2024年高考数学抢分模拟卷01(新高考专用)(原卷版+解析版)

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2024年高考数学抢分模拟卷01(新高考专用)(原卷版+解析版)

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抢分模拟卷01
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.(2024·全国·模拟预测)已知集合,,则的子集个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】B
【详解】解法一:集合表示直线上的所有点,
集合表示圆上的所有点,
因为圆心到直线的距离为,等于圆的半径,
所以直线与圆相切,只有一个公共点,根据一元集的子集个数为2.
故选:B.
解法二:可以将直线方程代入圆的方程得:
,整理得,解得,
所以它们联立方程组的解为,故只有1个元素,
根据一元集的子集个数为2.
故选:B.
2.(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知复数满足,,则( )
A.3 B. C. D.
【答案】D
【详解】设,,且,
由已知得,,得,
又,
故,,
同时平方得,,
相加并化简得,
而,
.
故选:D
3.(2024·全国·模拟预测)从1,2,3,4,5中随机选取2个不同的数,则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意知,数字1,2,3,4,5中共有3个质数,分别是2,3,4,
从1,2,3,4,5中随机选取2个数的所有基本事件有:
,共10个,
其中恰好有1个数是质数的基本事件有,,共6个,所以所求概率为.
故选:C.
4.(2024·全国·模拟预测)已知向量,,,若,,则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.2
【答案】A
【详解】由得.由得,所以,,
所以,,
故向量在方向上的投影为.
故选:A.
5.(2024·全国·模拟预测)已知是数列的前项和,,,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】,,又,
数列是首项为1、公差为1的等差数列,
,,
①,
②,
①②得,,
,不等式,
即,
故对任意的恒成立.
又,当且仅当,即时等号成立,

故选:A.
6.(2024·四川成都·三模)在平面直角坐标系中,点,向量,且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和(点在轴上方),双曲线右焦点为,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由于向量,点,所以,
因为,所以点,则点的轨迹为,
与双曲线其中一条渐近线,联立,得,
联立,得,
因此.
故选:D
7.(2024高三·全国·专题练习)已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等,若正四面体的棱与球的球面有公共点,则正四面体的棱长的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设正四面体的棱长为,则其高为.
当正四面体内接于球时,最小,此时,得.
当球与正四面体的每条棱都相切时,最大,
因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等,
所以当球与正四面体的每条棱都相切时,
借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点,
且球心到正四面体的顶点的距离为,
利用勾股定理可得,得.
故正四面体的棱长的取值范围为.
故选:C.
8.(2024·全国·模拟预测)已知函数在上存在单调递减区间,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为函数,可得,
因为函数在上存在单调递减区间,
可得在上有解,
即在上有解,
令,则,且,
当时,,所以;
当时,,所以,
所以在上单调递增,在上单调递减,故,所以.
故选:D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·云南昆明·一模)已知函数,若,则的值可以为( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【详解】令或,,
故或,,
故,
取和可得或,
故的值可以为或,
故选:BD
10.(2024·重庆·模拟预测)平面直角坐标系中,曲线的方程为:则( )
A.曲线与轴有4个公共点 B.曲线关于原点对称
C.曲线上的点都在某个矩形内 D.曲线上的点到原点的距离均为
【答案】BC
【详解】对于A:由,令,可得,解得或,
所以曲线与轴只有和共个公共点,故A错误;
对于B:因为,所以点和点均在曲线上,
所以曲线关于原点对称,故B正确;
对于C:因为,所以且,
即曲线上的点都在直线、、、所围成的矩形(包含边上的点)内,
所以曲线上的点都在某个矩形内,故C正确;
因为,且,所以,,
所以,所以曲线上的点到原点的距离,故D错误.
故选:BC
11.(2024·浙江杭州·模拟预测)已知是方程的两根,数列满足,,. 满足,其中. 则( )
A.
B.
C.存在实数,使得对任意的正整数,都有
D.不存在实数,使得对任意的正整数,都有
【答案】ABC
【详解】由于是方程的两根,故,.
并可解出,.
用数学归纳法证明:对任意的正整数,有.
当时,由知,故,结论成立;
当时,有,结论成立;
假设当,以及时结论都成立,这里,则,.
此时有

