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专题2 三次函数问题【讲】
设三次函数为（且），其基本性质有：
性质一：定义域为.
性质二：值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
性质三：单调性和图象.
先通过四个具体的例子来熟悉三次函数的图象，如图1.
讨论：
当时，先看二次函数.
①当，即时，与轴有两个交点形成三个单调区间和两个极值点：当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，图象如图2，图3.
②当，即时，与轴有两个等根没有极值点，图象如图4，图5.
③当，即时，与轴没有交点，没有极值点，图象如图6，图7.
当时，同理，先看二次函数.
（1）当，即时，与轴有两个交点形成三个单调区间和两个极值点.
（2）当，即时，与轴有两个等根没有极值点.
（3）当，即时，与轴没有交点，没有极值点.
综上所述，得如下表格：
图象
性质四：三次方程的实根个数
对于三次函数（且），其导数为.
当，其导数有两个解，原方程有两个极值.
①当，原方程有且只有一个实根，图象如图8，图9；
②当，则方程有2个实根，图象如图10，图11；
③当，则方程有三个实根，图象如图12.
性质五：奇偶性
对于三次函数（且）.
①不可能为偶函数.
②当且仅当时是奇函数.
性质六：对称性
①三次函数的图象是中心对称图形，且对称中心是（可以解方程得到对称中心）.
②其导函数为对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点.
③是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
④若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
⑤奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
⑥已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
性质七：切割线性质
设是上任意一点（非对称中心），过点作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），均在的图象上，则点的横坐标平分点的横坐标，如图13.
推论1：设是上任意一点（非对称中心），过点作函数图象的两条切线切点分别为，则点的横坐标平分的横坐标，如图14，
推论2：设的极大值为，当成的两根为，则区间被中心和极小值点三等分，类似的，对极小值点也有此结论，如图15.
根据三次函数的对称性、单调性、极值，可以
三次函数通常在压轴题中出现，涉及到函数的性质、极值、零点等问题.
解决三次函数相关问题时，可以从函数的图象特征、导数的应用、代数式的变形等方面入手.
一般地，解法策略如下：
（1）求导：通过求导得到函数的极值点和单调区间；
（2）分析零点：分析函数的零点情况；
（4）画出其图象草图：利用图象，结合三次函数的性质来解决相关问题.
注意：
（1）函数图象与轴交点情况.
（2）在一些情况下，利用特殊值来辅助解题.
（3）对于难题，有时需要通过构造新的函数来解决相关问题.
考向一 三次函数图象的对称性
例1.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数（）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（ ）
A. B. C.8084 D.8088
【典例解读】
【答案】A
【解析】∵函数，∴，.
令，解得，且.
由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，
∴.
令，
则，
两式相加，得.
∴.故选A.
【题后反思】
通过解方程，可以得到三次函数图象的对称中心，它也是三次函数图象的拐点.
【再练一个】
1．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为
A． B． C． D．
考向二 含参三次函数的单调性
例2.（2024下江苏锡东高中月考）三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【典例解读】
【分析】根据导数恒成立，由含参一元二次不等式恒成立，利用判别式求解可得.
【解析】，
∵三次函数在上是减函数，
∴恒成立，
∴，解得，即实数的取值范围是.
故选A.
【题后反思】
对于三次函数（），其导函数，判别式.
①若，则，在上为增函数；
②若，令，则此方程有两个不等实根，，不妨设，则在和上为增函数，在上为减函数.
【再练一个】
2．若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是 .
考向三 含参三次函数的极值与最值
例3.已知函数有两个极值点，，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，则实数 .
【典例解读】
【答案】或或.
【解析】，由题设可知，，为方程的两根，故有，
即，且，.
因此
同理，.
记，，则
因此，直线的方程为.
设直线与轴的交点为，得.
而，
由题设知，点在曲线上，故，解得或或.
【题后反思】
（1）本题先找到极值点，与参数之间的联系（，），然后利用它不断地把零点的次数降到1为止，得到同构式则直接就可以得到的方程为.
（2）极值问题：对于三次函数（），
①若，则在上无极值；
②若，则在上有两个极值，且在处取得极大值，在处取得极小值.
