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南平市 2024 届高中毕业班第三次质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分
分，有选错的得 0 分。
9．BC 10．ACD 11．ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3 5 8
12．4 13． 14． π
4 4 7
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
15．（本小题满分 13 分）
3 1
【解析】（1） f (x) = a(1+ ln x) + ，…........................................................………2
2 2x2
分
依题意得 f (1) = 0，….............................................................................................………3 分
所以a =1. …...................................................................................................................……5 分
3 1
(2) 由（1）知函数 f (x) = x ln x x + 2，.............................................….........……6 分
2 2x
f ( x)的定义域为 (0,+ )，…………….……...........................................................………7 分
1 1
f (x) = ln x +
2 ， 2x 2
1 1 1 1 x2 1
则 g(x) = ln x + 2 (x 0)，求导得 g (x) = = ，.........................………9 分 2x 2 x x3 x3
当0 x 1时， g (x) 0，当 x 1时， g (x) 0，
高三数学参考答案及评分标准 第 1 页 （共 8 页）
{#{QQABKYgEogiAQJBAARhCAwEACAEQkACCCAoGxBAMMAIASBFABAA=}#}
则函数 g(x)在(0,1)上递减，在 (1,+ )上递增，………………………………………12 分
g(x)min = g(1) = 0 . ..........................…………………........................…….………………13 分
16. （本小题满分 15 分）
【解析】（1）设事件 B 为“取得的建盏是成品”，事件 A1, A2 , A3分别表示“取得的建盏是由
甲、乙、丙烧制的”…………….......................................................……………………2 分
5 1 3 2 1
则 P (A1 ) = = , P (A2 ) = = 0.3 , P (A3 ) = = ,.........……………………...……3 分
10 2 10 10 5
又 P (B | A1 ) = 0.2, P (B | A2 ) = 0.2, P (B | A3 ) = 0.3，.........………………….......………4 分
所以P (B) = P (A1 )P (B | A1 )+ P (A2 )P (B | A2 )+ P (A3 )P (B | A3 )
= 0.5 0.2+0.3 0.1+0.2 0.3= 0.19. .....................................……………6 分
1
（2）设这 3 件中成品的件数为 Y．由题可知Y ~ B 3, ．
10
因为 X =1000Y ， X 的可能取值为 0,1000,2000,3000 ............................………………8 分
0 3
1 9 729
所以P (X = 0) = P (Y = 0) =C03 = ，
10 10 1000
1 2
1 9 243
P (X =1000) = P (Y =1) =C1 = ， 3
10 10 1000
2 1
1 9 27
P (X = 2000) = P (Y = 2) =C23 = ，
10 10 1000
3 0
1 9 1
P (X = 3000) = P (Y = 3) =C3 ，..................……...........…………12 分 3 =
10 10 1000
所以 X的分布列为
X 0 1000 2000 3000
729 243 27 1
P
1000 1000 1000 1000
高三数学参考答案及评分标准 第 2 页 （共 8 页）
{#{QQABKYgEogiAQJBAARhCAwEACAEQkACCCAoGxBAMMAIASBFABAA=}#}
.....………......................................................................................................................…13 分
729 243 27 1
所以E (X ) = 0 +1000 + 2000 +3000 = 300元．…………15 分
1000 1000 1000 1000
17．（本小题满分 15 分）
【解法一】
2
（1）因 AB = BC = AD , AB CD , ABC = ，…………………………1分
3
2
所以 CAB = , CAD = = 即 AD ⊥ AC ……………………………2分
6 3 6 2
又 PA⊥平面 ABCD ，所以 PA⊥ AD ………………………………………3分
因 AC PA= A ………………………………………4分
所以 AD ⊥平面 PAC ………………………………………5分
（2）设 AD =1，如图所示，建立空间直角坐标系 A xyz .
CM DN
令 = = ， (0,1) .设M (x1, y1, z1 ) , N (x2 , y2 , z2 )
CD DP
则有CM = CD , DN = DP…………7分
即（x1 3,y1,z1）= （ 3,1,0），解得
M ( 3(1 ), ,0) .
同理可得 N (0,1 , 3 ) .…………8分
设平面 AMN 的法向量为n = ( x, y, z )，
n AM = 3(1 )x + y = 0, （3 1） （ 1）2
由 令 x =1，则 y = ， z = .
n AN = (1 )y + 3 z = 0,
2
（3 1）（ 1）2
得平面 AMN 的一个法向量为n = 1, , 2 ………………10分

高三数学参考答案及评分标准 第 3 页 （共 8 页）
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又由（1）可知 AD =（0,1,0)是平面 APC 的一个法向量，则有
3( 1)
n AD 3
cos = = =
3( 1)2 ( 1)4 3( 1)2n AD 2 ( 1)
4 2
1 1 + + [1+ + ]
2 4 2 4 ( 1)2
3 3 15
= =
2 ( 1)2 2+3 5 ………………………13分
+3+
( 1)2 2
1 2 1
当且仅当 ( ) =1，即 = 时取“=”…………………… ……………………14分
2

