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2024年九年级数学科综合测试题
【试卷说明】1．本试卷共6页，全卷满分 120分，考试时间为 120分钟，考生应将答案全部 (涂)写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填 (涂)写到答题卡上；
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，去括号，有理数的乘方和积的乘方，根据合并同类项，有理数的乘方，去括号和积的乘方运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3） ；（4）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数轴，倒数，相反数和绝对值，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．利用数形结合是解题的关键．
根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出，，根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据绝对值的定义可判断（4）．
【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得，，
∴（1），正确；
（2），正确；
（3），错误；
（4），正确．
故正确的3个，
故选：C．
4. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了万吨钢材，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6. 如图， 在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值可以为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．先证得四边形为平行四边形，当时，为菱形，此时，即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∵将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，为菱形，
此时．
故选：A
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B. 正六边形每一个内角为
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，根据多边形外角和、正多边形内角和，矩形的判定，等边三角形的判定，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】、正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为，原选项不符合题意；
、正六边形的内角和为， 则每一个内角为，原选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，原选项不符合题意；
、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原选项符合题意；
故选：．
8. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每个月生产成本的下降率为，由题意可列方程，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每个月生产成本的下降率为，
由题意得：，
故选：．
9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上， 则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数解析式．熟练掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数解析式是解题的关键．
由题意知，关于轴对称，如图，连接交于，设，则，，将，，代入，可求，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，关于轴对称，
如图，连接交于，
∵正方形，
∴，
设，则，，
将，，代入得，，
解得，，
∴，
故选：D．
10. 若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集、方程的解和方程的解，再根据关于的不等式组 的解集中点大于方程的解且小于方程的解，即可得到的取值范围，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法．
【详解】由可得：，
方程的解为，
方程的解为，
∵关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程 的解，
∴，
解得，
故选：．
二、填空题 (共6小题，每小题3分，满分18分．)
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由分式有意义的条件可知：2-x≠0，
∴x≠2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
12. 分解因式：=__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
13. 方程解为______．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
14. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______．
【答案】25°
【解析】
【分析】如图，由平行线的性质可求得∠4，结合三角形外角的性质可求得∠3．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠4=∠2=55°，
又∵∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4-∠1=55°-30°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
15. 如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是_______(结果保留π ) ．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，由是切线，可得，由等边对等角可得，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长．熟练掌握切线的性质，等边对等角，平行线的判定，弧长是解题的关键．
16. 如图，已知在直角三角形中，点 B的坐标为，将绕点O旋转至的位置，使点落在边上，点落在反比例函数的图象上，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，，则，与轴的夹角为，由旋转的性质可知，，，则与轴的夹角为，即关于轴对称，，将代入，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴与轴的夹角为，
由旋转的性质可知，，，
∴与轴的夹角为，
∴关于轴对称，
∴，
将代入，可得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切，旋转的性质，轴对称，反比例函数解析式．根据题意确定点的坐标是解题的关键．
三、解答题 (本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17. 解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
18. 如图， 点在线段上， ，， ．
求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质知识，根据平行线的性质可得，进而根据证明，再由全等三角形的性质即可求证，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
【详解】∵，
∴，
在和中
∴，
∴．
19. 如图， 在中， ．
（1）操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）计算∶ 在（）的条件下， 若， ， 求梯形的面积．
【答案】（1）作图见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据作垂线尺规作图的方法即可；
（）先由平行四边形的性质得出，再利用所对直角边是斜边的一半求出的长，再利用求梯形面积的方法即可求解．
【小问1详解】
以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，
分别以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点，
连接，交于点，
如图，
∴即为所求；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
由（）得：，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴梯形的面积为．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，所对直角边是斜边的一半，梯形面积公式和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
20. 已知 ．
（1）化简；
（2）若已知 ，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可；
（）用整体代入求值求值即可；
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴原式．
21. 已知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点．
（1）当点的坐标为时．
求， 的值；
分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 的解集；
（2）若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，点，恰好关于原点对称，求的值．
【答案】（1），；画图见解析，或；
（2）．
【解析】
【分析】（）待定系数法求解析式即可；
根据函数的图象即可求解；
（）由一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，可得，
又点，恰好关于原点对称，则，求解即可；
本题考查了待定系数法，一次函数的平移，一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
将点代入一次函数，得，
解得，
将点代入反比例函数，
得；
由得一次函数，反比例函数，
画图如图：
联立，解得：或，
根据图象可知：当或时；
【小问2详解】
一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，可得，
联立，
∴，
∵点，恰好关于原点对称，
∴点，的横坐标之和为，
∴，解得．
22. 《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾分类扇形统计图．