（3）最值问题：函数，，若，则有，那么有，.
【再练一个】
3．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和.函数的单调递减区间为 ，极大值点为 .
考向四 三次函数的零点与三次方程的实根问题
例4.（2023年高考全国乙卷文科数学第8题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
【分析】根据三次函数的图象可知，要使三次函数存在3个零点，必须的极大值大于0且极小值小于0即可，利用导数求其极值，然后列不等式组解决问题.
【解析】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选B.
【题后反思】
（1）对于三次函数（），
①若，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点；
②若，且，则方程恰有一个实根，函数恰有一个零点；
③若，且，则方程有两个不等实根，函数有两个零点；
④若，且，则方程有三个不等实根，函数有三个零点.
（2）若方程（）的解为，，，
则有.
右边展开，再比较系数可得
这个结论叫做三次方程的韦达定理.
【再练一个】
（2019年高考浙江卷第9题）
4．已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
考向五 三次函数图象切线问题
例5.为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y1= 2x，y2=3x 6分别与该曲线相切于（0，0），（2，0），已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【典例解读】
【分析】设，由题知，在点（0，0），（2，0）处的切线方程分别为y1= 2x，y2=3x 6，可得，可列出关于的方程组，解之即可
【解析】由于弯曲路段过点（0，0），∴设，
则，
∵在点（0，0），（2，0）处的切线方程分别为y1= 2x，y2=3x 6，
∴，
∴，
解得，∴，故选B.
【题后反思】
一般地，对于问题“ 已知斜率为与三次函数图象相切的切线”，有如下结论：
三次函数，
（1）若，则当斜率时，有且只有一条切线；当时，有两条不同的切线；当时，没有切线.
（2）若，则当斜率时，有且只有一条切线；当时，有两条不同的切线；当时，没有切线.
证明：
（1）若，当时，
所以当 时，方程有两个相同解，所以斜率为的切线有且只有一条；其方程为：；
当时，方程，有两个不同的解且=-，即存在两个不同的切点且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为的切线有两条；
当时，方程无实根，所以斜率为的切线不存在.
（2）当时，同理可证结论成立.
【再练一个】
5．如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
例6.若存在过点(1，0)的直线与曲线和都相切，则等于（ ）
A.或 B. 或
C. 或 D. 或
【典例解读】
【分析】本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值.
【解析】设过的直线与曲线切于点 ，切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得
，同理，切点为解得
【题后反思】
（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系；
（2）在利用切线与求的过程中，由于曲线为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的来求解，减少了运算量.
【再练一个】
6．对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A． B． C． D．
例7.（2023湖南衡阳八中月考）明年是我校建校120周年，也是同学们在南开的最后一年，欧阳南德与上官索爱同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于南开园的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：
在这盒子中有一枚我们留下的微章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数的图象中，过点与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数的个数，这就是打开盒子的密码： .
【典例解读】
【答案】31
【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得原题意等价于与有三个不同的交点，求导判断的单调性与极值，结合图象分析运算.
【解析】由题意可得：，且，
设切点坐标为，斜率，
则切线方程，
∵切线过点，则，
整理得，
构建，
原题意等价于与有三个不同的交点，
∵，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在，上单调递减，
且，
若与有三个不同的交点，则，
∴整数的个数为31.
【题后反思】
为叙述方便，设以曲线：对称中心为切点的切线为，其方程为：.曲线及把坐标平面分成I、II、III、IV四个区域，如图（对应的情形），图（对应的情形），进一步探究可得如下定理：
【定理】（1）当定点在对称中心或在区域I或III时，过点的切线有且只有一条；
（2）当定点在曲线或切线上且不与重合时，过点的切线有两条；
（3）当定点在区域II或IV时，过点的切线有三条.
证明：先考虑的情形.以为切点的切线的方程为：
，若切线过定点，则
，即.
令则过点的切线条数就是关于的方程解的个数，即函数和函数图象交点（以下简称为两函数图象交点）的个数.
.
（1）当时，，函数单调递增，则两函数图象交点只有一个，说明方程只有一个解，即过对称中心的切线有且只有一条.
（2）当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，函数的图象如图；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，函数的图象如图.
