资源简介 抢分模拟卷01(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.(2024·全国·模拟预测)已知集合,,则的子集个数为( )A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【详解】解法一:集合表示直线上的所有点,集合表示圆上的所有点,因为圆心到直线的距离为,等于圆的半径,所以直线与圆相切,只有一个公共点,根据一元集的子集个数为2.故选:B.解法二:可以将直线方程代入圆的方程得:,整理得,解得,所以它们联立方程组的解为,故只有1个元素,根据一元集的子集个数为2.故选:B.2.(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知复数满足,,则( )A.3 B. C. D.【答案】D【详解】设,,且,由已知得,,得,又,故,,同时平方得,,相加并化简得,而,.故选:D3.(2024·全国·模拟预测)从1,2,3,4,5中随机选取2个不同的数,则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】由题意知,数字1,2,3,4,5中共有3个质数,分别是2,3,4,从1,2,3,4,5中随机选取2个数的所有基本事件有:,共10个,其中恰好有1个数是质数的基本事件有,,共6个,所以所求概率为.故选:C.4.(2024·全国·模拟预测)已知向量,,,若,,则向量在方向上的投影为( )A. B. C. D.2【答案】A【详解】由得.由得,所以,,所以,,故向量在方向上的投影为.故选:A.5.(2024·全国·模拟预测)已知是数列的前项和,,,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】A【详解】,,又,数列是首项为1、公差为1的等差数列,,,①,②,①②得,,,不等式,即,故对任意的恒成立.又,当且仅当,即时等号成立,,故选:A.6.(2024·四川成都·三模)在平面直角坐标系中,点,向量,且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和(点在轴上方),双曲线右焦点为,则( )A. B. C. D.【答案】D【详解】由于向量,点,所以,因为,所以点,则点的轨迹为,与双曲线其中一条渐近线,联立,得,联立,得,因此.故选:D7.(2024高三·全国·专题练习)已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等,若正四面体的棱与球的球面有公共点,则正四面体的棱长的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】设正四面体的棱长为,则其高为.当正四面体内接于球时,最小,此时,得.当球与正四面体的每条棱都相切时,最大,因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等,所以当球与正四面体的每条棱都相切时,借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点,且球心到正四面体的顶点的距离为,利用勾股定理可得,得.故正四面体的棱长的取值范围为.故选:C.8.(2024·全国·模拟预测)已知函数在上存在单调递减区间,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】D【详解】因为函数,可得,因为函数在上存在单调递减区间,可得在上有解,即在上有解,令,则,且,当时,,所以;当时,,所以,所以在上单调递增,在上单调递减,故,所以.故选:D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·云南昆明·一模)已知函数,若,则的值可以为( )A. B. C. D.【答案】BD【详解】令或,,故或,,故,取和可得或,故的值可以为或,故选:BD10.(2024·重庆·模拟预测)平面直角坐标系中,曲线的方程为:则( )A.曲线与轴有4个公共点 B.曲线关于原点对称C.曲线上的点都在某个矩形内 D.曲线上的点到原点的距离均为【答案】BC【详解】对于A:由,令,可得,解得或,所以曲线与轴只有和共个公共点,故A错误;对于B:因为,所以点和点均在曲线上,所以曲线关于原点对称,故B正确;对于C:因为,所以且,即曲线上的点都在直线、、、所围成的矩形(包含边上的点)内,所以曲线上的点都在某个矩形内,故C正确;因为,且,所以,,所以,所以曲线上的点到原点的距离,故D错误.故选:BC11.(2024·浙江杭州·模拟预测)已知是方程的两根,数列满足,,. 满足,其中. 则( )A.B.C.存在实数,使得对任意的正整数,都有D.不存在实数,使得对任意的正整数,都有【答案】ABC【详解】由于是方程的两根,故,.并可解出,.用数学归纳法证明:对任意的正整数,有.当时,由知,故,结论成立;当时,有,结论成立;假设当,以及时结论都成立,这里,则,.此时有,故结论对也成立.综上,对任意的正整数,有.由于是偶数,且由知是偶数,且,可知每个都是偶数.所以,故.而,故.又因为,故,从而.所以.构建,则在内恒成立,则,可得成立.由于,知,. 