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专题2 三次函数问题（过关集训）
一、单选题：
（2023上北京十一学校月考）
1．如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（　　）
A．20m B．30m C．45m D．60m
2．若三次函数（）的图象上存在相互平行且距离为的两条切线，则称这两条切线为一组“距离为的友好切线组”.已知，则函数的图象上“距离为4的友好切线组”有组？
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设函数（）满足，现给出如下结论：
①若是上的增函数，则是的增函数；
②若，则有极值；
③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.
其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题：
（2024高三上广东六校联考）
4．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
（2024上安徽十五校期末联考）
5．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
（2024广东三校联考）
6．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，
B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
三、填空题：
7．已知函数，，，则 ．
8．已知直线与曲线有三个不同的交点，且,则 .
一、单选题：
（2024上海敬业中学月考三下全国阶段练习）
9．已知，，，若三次函数有三个零点，，，且满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
11．已知三次函数的导函数为，若方程有四个实数根，则实数a的范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：
（2024贵州部分中学联考）
12．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减
（2024下山东枣庄八中月考）
13．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数的图象一定是中心对称图形
B．函数可能只有一个极值点
C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条
三、填空题：
（2024江苏连云港东海二中月考）
14．已知三次函数无极值，且满足，则 .
（2023下安徽贵池期中考试）
15．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 .
16．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则 ．
一、单选题：
（2023下湖北襄阳期中考试）
17．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
18．一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．已知为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：
20．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象上都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A． B． C．m的值可能是 D．m的值不可能是
（2023下山东泰安期中考试）
21．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的解集为
（2024下黑龙江牡丹江二中月考）
22．对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．有且仅有2个零点
C．点是的对称中心
D．
三、填空题：
（2024上江苏决胜新高考高三联考）
23．已知三次函数，其导函数为，存在，满足．记的极大值为，则的取值范围是 ．
24．设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.
（1）函数的对称中心为 ；
（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的 条切线.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，在新坐标系中，可设三次函数的导函数为，由的最小值为求得，反向求得的表达式，由得出函数式，然后计算即得．
【详解】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，
由题意题中三次函数的导函数是二次函数，记为，的最小值是，设，则，，，
因此可设，，，
，
所以它们在竖直方向上的距离约为30 m，
故选：B．
2．D
【分析】设出切点，求导求得斜率，写出切线方程，利用距离公式得到关于的方程，解得共有3解，即可得到结论.
【详解】∵，则=，设两切点分别为A(,)，B(,)，若两切线平行，则的两根为，，且+=2，
不妨设，过A的切线方程为, 过B的切线方程为,
∴两条切线距离为,
化简得=1+9，令，显然u=1为一解，
又-8u+10=0有两个异于1的正根，
∴这样的u有3解，而，，且+=2，即与是一一对应的，
∴这样的，有3组，故选D.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了新定义的理解与应用，考查了运算能力及推理能力，属于难题.
3．D
【分析】先根据求出，结合选项逐个求解.
【详解】因为，
所以，化简得.
对于①，，其对称轴为，如果在上递增，其关于对称的区间上导函数为正值，故也是其增区间，①正确.
由，得，
对于②，当时，，导函数的判别式， ，判别式为正数，
当时，，其判别式为正数，综上可知导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数有极值，②正确.
对于③，注意到，则③转化为，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于是导函数的最小值点，即有且仅有一个最小值点，故③正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数单调性、极值与导数的知识，考查化归与转化的数学思想方法.求解的关键是首先根据题目所给条件，化简后可得到的一个关系式，从而消去，将题目的参数减少一个.然后利用导数这个工具，结合二次函数的对称轴与最值来判断各个结论的真假.
4．BC
【分析】对于A，由题意可得有两个不同的实根，则，从而可进行判断，对于B，根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断.
【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，
即，则，即，所以A错误；
因为三次函数有三个不同的零点，
所以，
所以，
同理，
所以，故C正确，D错误；
由的图象与直线的交点可知，B正确．
故选：BC．

5．ABC
【分析】先根据题意求出的解析式，再对不等式分离参数转化为对任意恒成立，通过同构和切线不等式放缩得到即可求解.