（1）求图中可回收物所在的扇形的圆心角的度数；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为万元．若某镇某月生活垃圾清运总量为吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派名同学参加．甲班经选拔后，决定从小组名男生和名女生中随机抽取名同学在党员教师的带领下参加小区的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）；
（2）估计该月可回收物可创造的经济总价值是万元；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据统计图中的数据用乘以可回收物所占百分比，可以计算可回收物所对应的扇形圆心角的度数；
（）根据统计图中的数据，可以计算出该市吨垃圾中可回收物的吨数；
（）列表后利用概率公式求解可得；
本题考查扇形统计图以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
答：可回收物所在的扇形的圆心角的度数为；
【小问2详解】
解：（万元）；
答：估计该月可回收物可创造的经济总价值是万元；
【小问3详解】
解：用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
∴．
23. 如图，以的一边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．
（1）判断是否是切线，并证明你的结论；
（2）连接，若，，求点到直线的距离．
【答案】（1）是的切线，证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据角平分线的定义，圆周角定理以及垂径定理得出，再根据平行线的性质得到，由切线的判定方法即可得出结论；
（）根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出，，再由相似三角形的性质和勾股定理求出，由三角形的面积公式进行计算即可；
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：是切线，证明如下：如图，连接，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵是的直径，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，，，
∵，即，
解得或（舍去），
即，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，，
∴，，
∴点到的距离为．
24. 过点 , 的抛物线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线交轴于点，点是抛物线上位于直线下方的一动点，过点作直线的垂线，垂足为．
求的最大值；
当 时，求点的坐标．
【答案】（1），；
（2）最大值为；．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数，一次函数的性质及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
（）直接利用待定系数法，把代入抛物线即可求得；
（）直线的解析式为，先求出设与轴交于点，过作轴于点，交于点，根据，即，得，设点，则点，则，求出最大值即可；
由的坐标特点，得到轴， 又和直线的解析式即可求得；
【小问1详解】
把 代入抛物线可得，，
解得 ；
【小问2详解】
由（）得，抛物线的解析式为，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
把代入解析式得，
，解得 ，
∴直线的解析式为，
设与轴交于点，过作轴于点，交于点，
∴，
∴，
由得，
又 ， ，，
∴，，
∴由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
设点，则点，
则，
∵，
故当时，有最大值，
∴最大值为；
过点作交抛物线于点，则，
∵，则，
而直线的表达式为，
则的表达式为：，
联立直线的表达式和抛物线的表达式得： ，
解得：(舍去)或，
则点的坐标为．
25. 如图，正方形中，点E在边上(不与端点A，D重合)，点A关于直线的对称点为点F， 连接， 设．
（1）求的大小 (用含α的式子表示)；
（2）过点C作，垂足为G， 连接． 试判断与的位置关系， 并证明所得的结论；
（3）将绕点B顺时针旋转得到， 点E的对应点为点H， 连接． 当 时，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）是等腰三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，由正方形，轴对称的性质可得，，，则，根据，计算求解即可；
（2）如图2，连接，由，可知四点共圆，则，由，可得，进而可证；
（3）如图3，过作于，由旋转的性质可知，，，证明，则，，设，由，可求，由勾股定理得，，即，由，，可证是等腰三角形．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
∵正方形，点A关于直线的对称点为点F，
∴，，，
∴，
∴，
∴的度数为；
【小问2详解】
解：，证明如下；
如图2，连接，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：是等腰三角形，理由如下；
如图3，过作于，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
设，
∴，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四点共圆，平行线的判定，正弦，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四点 共圆，平行线的判定，正弦，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．2024年九年级数学科综合测试题
【试卷说明】1．本试卷共6页，全卷满分 120分，考试时间为 120分钟，考生应将答案全部 (涂)写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效；
2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等填 (涂)写到答题卡上；
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3） ；（4）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了万吨钢材，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
6. 如图， 在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值可以为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B. 正六边形的每一个内角为
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
8. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年月份一品牌的新能源车单台的生产成本是万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降， 月份的生产成本为 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C， 点B在y轴上， 则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
10. 若关于的一个一元一次不等式组的解集为(为常数且)，则称 为这个不等式组的“解集中点”．若关于的不等式组 的解集中点大于方程 的解且小于方程的解， 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题 (共6小题，每小题3分，满分18分．)
11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________．
12. 分解因式：=__________________.
13. 方程的解为______．
14. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝55°，则∠3＝______．
15. 如图， 在中，， 点 O 在边上， 以O为圆心， 3 为半径的圆恰好过点C，且与边相切于点D，交边于点E，则劣弧的长是_______(结果保留π ) ．
16. 如图，已知在直角三角形中，点 B的坐标为，将绕点O旋转至的位置，使点落在边上，点落在反比例函数的图象上，则k的值为_______．
三、解答题 (本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17. 解不等式组：
18. 如图， 点线段上， ，， ．
求证：．
19. 如图， 在中， ．
（1）操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）计算∶ 在（）的条件下， 若， ， 求梯形的面积．
20. 已知 ．
（1）化简；
（2）若已知 ，求值．
21. 已知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点．
（1）当点的坐标为时．
求， 值；
分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 的解集；
（2）若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，点，恰好关于原点对称，求的值．
22. 《广州市生活垃圾分类管理条例》实施以来，我区多次组织共产党员到社区进行垃圾分类宣传志愿服务，带头破解小区垃圾分类难点、堵点问题，社区垃圾分类文明实践蔚然成风．生活垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾、其他垃圾，某校“玩转数学”小组在对当地垃圾分类调查中，绘制了如图所示的垃圾分类扇形统计图．
（1）求图中可回收物所在扇形的圆心角的度数；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为万元．若某镇某月生活垃圾清运总量为吨，请估计该月可回收物可创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了进一步宣传垃圾分类知识，提升青少年环保参与意识，提高居民分类质量，学校开展了“桶边督导进小区，少年助力齐参与”垃圾分类宣传志愿者活动，每班每次从志愿报名参加的同学中派名同学参加．甲班经选拔后，决定从小组名男生和名女生中随机抽取名同学在党员教师的带领下参加小区的宣传服务活动，求所抽取的学生中恰好是一男一女的概率．
23. 如图，以的一边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于．
（1）判断是否是切线，并证明你的结论；
（2）连接，若，，求点到直线的距离．
24. 过点 , 的抛物线与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线交轴于点，点是抛物线上位于直线下方的一动点，过点作直线的垂线，垂足为．
求最大值；
当 时，求点的坐标．
25. 如图，正方形中，点E在边上(不与端点A，D重合)，点A关于直线的对称点为点F， 连接， 设．
（1）求的大小 (用含α的式子表示)；
（2）过点C作，垂足为G， 连接． 试判断与的位置关系， 并证明所得的结论；
（3）将绕点B顺时针旋转得到， 点E的对应点为点H， 连接． 当 时，判断的形状，并说明理由．

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