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专题06 正方形的性质和判定（三大类型）
【题型1 正方形的概念和性质】
【题型2正方形的判定】
【题型3正方形的性质与判定综合】
【题型1 正方形的概念和性质】
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角互补 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．四边相等
2．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于(　　)
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．90°
5．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
6．如图，以正方形的边为一边向内作等边，连接，则的度数为（ ）

A．60° B．45° C．75° D．67.5°
7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则为（　　）
A．70° B．65° C．30° D．60°
8．如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为(2，2)，则点D的坐标为（　　）
A．(2，2) B．(﹣2，2) C．(﹣2，﹣2) D．(2，﹣2)
9．如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点O，若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）

A．2 B． C．8 D．4
10．如图，在正方形中，，是线段上的动点，于点，于点，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点E，F分别在上，则的面积为 ．

12．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为 ．
【题型2正方形的判定】
（2023春 浦东新区校级期末）
13．如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ）

A．且 B．且和互相平分
C．且 D．且
（2023春 汝阳县期末）
14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）

A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
（2023春 临颍县期中）
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
（2023 顺德区校级三模）
16．在四边形中，E，F分别是边，的中点，G、H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
（2023 雁塔区校级二模）
17．如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（ ）

A． B．
C． D．
（2023春 黄冈期中）
18．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点， 且∠ACB=(　 　)时，则四边形AECF是正方形．
A．30° B．45° C．60° D．90°
（2023 合阳县校级一模）
19．如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A．
B．，，
C．，
D．，
（2023 原平市模拟）
20．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如下图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 ．（写出一种即可）

【题型3正方形的性质与判定综合】
（2022秋 朝阳区校级期末）
21．如图，已知，小红作了如下操作：分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，依次连接，，，，则四边形的形状是( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
（2023春 岱岳区期末）
22．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④
（2022春 河西区期末）
23．如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
（2022春 新泰市期中）
24．如图，在正方形中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且，OC、EF交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的为 ．（将正确的序号都填入）
（2023 贵阳模拟）
25．如图，点E是正方形对角线上一点，，垂足分别为F，G．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若正方形的周长是，当时，求证：四边形是正方形．
（2022秋 绥德县期中）
26．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且，．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
（2023秋 威宁县校级期末）
27．如图1，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若，求CG的长；
(3)当时，求的度数．
（2022春 富县期末）
28．如图，在中，，的平分线交于点D，，．
(1)求证：四边形为正方形；
(2)若，求四边形的面积．
（2022春 峄城区期中）
29．问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，，于点G．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得，判断的形状，并说明理由．
（2022春 东台市期中）
30．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
(1)∠EAF＝　 　（直接写结果）．
(2)①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形中，矩形四边不相等，错误．
【详解】解：A．菱形对角不互补，故本选项错误；
B．矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
C．平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D．三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．
故选 C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．
2．B
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，
∴∠BAP=∠BAD+∠PAB=90°+60°=150°．
∵PA=AD，AB=AD，
∴PA=AB，
∴∠ABP==15°，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=90°-15°=75°，
同理：∠PCB=75°，
∴∠BPC=180°-75°-75°=30°．
故选：B．
3．B
【分析】连接BD，利用正方形的面积等于对角线的积的一半计算即可．
【详解】如图，连接BD，

