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专题5 指数对数同构问题【讲】
一、同构的基本概念
在抽象代数（abstract algebra）中，同构（isomor-phism）指的是一个保持结构的双射（bijection）．在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射．简单的说，运用结构分析法把不同的数学结构转化为相同的数学结构，从而找到解决问题的突破口，这种数学方法我们称之为同构法．
数学结构的特珠性是数学同构法的思想根源，对数学结构的深入探索、挖掘、剖析是数学同构法的方法论基础．
在导数中，“同构”通常指的是对函数进行适当的变换或构造，使得原来复杂的函数形式变得相对简单或具有某种特定的结构，即具有更便于分析和处理的形式．通过同构的方法，可以更清晰地理解函数的性质和特点，便于进行分析和计算，解决问题．
二、同构抽象函数比较大小的原则
构造抽象函数比大小，要运用结构分析法，从“结构同构”处入手，通过观察已知（或转化后）等式（不等式）的结构特征，构造抽象函数，利用导数其单调性，进而利用单调性比较数式的大小．
三、同构抽象函数常用方法
在解抽象不等式或比较大小时，原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小．
方法一：
（1）移项，对含有导数的不等式进行移项处理，使不等式右边归0（∵导数与0的大小决定函数单调性）；
（2）观察：①若不等式左边是只含有（或是）的式子，可以用求导法则构造和差积商的函数；
②若不等式左边含有和，并且中间是，可以用积函数求导法则构造；
③若不等式左边含有和，并且中间是，可以用商函数求导法则构造．
方法二：根据题目所给出的抽象不等式，或者要比较大小的两个式子进行构造，在进行构造时要看结构，把抽象不等式两边或者要比较大小的式子结构相同化，根据相同结构构造以为主元的新函数．
近年来，在全国各地的高考试题和高考模拟试题中，利用指对同构解决问题频繁出现．指对同构的本质是通过对指数函数、对数函数表达式进行巧妙的变换和代换，使得不同形式的函数在结构上具有相似性，从而便于对其进行分析和处理．它体现了数学中化归与转化的思想，通过寻找函数之间的内在联系，将复杂的问题转化为较为简单或熟悉的形式，以便更好地理解和解决问题．
一、结构一致性同构
这类题型的特点就是结构一致，多以双变量形式出现，且当把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同，目前多以构造函数比较大小的形式出现，例如：
①，等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可．
②：先去研究的单调性才行，去掉绝对值后成为
．
③已知设，则，即证为减函数．
二、指对数同构
解决有关指对混合式（不等式）问题时，若使用常规的方法比较复杂，则将混合式（不等式）变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究．指对混合式（不等式）常见变形是基于下面的两个对数恒等式方式：（且，），（且，）．常见变形的方式有：
①； ②；③；④；⑤．
常见变形方法有——
（一）直接变形：
如下的一些积型、商型和和差型，可以采用直接变形．
（1）积型：（同左）；
或（同右）；
或（取对数）．
说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知．
（2）商型：（同左）；
或（同右）；
或（取对数）．
（3）和差型：（同左）；
或（同右）．
（二）先凑再变形：
若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等等，再用上述方式变形，常见的有：
①；
或；
②
；
③或；
④；
⑤．
考向一 结构一致性同构问题
例1．若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
∵，∴，则可化为，
整理得，∵，∴，
令，则函数在上递减，
∴在上恒成立，∴在上恒成立，
令，则在上恒成立，
∴在上递减，∴，故只需满足：．故选A．
【题后反思】
对于题中双变量含参不等式恒成立问题，在解题过程中，需要将给定的不等式进行等价变形，转化为左右两边是相同的结构，即利用同构，通过函数，利用函数的单调性来解决问题．同时，要注意对参数的分类讨论和取值范围的分析．
【再练一个】
1．已知，，向量与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增．已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
由题意，对且都有成立，不妨设，则，
设，则，
∴函数在上单调递增，
即对于，恒成立，即对于，恒成立，
而，
令，则函数在上单调递增，则，即，
∴，∴，即，∴实数的取值范围为．故选C．
【题后反思】
解决本题的关键是正确理解新定义“函数在区间上阶递增”，仔细分析其含义，找到与已有知识的联系，并将其转化为常见的函数单调性和不等式问题．通过同构构造函数，利用函数的单调性来解决不等式恒成立问题．
【再练一个】
2．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考向二 恒成立同构问题
例3．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
由题意可知，，即对恒成立．
设，则问题转化为在上恒成立，
∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，又，∴当时，；当时，．
①在上，若恒成立，即，；
②在上，若，则恒成立，即恒成立，
令，，则，∴在上单调递增，∴，
∴，综上所述，实数的取值范围为．故选B．
【题后反思】
对于这种商型，等价变形后，可以同左或者同右构造，本题是同右构造，通过构造函数，将问题转化为函数的最值问题，这是一种常用的解题思路．需要注意的是，在处理函数单调性时，要准确分析函数的增减区间，以及在不同区间上的取值情况．对于参数的分类讨论要全面，不能遗漏任何一种可能的情况．
