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抢分模拟卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】解法一：集合表示直线上的所有点，
集合表示圆上的所有点，
因为圆心到直线的距离为，等于圆的半径，
所以直线与圆相切，只有一个公共点,根据一元集的子集个数为2．
故选：B.
解法二：可以将直线方程代入圆的方程得：
，整理得，解得，
所以它们联立方程组的解为，故只有1个元素，
根据一元集的子集个数为2．
故选：B.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数满足，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，且，
由已知得，，得，
又，
故，，
同时平方得，，
相加并化简得，
而，
.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，数字1，2，3，4，5中共有3个质数，分别是2，3，4，
从1，2，3，4，5中随机选取2个数的所有基本事件有：
，共10个，
其中恰好有1个数是质数的基本事件有，，共6个，所以所求概率为.
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】由得．由得，所以，，
所以，，
故向量在方向上的投影为.
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，，又，
数列是首项为1、公差为1的等差数列，
，，
①，
②，
①②得，，
，不等式，
即，
故对任意的恒成立．
又，当且仅当，即时等号成立，
，
故选：A．
6．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和（点在轴上方），双曲线右焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于向量，点，所以，
因为，所以点，则点的轨迹为，
与双曲线其中一条渐近线，联立，得，
联立，得，
因此.
故选：D
7．（2024高三·全国·专题练习）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设正四面体的棱长为，则其高为．
当正四面体内接于球时，最小，此时，得．
当球与正四面体的每条棱都相切时，最大，
因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，
所以当球与正四面体的每条棱都相切时，
借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，
且球心到正四面体的顶点的距离为，
利用勾股定理可得，得．
故正四面体的棱长的取值范围为．
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为函数，可得，
因为函数在上存在单调递减区间，
可得在上有解，
即在上有解，
令，则，且，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024·云南昆明·一模）已知函数，若，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】令或，,
故或，，
故,
取和可得或，
故的值可以为或，
故选：BD
10．（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线的方程为：则（ ）
A．曲线与轴有4个公共点 B．曲线关于原点对称
C．曲线上的点都在某个矩形内 D．曲线上的点到原点的距离均为
【答案】BC
【详解】对于A：由，令，可得，解得或，
所以曲线与轴只有和共个公共点，故A错误；
对于B：因为，所以点和点均在曲线上，
所以曲线关于原点对称，故B正确；
对于C：因为，所以且，
即曲线上的点都在直线、、、所围成的矩形（包含边上的点）内，
所以曲线上的点都在某个矩形内，故C正确；
因为，且，所以，，
所以，所以曲线上的点到原点的距离，故D错误.
故选：BC
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知是方程的两根，数列满足，，. 满足，其中. 则（ ）
A．
B．
C．存在实数，使得对任意的正整数，都有
D．不存在实数，使得对任意的正整数，都有
【答案】ABC
【详解】由于是方程的两根，故，.
并可解出，.
用数学归纳法证明：对任意的正整数，有.
当时，由知，故，结论成立；
当时，有，结论成立；
假设当，以及时结论都成立，这里，则，.
此时有
，
故结论对也成立.
综上，对任意的正整数，有.
由于是偶数，且由知是偶数，
且，可知每个都是偶数.
所以
，
故.
而，故.
又因为，
故，从而.
所以.
构建，则在内恒成立，
则，可得成立.
由于，知，.
故，即.
对于A，有，故A正确；
对于B，有，故B正确；
对于C，由于，故存在实数，使得对任意的正整数，都有，故C正确；
对于D，由于，故存在实数，使得对任意的正整数，都有，故D错误.
故选：ABC.
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）的展开式中的常数项为 ．
【答案】
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，令，求得，
由于，
故其展开式中的常数项为
故答案为：.
13．（2024·湖南·一模）如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，当时，为双曲线的上半部分；
当时，为椭圆的下半部分.
又即，故作出的图象：
考虑临界条件，当与椭圆下半部分相切时，有，
整理得，则，
由图象解得.
当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件.
故实数的取值范围为.