（为叙述方便简洁，下面按和分类讨论中结果相同的部分合在一起）
当或时，两函数图象有两个交点，说明方程有两个解，即过点的切线有两条.由化简得，说明点在曲线上；由化简得，说明点在上（除去点）.
当且时，两函数图象有三个交点，说明方程有三个解，即过点的切线有三条，此时点在直线的上方与曲线的下方，且在直线右边，即点在区域II；
当且时，两函数图象有三个交点，说明方程有三个解，即过点的切线有三条，此时点在直线的下方与曲线的上方，且在直线左边，即点在区域IV；
当且和且时，两函数图象只有一个交点，说明方程有一个解，即过点的切线有一条，此时点在直线的上方与曲线的上方，即点在区域I；
当且和且时，两函数图象只有一个交点，说明方程有一个解，即过点的切线有一条，此时点在直线的下方与曲线的下方，即点在区域III.
当时，同理可证定理成立.
综上所述，定理成立.
由该定理即可判断过定点的三次函数图象的切线条数.利用同样的方法，可判断过定点的一般幂函数（且）图象的切线条数.
【再练一个】
7．设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.
（1）函数的对称中心为 ；
（2）现已知当直线和的图象交于、、三点时，的图象在点、点处的切线总平行，则过点可作的 条切线.
考向六 与三次函数有关的综合问题
例8.（2022年新高考I卷第10题）已知函数，则（ ）
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.直线是曲线的切线
【典例解读】
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【解析】由题，，令得或，
令得，
∴在，上单调递增，上单调递减，∴是极值点，故A正确；
因，，，
∴函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
∴点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选AC.
【题后反思】
（1）对于极值点的判断，需要熟练掌握极值点的定义和求法.
（2）分析函数的零点时，要综合考虑函数的单调性、极值以及取值范围.
（3）关于函数的对称中心，要善于利用函数的平移和奇函数的性质.
（4）导数的几何意义在判断切线时要准确运用，同时要注意考虑不同切点的情况.
（5）在解题过程中要仔细分析，避免遗漏或错误的判断.
【再练一个】
8．对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（ ）
A． B． C．为奇函数 D．图象关于对称
一、单选题：
9．三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023上江苏南通期末考试）
10．已知三次函数的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在处的切线l经过点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023云南昆明石林彝族自治县一中月考）
11．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；
②函数可能只有一个极值点；
③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、多选题：
12．在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．
C．曲线关于点对称
D．当时，
（2024上安徽合肥八中期末考试）
13．定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点 D．对任意 ，都有
（2024下重庆拔尖强基联盟联考）
14．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点 D．函数在区间上的最小值为1
三、填空题：
15．已知函数的图象过，，若，则 .
16．已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
17．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 .
18．经研究发现，三次函数都有对称中心，设其为，则，反之也成立，其中是函数的导函数的导数.已知，若对任意的实数，函数在和处的切线互相平行，则实数 .
19．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
20．已知有两个极值点，，如果和两点所在的直线与轴的交点在曲线上，则 .
21．已知直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为 .
22．已知，函数恰有两个零点，则的取值范围为 .
（2023江苏前黄高中月考）
23．三次函数在其对称中心处的切线的斜截式方程为 ．
24．已知三次函数，下列命题正确的是 .
①函数关于原点中心对称；
②以，两不同的点为切点作两条互相平行的切线，分别与交于两点，则这四个点的横坐标满足关系；
③以为切点，作切线与图像交于点，再以点为切点作直线与图像交于点，再以点作切点作直线与图像交于点，则点横坐标为；
④若，函数图像上存在四点，使得以它们为顶点的四边形有且仅有一个正方形.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】判断直线经过曲线的对称中心，利用函数的导数求解对称中心的坐标，验证直线方程即可．
【详解】由函数的解析式可得：，
导函数的对称轴为原函数的对称中心横坐标，
则原函数对称中心纵坐标为：，
则对称中心为，由可知直线经过点，
联立方程组：可得：或，
据此可得直线过点：，
则直线方程为：.
故选：B
2．
【分析】先将问题转化成求或在上恒成立，注意到，从而转化成在上恒成立，从而求得，再求其补集，即可解决问题.