【再练一个】
3．函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
恒成立即，可得，
令，则恒成立．
又，故当时，，∴在区间上为增函数．
又恒成立，则在区间上恒成立，即，．
构造，则，
令有，故当时，，为增函数；
当时，为减函数，故，故，即．故选B．
【题后反思】
本题是一次函数与指数函数、对数函数的乘积型同构，还可以作如下等价变形：
对任意的，不等式恒成立
，再构造函数解决问题．
【再练一个】
4．若，恒成立，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考向三 函数零点的同构问题
例5．已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
由题意得，
，
令，问题转化为有解，设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又由，∴存在唯一零点，即在有解，即，
令，则，当时，；
当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，解得，故实数的取值范围为．故选B．
【题后反思】
本题与前面的各题略有不同，通过等价变形，同构后还是超越方程，需要利用导数研究函数的零点（方程的根）．利用导数分析函数的单调性和极值，结合零点存在的条件，找到唯一的零点，最后再利用函数的值域，求出方程有实数根参数的取值范围．
【再练一个】
5．已知，若方程恰有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6．已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
有两个零点，
令，显然该函数单调递增，，则等价于有两个根，
当时，等式为，不符合题意，故，
等式转化为有两个根，即和有两个交点，
设，求导得，
故当和时，，单调递减；
当时，，单调递增，且当时，，，
故如图1所示，由图可得，的取值范围是，故选D．
【题后反思】
这道题主要考查了函数零点与方程根的关系，以及利用导数研究函数图象的能力．
在解题过程中，通过对函数的求导，分析其单调性和极值，进而画出函数图象，找到零点存在的条件．需要注意的是，对函数的导数分析要准确，图象的绘制要尽量精确，以确保对参数取值范围的判断正确．同时，要注意对特殊情况的排除，避免漏解或错解．
【再练一个】
6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考向四 同构出多变量之间的关系
例7．已知函数，．若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
，，由于，则，
同理可知，，函数的定义域为，对恒成立，
∴函数在区间上单调递增，
同理可知，函数在区间上单调递增，，则，
，则，
构造函数，其中，则．
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减． ∴． 故选C．
【题后反思】
本题主要考查了利用导数来解决双变量含参存在性问题，以及构造函数求最值的方法．
在解题过程中，需要准确把握函数的性质和变化趋势，灵活运用导数工具进行分析．同时，要注意对参数的合理取值范围进行推导．
通过同构构造函数，将复杂的问题转化为较简单的函数最值问题，这是一种常见而有效的解题思路．
此外，在处理存在性问题时，要考虑各种可能的情况，确保答案的准确性．
【再练一个】
7．已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考向五 朗博同构与隐零点代换问题
朗博不等式是近年来随着函数同构出现的一个热门的不等式，其原理如下：
对于，根据指数函数的基本不等式可得：，等号成立当且仅当．
例8．设函数f（x）＝，若f（x）＝a有两个不同的根x1，x2（x1＜x2），则x2－的最小值是 ．
【典例解读】
解法一（切线放缩）：x2－＝ea－＝＝≥＝1，
当且仅当a＋lna＝0时取等号，显然存在a∈（0，1）满足条件．
解法二（指对同构）：x2－＝ea－，a∈（0，1），
令g（a）＝ea－，a∈（0，1）．g'（a）＝ea＋，g''（a）＝ea＋＞0，
∴g'（a）＝ea＋在（0，1）上递增，而g'（1）＞0，g'（）＜0，故存在唯一的m∈（，1）使得g'（a）＝0，
即em＋＝0，∴mem＝ln，即：emlnem＝ln，令φ（x）＝xlnx，则φ（em）＝φ（），
∵φ'（x）＝1＋lnx，∴φ（x）在（1，＋∞）上递增，而em＞0，＞0，∴em＝．
∵g（a）在（0，m）上递减，在（m，1）上递增，∴g（a）min＝g（m）＝em－＝1．
【题后反思】
解法一在放缩时，需要变形，技巧性较强，值得推广．解法二用隐零点代换时遇到了困难．后经过变形，用到了导数中重要的处理技巧——同构函数，通过这种方式使得代换的表达式简化，最终成果用到隐零点代换＋同构，成功解决问题．
【再练一个】
8．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题：
9．若，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2020年高考新课标II卷理科数学第12题）
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2020年高考新课标I卷理科数学第12题）
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024河南平许济洛一模）
14．已知，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：
（2024河北沧州沧县中学月考）
15．已知函数，则（ ）
A．当时，有极小值 B．当时，有极大值
C．若，则 D．函数的零点最多有1个
三、填空题：
16．已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为 .