【详解】由题意可得，因为，所以，所以，
解得，所以．
因为，所以等价于对任意恒成立．令，则.
设，则，从而在上单调递增．因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，所以．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：分离参数法破解不等式的恒成立问题的步骤：
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
6．AB
【分析】利用导数结合已知求出判断A；利用导数求出极值，结合三次函数的图象特征判断BC；求出切线方程判断D.
【详解】由，求导得，，
令，得，由函数的对称中心为，
得，且，解得，A正确；
于是，，
当或时，，当时，，
则函数在，上都单调递增，在上单调递减，
因此函数既有极大值，又有极小值，B正确；
由于极小值，因此函数不可能有三个零点， C错误；
显然，若是切点，则，切线方程为；
若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，，
由，解得，即切点，切线方程为，
过 只可以作两条直线与图象相切，D错误.
故选：AB
7．
【分析】根据给定函数，探讨其图象的对称中心，再利用对称性求出.
【详解】设函数图象的对称中心为，则有，
即，
整理得，比较系数可得，
因此函数图象的对称中心为，又，，且，
则点关于对称，所以.
故答案为：6
8．
【分析】求得函数的导函数，可得函数的对称点，再由，检验可得对称性，再由条件可得为的中点，计算可得所求和的值．
【详解】解：由题意，
所以，
令，则，令，解得，
当时，，
又，
可得函数的图象关于点对称，
由，可得为的中点，
则．
故答案为：
9．D
【分析】根据条件建立方程求出，的值，然后回代，求出的范围，结合零点式求出，，的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．
【详解】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
设三次函数的零点式为，
比较系数得，，
故
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数，，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．
10．C
【分析】根据题意求出函数的对称中心为，可得出，用倒序相加法即可求解.
【详解】由题意可知，所以，令，则，
所以，由题意可知函数的对称中心为，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.
故选：C
【点睛】对称性常用结论;
1、若对于上的任意，函数都有，则图象关于直线对称.
2、若对于上的任意，函数都有，则图象关于点中心对称.
11．A
【分析】令得或，可得在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，算出的极值，又方程有四个实数根可转化为方程，或方程共有四个实数根，结合函数图象列出满足的条件即可.
【详解】，
由得或，又，
所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为；
又有四个实数根，故方程，或方程共有四个实数根，

或或，
解得：.
故选：A
【点睛】本题主要考查了导数的应用，考查了函数与方程的思想，数形结合，转化与化归的思想.
12．AB
【分析】根据题意，对函数进行二次求导，可得“拐点”，而“拐点”同时也满足函数解析式，这样就可以得到参数的值，进而根据三次函数的图象与性质，可得正确答案.
【详解】由，可得，，
令，得，
因为函数图象的对称中心为，
因此，解得，，故选项A正确；
由以上过程可知，，
且当或时，；当时，.
于是在和上都是增函数，在上是减函数，
故选项D错误；
因为关于点对称，
所以的极大值与极小值之和为，故选项B正确；
因为函数极小值，
由三次函数的性质知，只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
13．AC
【分析】根据为定值可判断A的正误，求出结合判别式可判断B的正误，求出切线方程，结合构建方程判断其解后可判断C的正误，再将代入切线方程后判断解的个数后可得D的正误.
【详解】对于A，
，
故为定值，故函数的图象一定是中心对称图形.
对于B，，
若有极值点，则有变号零点，而的图像为抛物线，
故，故有两个变号零点，
故有两个极值点，故B错误.
对于C，在处的切线方程为，
令，
则，当时，，
所以，
因为，故，不妨设，
若，则当或时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
而，故，
而时，，故有两个不同的零点，
故的图像与切线有且只有两个不同交点，
同理可得当时，故的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确.
