3米的圆柱形木料，将它截成4段，其表面积增加18.84平方米，如果将它削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方米？
11．如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？
12．数学实践课上老师布置了这样两个作业：
请你把一个棱长总和为96厘米，且长、宽、高的比是3∶4∶5的长方体石蜡块，削成一个最大的圆锥体，然后把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，圆锥的底面直径是圆柱形容器底面直径的。1分钟后把圆锥体状的石蜡块从水中取出。
作业一：问最大的圆锥体积是多少立方厘米？
作业二：1分钟后把圆锥体蜡块从水中取出时，水面下降了几厘米？
参考答案：
1．150.72平方米
【分析】在圆柱形蓄水池的底面和四周抹上水泥，求抹水泥的面积，就是求圆柱的一个底面积与侧面积之和，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，圆柱的侧面积公式：面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（8÷2）2＋3.14×8×4
＝3.14×42＋25.12×4
＝3.14×16＋100.48
＝50.24＋100.48
＝150.72（平方米）
答：抹水泥部分的面积是150.72平方米。
2．314立方厘米
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是这个石头的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（10÷2）2×（24－20）
＝3.14×52×4
＝3.14×25×4
＝78.5×4
＝314（立方厘米）
答：这块石头的体积是314立方厘米。
3．够
【分析】根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，用2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×20即可求出1个茶筒的表面积，然后乘10即可求出10个茶筒的表面积，最后和50平方分米比较即可。
【详解】2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×20
＝2×3.14×32＋3.14×6×20
＝2×3.14×9＋3.14×6×20
＝56.52＋376.8
＝433.32（平方厘米）
433.32×10＝4333.2（平方厘米）
4333.2平方厘米＝43.332平方分米
43.332＜50
答：用50平方分米的材料够。
【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
4．π立方厘米
【分析】根据题意可得，直角梯形，绕着高为轴旋转一周，得到一个立体图形圆台，可以看作是大圆锥减去小圆锥的体积。小圆锥的高是厘米，小圆锥的底面半径是厘米，大圆锥的高是（＋）＝3厘米，大圆锥的底面圆的半径是3厘米；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用大圆锥减去小圆锥的体积即可解答。
【详解】×π×32×3－×π×2×
＝×π×9×3－×π××
＝3π×3－×π××
＝9π－π
＝π－π
＝π
答：该立体图形的体积是π立方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。
5．31.4平方分米
【分析】圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，由于两个圆的直径是4分米，那么用宽除以4即可求出底面圆的半径，将所给数据分别代入相应的公式，即可求出圆柱的表面积。
【详解】底面半径：4÷4＝1（分米）
侧面的长：8.28－1×2
＝8.28－2
＝6.28（分米）
3.14×12×2＋6.28×4
＝6.28＋25.12
＝31.4（平方分米）
答：做这个模型至少需要31.4平方分米的铁皮。
【点睛】此题主要考查圆柱的表面积的计算方法，结合题意分析解答即可。
6．3.14平方米
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积；圆锥的体积等于高是2米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；底面积＝体积÷高，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×22×1.5×÷2
＝3.14×4×1.5×÷2
＝12.56×1.5×÷2
＝18.84×÷2
＝6.28÷2
＝3.14（平方米）
答：这个圆柱形粮囤的占地面积是3.14平方米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
7．（1）②③；
（2）75.36平方分米；
（3）62.8升
【分析】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，与之相配的是②号和③号；
（2）由于水桶无盖，使用只求这个圆柱的一个底面和侧面的总面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S＝ch，把数据代入公式解答；
（3）求水桶的容积就是求底面周长是12.56分米，高是5分米的圆柱的体积。
【详解】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，
2号周长是：3.14×4＝12.56（分米）
4号周长是：
2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（分米）
所以相配的是②号和③号。
（2）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5
＝3.14×4＋12.56×5
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：你选择的材料制成水桶需要铁皮75.36平方分米。
（3）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝3.14×20
＝62.8（立方分米）
＝62.8（升）
答：你选择的材料制成的水桶最多能装水62.8升。
【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式V＝Sh＝πr2h在实际生活中的应用。
8．273.6平方米
【分析】龙井柱是圆柱形，刷漆的部分是侧面积，侧面积＝底面周长×高，根据公式先求出一个龙井柱的侧面积，再乘4就是四根龙井柱刷漆的总面积，据此解答。
【详解】3×1.2×19×4
＝3.6×19×4
＝273.6（平方米）
答：刷漆面积共是273.6平方米。
【点睛】此题主要考查了圆柱侧面积的相关应用，注意从题目中提取有效数学信息。
9．1.3188平方分米
【分析】这个立体图形的表面积包含最下面圆柱的完整表面积，中间圆柱的侧面积和上边圆柱的侧面积，据此列式解答。
【详解】3.14×3×2＋3.14×3×2×2＋3.14×2×2×2＋3.14×1×2×2
＝56.52＋37.68＋25.12＋12.56
＝131.88（平方厘米）
＝1.3188平方分米
答：表面积是1.3188平方分米。
【点睛】本题考查了组合体的表面积，所有上面的面都可以平移到大圆柱的上面，组成完整的大圆柱表面积。注意单位的换算。
10．3.14立方米
【分析】把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了6个底面，可求每个底面的面积，又知这根木料的长（高），把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，可求这个圆锥的体积。
【详解】18.84÷6＝3.14（平方米）
＝3.14（立方米）
答：这个圆锥的体积是3.14立方米。
【点睛】此题解答关键是明白：把一根圆柱形木料截成4段，表面积增加了6个底面，由此可以求出圆柱的底面积，再根据圆锥的体积公式解答即可。
11．7厘米
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以先把圆锥内6厘米深的水倒入圆柱中，即为高6÷3＝2厘米的水的体积，原来圆柱内水的高度为11－6＝5厘米，当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是5＋2＝7（厘米）。据此解答。
【详解】6÷3＋（11－6）
＝2＋5
＝7（厘米）
答：容器里的液面高是7厘米。
【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用，这里关键是找出圆锥内高6厘米的水的是指在圆柱内高度为2厘米的水的体积。
12．作业一：100.48立方厘米；
作业二：0.5厘米
【分析】作业一：长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此用96÷4求出长、宽、高的和是24厘米；再把24厘米按3∶4∶5分配分别求出长是6厘米、宽8厘米、高是10厘米；圆锥的体积，据此分别求出以10厘米、8厘米、6厘米为高的圆锥的体积，从而得到最大的圆锥体积。
作业二：先用圆锥的底面直径÷求出圆柱形容器的底面直径；再根据圆的面积求出圆柱形容器的底面积；把这个圆锥体完全浸入一个装满水的圆柱形容器中，溢出的水的体积等于圆锥体蜡块的体积，圆柱的体积＝底面积×高，据此用溢出的水的体积÷圆柱形容器的底面积即可求出水面下降了几厘米。
【详解】作业一：
96÷4＝24（厘米）
长：24×
＝24×
＝6（厘米）
宽：24×
＝24×
＝8（厘米）
高：24×
＝24×
＝10（厘米）
＝
＝
＝94.2（立方厘米）
＝
＝
＝75.36（立方厘米）
＝
＝100.48（立方厘米）
100.48＞94.2＞75.36
答：最大的圆锥体积是100.48立方厘米。
作业二：
8÷
＝8×2
＝16（厘米）
3.14×（16÷2）2
＝3.14×82
＝3.14×64
＝200.96（平方厘米）
100.48÷200.96＝0.5（厘米）
答：水面下降了0.5厘米。
【点睛】此题主要考查了长方体的棱长和、按比分配、圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的应用。
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