【详解】若在上单调函数，则或在上恒成立，
由题意，，注意到，所以只能恒成立，即在上恒成立，
所以，解得：，
因为在上不是单调函数，所以的取值范围是.
故答案为：.
3．
【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间；分析原函数的单调性，可以得到函数的极大值点.
【详解】如图：
导函数的图象过点和，
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴函数的单调递减区间为，极大值点为.
故答案为：；
4．C
【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
5．A
【分析】由图象设函数式为，然后求导，利用，求解．
【详解】由题意设三次函数的解析式为，即，
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】
由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】
设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
7．
【分析】（1）解方程求得，求出的值，即可得出函数的对称中心坐标；
（2）分析出函数的对称中心为，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1），则，，
由，可得，且，
故函数的对称中心为；
（2）的图象在点、点处的切线总平行，
所以，点、关于的对称中心对称，故点为函数的对称中心，
又因为直线恒过定点，
所以，函数的对称中心为，即点，
因为，则，，
所以，，解得，即，则.
所以，函数在处的切线方程为，
即，
将点代入切线方程得，整理得，
即，解得或.
故过点的函数的图象的切线有条.
故答案为：（1）；（2）.
8．BD
【分析】根据题意设出三次函数的解析式，由题意在上得，切线经过与得，对函数进行求导，把代入得
，再求出函数，由与得与，即可得到三次函数的解析式，即可判断选项A、B、C，在验证，即可判断选项D.
【详解】设三次函数
在上
切线经过与，故切线斜率为
，
，
故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
故图象关于对称，即选项D正确.
故选：BD.
9．A
【分析】根据题意可得在上恒成立，结合恒成立问题分析运算.
【详解】对函数求导，得
因为函数在上是减函数，则在上恒成立，
即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即；
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，
所以.
故选：A．
10．B
【分析】由题意可设，求导，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点运算求解即可.
【详解】由题意可设，
则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点得，
且，得，解得.
故选：B.
11．A
【解析】根据对称中心的性质，导数与单调性，导数的几何意义求解后判断．
【详解】①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：（或者可用证明）
②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；
③设切点为，，斜率，
切线为，所以
，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确；
④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误；
故选：A
【点睛】本题考查导数与函数的对称性的关系，考查导数与极值，考查导数的几何意义，解题中难度较大．特别是求切线方程，计算难度很大，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于困难题．
12．ABC
【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断.
【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确.
因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确.
由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确.
当时，有，，所以，故D不正确.
故答案为：ABC.
【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题.
13．AB
【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A，根据导数研究其极值可判定B，结合B项结论及零点存在性定理可判定C，利用函数解析式取特殊值可判定D.
【详解】由题意可知，，
而，故A正确；
此时，，
显然或时，，则在上单调递增，
时，，即在上单调递减，所以在时取得极大值，在时取得极小值，故B正确；
易知，
结合B结论及零点存在性定理可知在存在一个零点，故C错误；
易知，故D错误.
故选：AB
14．AB
【分析】根据函数对称中心的定义求出，的值，可判断A的真假；用导数分析函数的单调性，求出极值，可判断B的真假；结合函数极值的符号，判断函数零点的个数，判断C的真假；求函数在区间端点处的函数值，与极值点的函数值比较，得到函数的最小值，判断D的真假.
【详解】由题意，点在函数的图象上，故；
又.
由，即.故A正确；
所以，所以.
由或.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；极小值为，
所以极大值与极小值之和为：，故B正确；
因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又，，
所以函数在上的最小值为，故D错.
故选：AB
15．
【分析】利用二阶导数为零求出的对称中心即可求解.
【详解】由题意可得，
令，则，
令解得，此时，所以的图象关于对称，
由可得点关于对称，所以，
故答案为：
16．0
【分析】令，其中，，，互不相等，对求导，由导数的几何意义求解即可.
【详解】令，其中，，，互不相等.
则.
.
故答案为：0.
17．
【分析】利用导数判断函数的单调性，得到函数的极大极小值，结合函数的简图，由题意即可判断参数的范围.
【详解】由题意，，
由可得或，由可得，
从而在上递增，在上递减，在上递增，
故有极大值，极小值，如图所示，
注意到，由图可知，要使函数在上存在最小值，应有.