对于D，过点的切线的切点为，
由（2）的切线方程可得，
故，
整理得到：，
故或，
下面考虑的解，
整理得到：，
，
而，
故方程有且只有一个异于的实数根，
过点的切线有且只有两条，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：
（1）判断函数的图象是否关于对称，可检验是否恒成立；
（2）切线问题的核心是切点的横坐标，切线条数问题可转化为关于切点横坐标的方程的解的个数问题.
14．
【分析】由已知无变号零点可得，即，结合不等关系及基本不等式有，即可求目标式的值.
【详解】由题设，则，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，故，可得，
所以.
故答案为：
15． 2
【分析】由题，求出，通过可求得对称中心，由可知和关于对称，即可求的值；
构造，同理求出对称中心，通过讨论的单调性说明是一一对应的函数，即可由，得出和关于对称，即可求的值.
【详解】由题，，，由可得，的图像的对称中心为，即，
，所以和关于对称，故；
令，同理可求的对称中心，，，由可得，对称中心为，即，
，故，
由，故单调递增，即是一一对应的函数，故和关于对称，故，
故答案为：；2
16．
【分析】根据条件，由两条切线重合解得的解析式，进而得到的值.
【详解】由题知：，∴，
在处的切线为，即，
∵，，
∴在处的切线方程为：
又因为两条切线重合，∴，∴，
又∵，
∴，∴解得
∴，，
∴.
故答案为：.
17．C
【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然后利用此结论可求得答案.
【详解】由，得 ，
由 可得：，
因为
所以的图象关于点对称，
所以，
因为，
所以，
所以，，，
所以，
故选：C
18．A
【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.
【详解】由函数求导得：，则，
由解得，则有，
，当或时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得，解得，
综上得：，
实数a的取值范围是.
故选：A.
19．A
【分析】作出图像，令，结合和的图像，列出的不等式组，进而求出的取值范围.
【详解】作出的图像如图所示，由的图像可知，
的极大值为，极小值为，
有9个零点，令，结合和的图像可知，
有3个解，
分别设为，且，
且每个对应都有3个满足，
欲使有9个零点，
由图可知：，
且，，，
由函数的解析式知：
，，，
由图像可知，
，
则，
解得，
得，
故选：A.
20．ACD
【分析】先根据对称中心求解出的值，再根据求解出的值，由此可求的解析式；根据不等式恒成立，通过分离参数得到，借助不等式得到，由此求解出的范围并判断.
【详解】由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ACD.
21．BC
【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项.
【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、，
设，则，可得，
由奇函数的定义可得，即，
所以，，可得，则，
由题意可得，可得，则，
由图可知，函数的单调递增区间为，
故不等式的解集为，所以，，
对于A选项，，，
所以，，A错；
对于B选项，，所以，，B对；
对于C选项，由题意可知，，
由导数的定义可得，C对；
对于D选项，由，
可得，解得或，
因此，不等式的解集为，D错.
故选：BC.
22．ACD
【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.
【详解】由函数，可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极大值，极大值为，所以A正确；
又由极小值，且当时，，
当时，，所以函数有3个零点，所以B错误；
由，可得，令，可得，
又由，所以点是函数的对称中心，
所以C正确；
因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以，
所以，即，
所以D正确.
故选：ACD.
23．
【分析】根据，得到是的零点也是极值点，也是的零点，设，求导，得到函数的单调性，进而得到的极大值，求出取值范围.
【详解】因为，
所以是的零点也是极值点，也是的零点，
不妨设，
故，
因为，所以，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的极大值，
因为，所以．
故答案为：
24．
【分析】（1）解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标；
（2）分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1），则，，
由，可得，且，
故函数的对称中心为；
（2）的图象在点、点处的切线总平行，
所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心，
又因为直线恒过定点，
所以，函数的对称中心为，即点，
因为，则，，
所以，，解得，即，则.
所以，函数在处的切线方程为，
即，
将点代入切线方程得，整理得，
即，解得或.
故过点的函数的图象的切线有条.
故答案为：（1）；（2）.
答案第1页，共2页
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