又
15
0, ，所以cos 的最大值cos = .……………………………15分
2 5
【解法二】
（1）同解法一
（2）不妨设 AD =1，由 AC, AD, AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系
A xyz ，则根据题意可得:
AM = AC + (1 )AD = ( 3 ,1 ,0)
AN = AD+ (1 )AP = (0, , 3 3 )
(0,1)…………………………7分
设平面 AMN 的一个法向量为n = ( x, y, z )，
n AM = 3 x + (1 )y = 0,
…………8分
n AN = y + 3(1 )z = 0,
2 2
3 3
取 x =1， y = ， z = 于是 n = (1, , )，………………10分
1 ( 1)
2 1 ( 1)2
高三数学参考答案及评分标准 第 4 页 （共 8 页）
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3 ( 1) 3 3 15
cos = = =
( 1)4 +3 2 ( 1)2 + 4 1 2 2 2+ 3 5
,…13分
( ) + 3+ ( )
1
1
( )2
1
当且仅当 =1，即 = 时取“=”…………………… ……………………14分
2
15
又 0, ，所以cos 的最大值cos = . ……………………………15分
2 5
18．（本小题满分 17 分）
【解法一】
y y
（1）设P(x, y) ，则 kPA = (x 1),kPA = (x 1)，……………………3 分 1 x +1 2 x 1
y y
由已知，有 = 4(x 1)，
x +1 x 1
y2
故C 的方程为 x2 =1(x 1) .………………………………………………………6 分
4
（2）设M (x1, y1), N(x2 , y2 ) ,
若直线 l 的斜率为 0，则直线MA1与 NA2 的交点在
y 轴上，与已知矛盾，…………7 分
故设直线 l 的方程为： x = my + n (n = 1)
x = my + n
由 得， (4m
2 1)y2 +8mny+4n2 4 = 0，
2
4x y
2 = 4
8mn 4n2 4
△ 9 =16(4m2 +n2 1) 0，则 y1 + y2 = , y1 y2 = ，……………… 分4m2 1 4m2 1
1 1 t 2 t
由点 S 在直线 x = 上，设 S( ,t)，则 kA M = = t,kA M = = 2t ，…10 分
2 2 1 1 3 2 1
+1 1
2 2
所以 kA M = 3kA M ，又 kA N kA N = 4，则 kA N ( 3kA M ) = 4 , 2 1 1 2 1 1
4
即 kA N k1 A M = ，………………………………………………………………………12 分 1 3
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y2 y 1
4
= ，
x2 +1 x1 +1 3
3y1y2 = 4(my2 + n+1)(my1 + n+1)，
(4m2 +3)y1y2 +4(mn+m)(y1 + y2)+4(n+1)
2 = 0，
4n2
(4m2
4 8mn
+3) + 4(mn +m) + 4(n+1)2 = 0 ，
4m2 1 4m2 1
n2 n 2 = 0 ，所以n = 1（舍去），或n = 2，……………………………………16 分
所以 l 的方程为 x =my +2，过定点 (2,0) .……………………………………………17 分
【解法二】
（1）同解法一； …………………………………………………………………6 分
（2）设M (x1, y1), N(x2 , y2 ) ,
若直线 l 的斜率为 0，则直线MA1与 NA2 的交点在 y 轴上，与已知矛盾，…………7 分
故设直线 l 的方程为： x = my + n (n = 1)
x = my + n
由 2 2 2 得， (4m 1)y +8mny+4n 4 = 0，
4x
2 y2 = 4
8mn 4n2 4
△=16(4m2 +n2 1) 0，则 y + y = , y y = ，………………9 分 1 2 1 24m2 1 4m2 1
(n2 1)(y + y )
所以 (n2 1)(y + y ) = 2mny y ，即my y =
1 2 ，……………10 分
1 2
1 2 1 2 2n
y
又直线MA1的方程为 y =
1 (x +1) ，
x1 +1
y
直线 NA2 的方程为 y =
2 (x 1) ，……11 分
x2 1
高三数学参考答案及评分标准 第 6 页 （共 8 页）
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y y
联立直线MA1与直线 NA2 的方程，可得
1 (x +1) = 2 (x 1) ，
x1 +1 x2 1
1 y2 (x1 +1)
又点 S 在直线 x = 上，故 = 3，……………………………………13 分
2 y1(x2 1)
y2 (x1 +1) y2 (my1 + n +1) my1y1 + (n +1)y所以 = = 2
y1(x2 1) y1(my2 + n 1) my1y2 + (n 1)y1
(n2 1)(y1 + y 2
) (n 1)(y + y )
+ (n +1)y2 y
1 2
n +1 2