故,即.对于A,有,故A正确;对于B,有,故B正确;对于C,由于,故存在实数,使得对任意的正整数,都有,故C正确;对于D,由于,故存在实数,使得对任意的正整数,都有,故D错误.故选:ABC.第II卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)的展开式中的常数项为 .【答案】【详解】二项式的展开式的通项公式为,令,求得,令,求得,由于,故其展开式中的常数项为故答案为:.13.(2024·湖南·一模)如果直线和曲线恰有一个交点,那么实数的取值范围是 .【答案】【详解】由题意,当时,为双曲线的上半部分;当时,为椭圆的下半部分.又即,故作出的图象:考虑临界条件,当与椭圆下半部分相切时,有,整理得,则,由图象解得.当与双曲线的渐近线平行时也为临界条件.故实数的取值范围为.故答案为:14.(2024·广东·模拟预测)已知为的外接圆圆心,且.设实数满足,则的取值范围为 .【答案】【详解】解:由题可得,以的中点为原点,方向为轴,的中垂线为轴,建立如图所示平面直角坐标系:因为,所以,记圆心,半径为,所以圆的方程为,,不妨设,所以,,,因为所以,因为,所以,所以可得,将代入上式可得,①,因为,②,将①的平方和②的平方相加可得:,所以,所以,将带入可得,,即,即,所以,所以的取值范围为。故答案为:四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(2024·山东济南·二模)已知函数(1)讨论的单调性;(2)证明:.【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【详解】(1)由题意可得:的定义域为,,当时,则在内恒成立,可知在内单调递减;当时,令,解得;令,解得;可知在内单调递减,在内单调递增;综上所述:当时,在内单调递减;当时,在内单调递减,在内单调递增.(2)构建,则,由可知,构建,因为在内单调递增,则在内单调递增,且,可知在内存在唯一零点,当,则,即;当,则,即;可知在内单调递减,在内单调递增,则,又因为,则,,可得,即,所以.16.(2024·全国·模拟预测)在四棱柱中,平面平面,,底面为菱形,,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)若,,求三棱锥的表面积.【答案】(1)证明见解析;(2).【详解】(1)如图,连接,设,连接,几何体为四棱柱,四边形是平行四边形,四边形是平行四边形,是的中点,,,分别为的中点,,,,,,四边形是平行四边形, ,平面,平面,平面.(2)设是的中点,连接,过作,交的延长线于点,连接,易知,四边形为平行四边形,,,,,平面平面,平面平面,平面,平面,,.又,,,.易知,,是边长为1的正三角形,即.在中,,在中,,在中,,在中,,,,在中,,,,三棱锥的表面积为.17.(2024·全国·模拟预测)为了保存学习资料,某位老师注册了网盘账号,根据平时存储资料的情况,得到了存储文件个数与占用网盘空间(单位:GB)的数据如下:存储文件个数 20 30 40 50 60占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5(1)若与有较强的线性相关关系,求关于的线性回归方程;(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中,会根据需要适当删除或增加文件,若6个月网盘中的文件个数分别为,根据(1)的结论,从这6个月中任选2个月,试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率.参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.【答案】(1)(2)【详解】(1)由条件可得,,,,,,.线性回归方程为.(2)令,得.这6个月中占用网盘空间超过的有2个月,分别记为,其余4个月分别记为.从这6个月中随机选取2个月,所有不同情况有,,共15种,记事件为“这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过,则事件包含的情况有,共9种,故所求概率.18.(2024·全国·模拟预测)已知直线与抛物线交于两点,且.(1)求抛物线的标准方程;(2)若点,求外接圆的方程.【答案】(1)(2)【详解】(1)设,将与联立,化简得,所以,,,所以,得,所以抛物线的标准方程为.(2)设外接圆的一般方程为,由,得①,由,得②,因为两点既在抛物线上又在圆上,所以①、②两个方程的解均为和,故,得,,将代入,化简得,解得,满足,所以外接圆的方程为.19.(2024·北京顺义·二模)已知点集满足,,.对于任意点集,若其非空子集A,B满足,,则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分,记A中所有点的横坐标之和为,B中所有点的纵坐标之和为.(1)写出的一个优划分,使其满足;(2)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足;(3)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足且.