故结论对也成立.
综上,对任意的正整数,有.
由于是偶数,且由知是偶数,
且,可知每个都是偶数.
所以

故.
而,故.
又因为,
故,从而.
所以.
构建,则在内恒成立,
则,可得成立.
由于,知,.
故,即.
对于A,有,故A正确;
对于B,有,故B正确;
对于C,由于,故存在实数,使得对任意的正整数,都有,故C正确;
对于D,由于,故存在实数,使得对任意的正整数,都有,故D错误.
故选:ABC.
第II卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)的展开式中的常数项为 .
【答案】
【详解】二项式的展开式的通项公式为,
令,求得,令,求得,
由于,
故其展开式中的常数项为
故答案为:.
13.(2024·湖南·一模)如果直线和曲线恰有一个交点,那么实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意,当时,为双曲线的上半部分;
当时,为椭圆的下半部分.
又即,故作出的图象:
考虑临界条件,当与椭圆下半部分相切时,有,
整理得,则,
由图象解得.
当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件.
故实数的取值范围为.
故答案为:
14.(2024·广东·模拟预测)已知为的外接圆圆心,且.设实数满足,则的取值范围为 .
【答案】
【详解】解:由题可得,以的中点为原点,方向为轴,的中垂线为轴,
建立如图所示平面直角坐标系:
因为,所以,记圆心,半径为,
所以圆的方程为,,
不妨设,所以,
,,
因为所以,
因为,
所以,
所以可得,
将代入上式可得,①,
因为,②,
将①的平方和②的平方相加可得:,
所以,
所以,
将带入可得,,即,
即,所以,
所以的取值范围为。
故答案为:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(2024·山东济南·二模)已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)证明:.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【详解】(1)由题意可得:的定义域为,,
当时,则在内恒成立,
可知在内单调递减;
当时,令,解得;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增;
综上所述:当时,在内单调递减;
当时,在内单调递减,在内单调递增.
(2)构建,
则,
由可知,
构建,
因为在内单调递增,则在内单调递增,
且,
可知在内存在唯一零点,
当,则,即;
当,则,即;
可知在内单调递减,在内单调递增,
则,
又因为,则,,
可得,
即,所以.
16.(2024·全国·模拟预测)在四棱柱中,平面平面,,底面为菱形,,分别为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,求三棱锥的表面积.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【详解】(1)如图,连接,设,连接,
几何体为四棱柱,
四边形是平行四边形,四边形是平行四边形,
是的中点,,,
分别为的中点,
,,,,

四边形是平行四边形, ,
平面,平面,
平面.
(2)设是的中点,连接,过作,交的延长线于点,连接,易知,
四边形为平行四边形,,,
,,
平面平面,平面平面,
平面,平面,,.
又,
,,

易知,,是边长为1的正三角形,即.
在中,,
在中,,
在中,,
在中,,


在中,,


三棱锥的表面积为.
17.(2024·全国·模拟预测)为了保存学习资料,某位老师注册了网盘账号,根据平时存储资料的情况,得到了存储文件个数与占用网盘空间(单位:GB)的数据如下:
存储文件个数 20 30 40 50 60
占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5
(1)若与有较强的线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中,会根据需要适当删除或增加文件,若6个月网盘中的文件个数分别为,根据(1)的结论,从这6个月中任选2个月,试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由条件可得,