故答案为：.
18．-3
【分析】由求导得，根据题意知恒成立，可得出函数对称轴，即可求解.
【详解】由求导得：
,
因为对任意的实数，函数在和处的切线互相平行，
所以，
故的对称轴为，
即，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了函数的导数，导数的几何意义，函数的对称性，属于中档题.
19．
【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出.
【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法
求导得，
当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点；
当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．
当时，；当时，．
要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得．
于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为．
故答案为：．
［方法二］： 等价转化
由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，．
只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一．
［方法三］：【最优解】三元基本不等式
同方法二得，，当且仅当时取等号，
要满足条件只需，下同方法一．
［方法四］：等价转化
由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图．
设切点，因为，于是，解得，
下同方法一．
【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；
方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解；
方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；
方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解．
20．或或
【分析】对求导可得，代入，可得在直线上，因为在曲线上，代入化简即可得出答案.
【详解】，由，.
得，，
故
，
同理得.
故在直线上，所以，
令，则，解得：，
所以直线交轴于点，又该交点在曲线上.
代入可得.
化简可得即，，.
故答案为：或或.
21．
【分析】由题意知为三次函数的对称中心，再求导求出对称中心，设出点坐标，联立方程组解出，从而得到直线的方程.
【详解】因为三次函数（且）
其导函数为，的两根为函数的极大值点和极小值点，且关于导函数的对称轴为对称，
当附近图像有增减变化，即有正有负，可得是三次曲线凹弧和凸弧的分界点，
从而点是三次函数的拐点，也是三次函数的对称中心，
所以图象对称中心在导函数的对称轴上，同时也是二阶导的零点.
因为直线与曲线相交，交点依次为，，，
且，可知为三次函数的对称中心，
，可得，，
令，解得，所以曲线的对称中心，
设，由得，
联立方程组：，可得，或，
故不妨设，，易知直线方程为.
故答案为：.
22．
【分析】根据导数判断单调性，结合零点和极值点求出，构造函数，求导可得的取值范围.
【详解】∵且，
∴，.
则方程必有两个不等的实根.
设，则，.
则必有，且①.
当或时，；当时，.
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
由于，若函数有两个零点，则②.
联立①②得，解得，∴.
令，令，则.
从而，解得.
因此.
故当时，，函数单调递增.
因此.
故答案为：
23．
【分析】由的对称中心是，可得，根据，设关于对称点为，得出，即可得出，再利用切线方程的求解方法求解即可.
【详解】因为的对称中心是，
所以，，
又，
设关于对称点为，
则，，，，
所以在图像上，
则，，
由，解得，
，，
，
则切线方程为，.
故答案为：
24．①②④
【分析】由奇函数性质可判断①；利用导数的几何意义求得切线方程，联立方程组可判断②；由②可判断③；联立直线与曲线方程结合距离公式可判断④.
【详解】①函数满足是奇函数，所以关于原点（0,0）成中心对称，正确；
②因为，根据切线平行，得到,所以,根据①可知，,以点A为切点的切线方程为,
整理得：,该切线方程与函数联立可得，,所以,
同理：,又因为，代入关系式可得，故②正确；
③由②可知，以为切点，作切线与图象交于点，再以点为切点作直线与图象交于点，再以点作切点作直线与图象交于点，此时满足，, 所以，所以③错误；
④当函数为，设正方形ABCD的对角线AC所在的直线方程为，
设正方形ABCD的对角线BD所在的直线方程为，，解得：，所以，
同理：，因为
所以
，设，即，
，当时，，等价于，
解得，或，，
所以正方形唯一确定，故正确选项为①②④.
故答案为：①②④
【点睛】本题的难点是②和④，计算量都比较大，②的难点是过点A的切线方程与函数方程联立，得到交点C的坐标，这个求交点的过程需要计算能力比较好才可以求解出结果；④的难点是需根据正方形的几何关系，转化为代数运算，这种化归与转化会让很多同学感觉无从下手，同时运算量也比较大，稍有疏忽，就会出错，所以平时训练时，带参数的化简需所练习.
答案第1页，共2页
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