正方形ABCD中，，则BD=AC=2，
正方形的面积为=，
故选B．
4．B
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，
∴∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，
，
故选B
5．C
【分析】先证明可得从而可得答案.
【详解】解： 正方形ABCD，
AB＝4，
故选C
【点睛】本题考查的是小学涉及的正方形的性质，直角三角形全等的判定与性质，证明是解本题的关键.
6．C
【分析】在正方形ABCD中，△ABE是等边三角形，可求出∠ABE的大小以及推断出BC＝BE，从而可求出∠BEC．
【详解】在正方形中，．
是等边三角形，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE＝BC是解题的关键．
7．D
【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到=60°．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，∠A=90°，
∴∠BEF+∠EFC=180°，
∵∠EFC=120°，
∴∠BEF=180°-∠EFC=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF==60°，
∴=180°-∠BEF-=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
8．B
【分析】根据点A与点D关于y轴对称以及关于y轴对称的点的特点即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），点D与点A关于y轴对称，
∴点D的坐标分别为：（﹣2，2）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，掌握关于y轴对称的点的特点是解题的关键．
9．C
【分析】设正方形边长为a，由△AOF≌△COE，可知阴影面积等于△DOC的面积，进而求出边长a．
【详解】设正方形边长为a，
由题意可知，AO=OC，
∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴阴影面积等于△DOC的面积，
∴×a2=1，
a=2，
∴正方形ABCD的周长为8，
故选C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，还考查了三角形全等的判定和性质等知识点．
10．D
【分析】先利用正方形的性质证明四边形为矩形和是等腰直角三角形，进而证得，利用勾股定理和正方形的性质求解即可．
【详解】解：在正方形中，，，
，，
∴四边形为矩形，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形得判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，得到是解答的关键．
11．1
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到，，由此可证明得到，进一步证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
12．22.5°
【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC的度数，进一步即可求得∠DAE的度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则．
故答案为：22.5°
【点睛】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
13．D
【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
不能证明四边形是正方形，不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴和互相平分，
∵，
∴四边形是菱形，
不能证明四边形是正方形，不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
不能证明四边形是正方形，不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键．
14．D
【分析】如图1，图2中，连接AC．在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在图2中，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
15．D
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF；
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．
∴菱形BECF是正方形．
故选项A不符合题意．
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意．
当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意．
当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
故选D．
16．A
【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定．熟练掌握三角形的中位线的性质，平行四边形的判定定理，是解决问题的关键．
根据三角形中位线的性质可得，，进而根据一组对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，．，．
∴，，
∴四边形是平行四边形．
故选：A．
17．A
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：添加，则根据有一组邻边相等的矩形是正方形，
能使矩形成为正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
18．D
【分析】根据正方形的判定定理去推理即可．
【详解】∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠ECB=∠ECA，
∴∠ECA=∠OEC，
∴OE=OC，同理OC=OF，
∵O是AC的中点，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴AC=EF，AC⊥EF，
∴边形AECF是正方形．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
19．C
【分析】根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：A、∵，∴四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵，，，∴四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵，，∴四边形是正方形，故本选项符合题意；
D、由，，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
20．一组邻边相等（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定定理进行解答即可．
【详解】有一组邻边相等的矩形是正方形，
添加的条件是一组邻边相等，
故答案为：一组邻边相等．
【点睛】本题考查正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
21．D
【分析】先根据“四边相等的四边形是菱形”判断四边形的形状，再根据勾股定理的逆定理得出，最后根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案.
【详解】解：由题意得，cm，
四边形是菱形.
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
22．B
【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选B．
23．D
【分析】根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠B=90°，
又CQ=BP ，
∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ
在△AFP和△BPQ中，
∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，
∴△AFP≌△BPQ（SAS），
∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴PF=PQ=QE=EF，
∴四边形EFPQ为菱形，
∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意；
∵△AFP≌△BPQ
∴∠BPQ=∠AFP，
又∵∠A=90°，
∴∠AFP+∠APF=90°，
∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，
∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，
∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意；
设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则，
∴AB=a，
∴，
∴正方形EFPQ的面积为，
而x的值无法确定，
∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
24．①②③
【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．
【详解】∵正方形，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，，
故①②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
故③正确；
∵正方形，
∴，
∴，
无法判定，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关判定和性质，是解题的关键．
（1）根据三个角是90度的四边形是矩形，即可得证；
（2）根据正方形的周长，求出的长，进而求出的长，再证明为等腰直角三角形，得到，推出，即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵正方形的周长是，
∴．
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据AE=AF，可得∠AFE=∠AEF，再由∠CEF=45°，可得∠CFE=∠CEF=45°，从而得到∠AFC=∠AEC，进而得到∠AFD=∠AEB，可证得ΔABE≌ΔADF，从而得到AB=AD，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF，
∵∠CEF=45°，∠C=90°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFC=∠AEC，
∴∠AFD=∠AEB，
∴ΔABE≌ΔADF（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）解：∵由（1）可知：，
又，，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）根据角之间的关系解答即可．
【详解】（1）证明：过点作于，于，如图，
∵四边形为正方形，
.
，，
，.
∵，，
∴.
在和中，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）解：如图，
在中，，
∵，
∴，
∴点与重合，此时是等腰直角三角形，
．
（3）解：当时，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28．(1)见解析
(2)512
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后利用角平分线和平行线的性质证明，再利用等角对等边得出，最后利用正方形的判定即可证明；
（2）利用正方形的性质得出，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴．
即四边形的面积为512．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解第（1）问的关键，熟记菱形的面积公式是解（2）问的关键．
29．(1)见解析
(2)△AHF是等腰三角形，利用略
【分析】（1）通过证明△ADE≌△BAF得到AD=AB，结合矩形ABCD得到结论；
（2）利用垂直平分线的性质得到AH=AF，得出结论．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∠DAE=∠ABF=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠ADG+∠GAD=90°，
又∵∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ADE和△BAF中
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD=AB，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）△AHF是等腰三角形；
理由：∵△ADE≌△BAF，
∴AE=BF，
又∵BH=AE，
∴BH=BF，
又∠ABF=90°，
∴AB垂直平分FH，
∴AF=AH，
即△AFH是等腰三角形．
【点睛】本题考查正方形的判定、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，利用全等三角形得到等边是解决问题的关键．
30．(1)45°
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠BEF，求得∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝2，
∴BC＝4，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝2，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴DF的长为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
答案第1页，共2页
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