线性回归方程为.
(2)令,得.
这6个月中占用网盘空间超过的有2个月,分别记为,
其余4个月分别记为.
从这6个月中随机选取2个月,所有不同情况有,,共15种,
记事件为“这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过,
则事件包含的情况有,共9种,
故所求概率.
18.(2024·全国·模拟预测)已知直线与抛物线交于两点,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若点,求外接圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)设,
将与联立,化简得,
所以,,,
所以,
得,
所以抛物线的标准方程为.
(2)
设外接圆的一般方程为,
由,得①,
由,得②,
因为两点既在抛物线上又在圆上,
所以①、②两个方程的解均为和,
故,得,,
将代入,化简得,
解得,满足,
所以外接圆的方程为.
19.(2024·北京顺义·二模)已知点集满足,,.对于任意点集,若其非空子集A,B满足,,则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分,记A中所有点的横坐标之和为,B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分,使其满足;
(2)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足;
(3)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足且.
【答案】(1)(答案不唯一)
(2)证明见解析;
(3)证明见解析;
【详解】(1)由题因为,
所以若使,则可以,
此时,满足题意.
(2)根据题意对于任意点集,不妨设,
且,,,
若,则,令,
则,此时恒有;
若,则,可令,
此时,则,满足题意;
若,则,令,
此时,则,满足题意;
若,则,则
令,
此时,则,满足题意;
所以对于任意点集,都存在的一个优划分,满足.
(3)不妨设,
若,则B取其中一点即可满足;
若,
则必存在正整数k使得,
则有,于是,
又因为
,当且仅当时取等号;
于是取,
即可满足且,命题得证.抢分模拟卷01
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.(2024·全国·模拟预测)已知集合,,则的子集个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知复数满足,,则( )
A.3 B. C. D.
3.(2024·全国·模拟预测)从1,2,3,4,5中随机选取2个不同的数,则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为( )
A. B. C. D.
4.(2024·全国·模拟预测)已知向量,,,若,,则向量在方向上的投影为( )
A. B. C. D.2
5.(2024·全国·模拟预测)已知是数列的前项和,,,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.(2024·四川成都·三模)在平面直角坐标系中,点,向量,且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和(点在轴上方),双曲线右焦点为,则( )
A. B. C. D.
7.(2024高三·全国·专题练习)已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等,若正四面体的棱与球的球面有公共点,则正四面体的棱长的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.(2024·全国·模拟预测)已知函数在上存在单调递减区间,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·云南昆明·一模)已知函数,若,则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.(2024·重庆·模拟预测)平面直角坐标系中,曲线的方程为:则( )
A.曲线与轴有4个公共点 B.曲线关于原点对称
C.曲线上的点都在某个矩形内 D.曲线上的点到原点的距离均为
11.(2024·浙江杭州·模拟预测)已知是方程的两根,数列满足,,. 满足,其中. 则( )
A.
B.
C.存在实数,使得对任意的正整数,都有
D.不存在实数,使得对任意的正整数,都有
第II卷
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)的展开式中的常数项为 .
13.(2024·湖南·一模)如果直线和曲线恰有一个交点,那么实数的取值范围是 .
14.(2024·广东·模拟预测)已知为的外接圆圆心,且.设实数满足,则的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2024·山东济南·二模)已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)证明:.
16.(15分)(2024·全国·模拟预测)在四棱柱中,平面平面,,底面为菱形,,分别为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,,求三棱锥的表面积.
17.(15分)(2024·全国·模拟预测)为了保存学习资料,某位老师注册了网盘账号,根据平时存储资料的情况,得到了存储文件个数与占用网盘空间(单位:GB)的数据如下:
存储文件个数 20 30 40 50 60
占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5
(1)若与有较强的线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中,会根据需要适当删除或增加文件,若6个月网盘中的文件个数分别为,根据(1)的结论,从这6个月中任选2个月,试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
18.(17分)(2024·全国·模拟预测)已知直线与抛物线交于两点,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若点,求外接圆的方程.
19.(17分)(2024·北京顺义·二模)已知点集满足,,.对于任意点集,若其非空子集A,B满足,,则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分,记A中所有点的横坐标之和为,B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分,使其满足;
(2)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足;
(3)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足且.

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