= 2n = 2n
(n2 1)(y1 + y2 ) n -1 (n +1)(y + y ) + (n 1)y y
1 2
1 1
2n 2n
n +1 (n +1)y2 (n 1)y n +1= 1 = = 3，……………………………………16 分
n -1 (n +1)y2 + (n 1)y1 n 1
故 n = 2，直线 l 的方程为 x =my +2，过定点 (2,0) .……………………………17 分
19．（本小题满分 17 分）
S
【解法一】（1）依题意 S = a a = = 42a2 = 4，所以 3 ………………………………4分 a1
bi+2 b13 i b1 + (i +1)d b1 + (12 i)d
（2）由m =10知对任意 i 都有a a = S 即 = = Si 11 i ， bi b11 i b1 + (i 1)d b1 + (10 i)d
b 21 + (12+11i i
2 )d 2 +13b
所以 1
d
= S
2 2 2 ，………………………………………………5分 b1 + ( 10+11i i )d + 9b1d
所以 d
2i2 +11d 2i +12d 2 +b 2 +13b d = S( d 2i2 +11d 2i 10d 21 1 +b
2
1 +9b1d)…………6分
d 2 = d 2S

所以 11d
2 =11d 2S ………………………………………8分

12d
2 + b 21 +13b1d = S( 10d
2 + b 21 + 9b1d )
S =1 S =1
因 d 0，b1 = 11所以 2 即 …………………………………10分
22d + 4b1d = 0 d = 2
（3）由已知a1am = S, a2am 1 = S, , aiam+1 i = S,……………………………………11分
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am i+1 S S S S 1 1
所以 = = ( )2 2 2 (1 i m,m 3)………………………13分 ai ai i i 1 2 i 1 i +1
am am 1 a1 1 1 1 1
所以 + + + S + + + ...+a a 2 2 2 2
1 2 am 1 2 3 m
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
S + + + + + ……15分
1 4 2 2 4 3 5 4 6 m 1 m+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5S
S + + + S + + + =
1 4 2 2 3 m m+1 1 4 2 2 3 3
am a a a 5s
即 +
m 1 + ...+ 2 + 1 .………………………………………………………17分
a1 a2 am 1 am 3
【解法二】
（1）同解法一；
b3 b12 b4 b11
（2）当 i =1，2时由 S = a1a = a a 得 S = = 10 2 9 ………………………3分 b1 b10 b2 b9
b1 + 2d b1 +11d b + 3d b +10d
所以 =
1 1 ……………………………………………4分
b1 b1 + 9d b1+d b1 +8d
(b 21 +10b1d +16d
2) (b 21 +12b d +11d
2) = (b 2 2 21 1 +12b1d + 27d ) (b1 +10b1d)
p = b 2 +10b d，q = b 2 +12b d +11d 2令 1 1 1 1 则 (p+16d
2)q = (q+16d 2)p，……………6分
因 d 0，b = 11所以 p = q b
2 +10b 2 21 ， 1 1d = b1 +12b1d +11d 即d = 2，S =1………8分
bi+2 b 13 i
11+ 2(i +1) 11+ 2(12 i)
当1 i 10时都有a a = = i 11 i bi b11 i 11+ 2(i 1) 11+ 2(10 i)
9+ 2i 13 2i
= =1= S 所以d = 2，S =1成立……………………………………11 分
13+ 2i 9 2i
（3）同解法一．
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6.关于t的实系数二次不等式2+(b-1)t+a<0的解集为(-2，-l),若a-b=1,(x,y∈R),
数学试题
则2x-y的最小值为
B.√瓦
C.2
D.2√5
(考试时间：120分钟满分：150分)》
A2
注意事项：
7.
在正四面体ABCD中，P为棱AD的中点，过点A的平面a与平面PBC平行，平面a∩
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要
平面ABD=m,平面a∩平面ACD=n,则m,n所成角的余弦值为
认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是
否一致。
A.②
3
B
c
D.5
3
n
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
8.
己知椭圆C的焦点为F(-1,O),F1,O),点A在C上，点B在y轴上，FA⊥FB
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
A=子B,则C的方程为
图
3.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
D.+上=1
5+4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z+i=2i(z-i),则z=
中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选
A.1
B.√2
C.5
D.2
错的得0分。
製
已知d.beR,则“1og,a>log,b”是“<”的
9.六位评委给某选手的评分分别为：16,18,20,20,22,24.去掉最高分和最低分，
2.
所得新数据与原数据相比不变的是
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
A.极差
B.众数
C.平均数
D.第25百分位数
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.己知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R),则
3.已知向量a,b满足引a=4,b=2,=150°，则a在b上的投影向量为
A.直线1过定点(3，)
条
A.b
B.3b
C.-b
D.-√5b
B.圆C被x轴截得的弦长为4W5
4.
对任意非零实数a,当时充分小时，0+刘=1+a.如：5=4布=2+号
C.当m=-2时，圆C上恰有2个点到直线1距离等于4
≈2x1+x
D.直线I被圆C截得的弦长最短时，1的方程为2x-y-5=0
=225,用这个方法计算万的近似值为
24
11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)='(x).f(x)满足
A.1.906
B.1.908
C.1.917
D.1.919
f(2x-1)-f(3-2x)=4x-4,g(x-1)的图象关于直线x=1对称，则
+看-则cos2a-
已知tana+刀）
A.f(2)-f(0)=2
B.g(1)=1
A
B.
c
4
D.5
C.y=f(1+x)-x为奇函数
D.
2sk)=10m
高三数学试题第1页共4页
高三数学试题第2页共4页

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