【答案】(1)(答案不唯一)(2)证明见解析;(3)证明见解析;【详解】(1)由题因为,所以若使,则可以,此时,满足题意.(2)根据题意对于任意点集,不妨设,且,,,若,则,令,则,此时恒有;若,则,可令,此时,则,满足题意;若,则,令,此时,则,满足题意;若,则,则令,此时,则,满足题意;所以对于任意点集,都存在的一个优划分,满足.(3)不妨设,若,则B取其中一点即可满足;若,则必存在正整数k使得,则有,于是,又因为,当且仅当时取等号;于是取,即可满足且,命题得证.抢分模拟卷01(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.(2024·全国·模拟预测)已知集合,,则的子集个数为( )A.1 B.2 C.4 D.82.(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知复数满足,,则( )A.3 B. C. D.3.(2024·全国·模拟预测)从1,2,3,4,5中随机选取2个不同的数,则所选的2个数中恰好有1个数是质数的概率为( )A. B. C. D.4.(2024·全国·模拟预测)已知向量,,,若,,则向量在方向上的投影为( )A. B. C. D.25.(2024·全国·模拟预测)已知是数列的前项和,,,不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.6.(2024·四川成都·三模)在平面直角坐标系中,点,向量,且.若点的轨迹与双曲线的渐近线相交于两点和(点在轴上方),双曲线右焦点为,则( )A. B. C. D.7.(2024高三·全国·专题练习)已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等,若正四面体的棱与球的球面有公共点,则正四面体的棱长的取值范围为( )A. B. C. D.8.(2024·全国·模拟预测)已知函数在上存在单调递减区间,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2024·云南昆明·一模)已知函数,若,则的值可以为( )A. B. C. D.10.(2024·重庆·模拟预测)平面直角坐标系中,曲线的方程为:则( )A.曲线与轴有4个公共点 B.曲线关于原点对称C.曲线上的点都在某个矩形内 D.曲线上的点到原点的距离均为11.(2024·浙江杭州·模拟预测)已知是方程的两根,数列满足,,. 满足,其中. 则( )A.B.C.存在实数,使得对任意的正整数,都有D.不存在实数,使得对任意的正整数,都有第II卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)的展开式中的常数项为 .13.(2024·湖南·一模)如果直线和曲线恰有一个交点,那么实数的取值范围是 .14.(2024·广东·模拟预测)已知为的外接圆圆心,且.设实数满足,则的取值范围为 .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2024·山东济南·二模)已知函数(1)讨论的单调性;(2)证明:.16.(15分)(2024·全国·模拟预测)在四棱柱中,平面平面,,底面为菱形,,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)若,,求三棱锥的表面积.17.(15分)(2024·全国·模拟预测)为了保存学习资料,某位老师注册了网盘账号,根据平时存储资料的情况,得到了存储文件个数与占用网盘空间(单位:GB)的数据如下:存储文件个数 20 30 40 50 60占用网盘空间 1.5 2.5 4 6 8.5(1)若与有较强的线性相关关系,求关于的线性回归方程;(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中,会根据需要适当删除或增加文件,若6个月网盘中的文件个数分别为,根据(1)的结论,从这6个月中任选2个月,试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率.参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.18.(17分)(2024·全国·模拟预测)已知直线与抛物线交于两点,且.(1)求抛物线的标准方程;(2)若点,求外接圆的方程.19.(17分)(2024·北京顺义·二模)已知点集满足,,.对于任意点集,若其非空子集A,B满足,,则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分,记A中所有点的横坐标之和为,B中所有点的纵坐标之和为.(1)写出的一个优划分,使其满足;(2)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足;(3)对于任意点集,求证:存在的一个优划分,满足且. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024年高考数学抢分模拟卷01(新高考专用)(原卷版).docx 2024年高考数学抢分模拟卷01(新高考专用)(解析版).docx