故答案为：
14．（2024·广东·模拟预测）已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：由题可得，以的中点为原点，方向为轴，的中垂线为轴，
建立如图所示平面直角坐标系：
因为，所以，记圆心，半径为，
所以圆的方程为，，
不妨设，所以,
,,
因为所以，
因为，
所以，
所以可得，
将代入上式可得，①，
因为，②，
将①的平方和②的平方相加可得：，
所以，
所以，
将带入可得，，即，
即，所以，
所以的取值范围为。
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可得：的定义域为，，
当时，则在内恒成立，
可知在内单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
综上所述：当时，在内单调递减；
当时，在内单调递减，在内单调递增.
（2）构建，
则，
由可知，
构建，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
且，
可知在内存在唯一零点，
当，则，即；
当，则，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
又因为，则，，
可得，
即，所以.
16．（2024·全国·模拟预测）在四棱柱中，平面平面，，底面为菱形，，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求三棱锥的表面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）如图，连接，设，连接，
几何体为四棱柱，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
是的中点，，，
分别为的中点，
，，，，
，
四边形是平行四边形， ，
平面，平面，
平面．
（2）设是的中点，连接，过作，交的延长线于点，连接，易知，
四边形为平行四边形，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，，．
又，
，，
．
易知，，是边长为1的正三角形，即．
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
三棱锥的表面积为．
17．（2024·全国·模拟预测）为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的情况，得到了存储文件个数与占用网盘空间（单位：GB）的数据如下：
存储文件个数 20 30 40 50 60
占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5
(1)若与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件个数分别为，根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件可得，
，
，
，
，
，
．
线性回归方程为．
（2）令，得．
这6个月中占用网盘空间超过的有2个月，分别记为，
其余4个月分别记为．
从这6个月中随机选取2个月，所有不同情况有，，共15种，
记事件为“这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过，
则事件包含的情况有，共9种，
故所求概率．
18．（2024·全国·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点，求外接圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，
将与联立，化简得，
所以，，，
所以，
得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）
设外接圆的一般方程为，
由，得①，
由，得②，
因为两点既在抛物线上又在圆上，
所以①、②两个方程的解均为和，
故，得，，
将代入，化简得，
解得，满足，
所以外接圆的方程为．
19．（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分，使其满足；
(2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
【详解】（1）由题因为，
所以若使，则可以，
此时，满足题意.
（2）根据题意对于任意点集，不妨设，
且，，，
若，则，令，
则，此时恒有；
若，则，可令，
此时，则，满足题意；
若，则，令，
此时，则，满足题意；
若，则，则
令，
此时，则，满足题意；
所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足.
（3）不妨设，
若，则B取其中一点即可满足；
若，
则必存在正整数k使得，
则有，于是，
又因为
，当且仅当时取等号；
于是取，
即可满足且，命题得证.抢分模拟卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数满足，，则（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）从1，2，3，4，5中随机选取2个不同的数，则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，，若，，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和（点在轴上方），双曲线右焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024·云南昆明·一模）已知函数，若，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中，曲线的方程为：则（ ）
A．曲线与轴有4个公共点 B．曲线关于原点对称
C．曲线上的点都在某个矩形内 D．曲线上的点到原点的距离均为
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知是方程的两根，数列满足，，. 满足，其中. 则（ ）
A．
B．
C．存在实数，使得对任意的正整数，都有
D．不存在实数，使得对任意的正整数，都有
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）的展开式中的常数项为 ．
13．（2024·湖南·一模）如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是 ．
14．（2024·广东·模拟预测）已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
16．（15分）（2024·全国·模拟预测）在四棱柱中，平面平面，，底面为菱形，，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求三棱锥的表面积．
17．（15分）（2024·全国·模拟预测）为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的情况，得到了存储文件个数与占用网盘空间（单位：GB）的数据如下：
存储文件个数 20 30 40 50 60
占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5
(1)若与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件个数分别为，根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
18．（17分）（2024·全国·模拟预测）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点，求外接圆的方程．
19．（17分）（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为.
(1)写出的一个优划分，使其满足；
(2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足；
(3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且.

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