17．若，则实数a的取值范围为 ．
18．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 .
（2022年高考全国乙卷理科数学第16题）
19．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
20．设函数，若，恒成立，则的取值范围是 ．
21．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ．
22．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
23．已知函数（为自然对数的底数），，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、双空题：
（2024江西赣州南康中学月考）
24．若，设的零点分别为，则 ， .（其中表示a的整数部分，例如：）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】易得，将对任意，，当时，恒成立，转化为对任意，，当时，恒成立，令，转化为在上递减求解.
【详解】解：因为，，向量与的夹角为，
所以，
因为对任意，，当时，恒成立，
所以对任意，，当时，恒成立，
所以对任意，，当时，恒成立，
令，即成立，
所以在上递减，
又，由，解得，
所以的单调减区间为，
所以，
则实数m的取值范围是，
故选：D
2．D
【分析】导数研究单调性，将题设转化为成立，即上递减，进而有恒成立，导数研究右侧最大值，即可求参数范围.
【详解】当时，，
故，
故，
令，则，
令，故，
令，故，
故当时，，
当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得，
故实数的取值范围为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用导数研究单调性，将问题最终转化为恒成立.
3．A
【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，
利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围．
【详解】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
4．B
【分析】原不等式等价于，当，可得，当时构造，利用导数研究单调性可得，即可得在上恒成立，构造，利用导数求得最大值，即可求解.
【详解】依题意，．
因为，
所以，若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
∴在上单调递增，而，∴．
综上，在上恒成立，∴．
令，，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，即．所以a的最小值为.
故选：B．
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③分类讨论参数.
5．C
【分析】变换得到，设，即，构造函数，求导得到单调区间，计算最值得到有两解，设，求导得到单调区间，计算最值得到，再次构造函数，计算最值得到答案.
【详解】，，
故，
设，即，设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
，故方程有唯一解，即有两解，
即有两个解，设，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当趋近于和趋近于时，趋近于，
故只需满足，设，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故恒成立，故的解为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决参数范围问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用同构的思想将方程转化为，再构造函数，将零点问题转化为最值问题是解题的关键.
6．A
【分析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以，
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，
则，
等价于函数与图象有两个不同的交点.
令，，
则函数与图象有一个交点，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，
且趋向于正无穷时，趋向于正无穷，
所以，解得.
故选：A.
【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
7．D
【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，
令函数，则，
所以，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，，
作函数的图象如图所示.
由图可知，当时，有唯一解，故，且，

∴.设，，则，
令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
8．B
【分析】由，设，则，原不等式可化为，转化成求的最小值．
【详解】因为，所以，设，则且原不等式可化为，只需．设，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．
故选：B．
【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题方法是用分离参数法把不等式进行变形转化为求函数的最值，解题关键是式子的变换，然后用换元法使得函数简单化．
9．B
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，
利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知
，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.
【详解】不等式，可化为，
设，则，
即在上单调递增，而，
因为，所以，
由已知恒成立，
令，则，
当时，即递减；
当时，即递增；
∴，
故只需，即．又，
所以的取值范围为.
故选：B
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立 ；
(2)恒成立
10．C
【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数，结合导数可得恒成立，进而结合二次函数的性质即可求解.
【详解】根据，可知，
令
由，知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故，即实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，结合导数可得恒成立，进而求解即可.
11．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
12．B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
13．C
【分析】将函数的零点转化成方程的根，构造函数，再通过同构，构造函数，利用单调性求出的值域，进而得出的值域，从而求出结果.
【详解】因为，由，得到，所以，
令，令，则在区间上恒成立，
即函数在区间上单调递增，又时，，时，，即，
所以，所以，当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且当时，，当时，，
又因函数有两个不同的零点，所以，即.
故选：.C
14．B
【分析】设，利用同构得到，结合的单调性得到，构造，求导得到其单调性和最值，得到最大值为，故，求出答案.
【详解】由题意得，当时，，
即，，
令，则，
因为恒成立，故在R上单调递增，
故，
即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
故，解得.
故选：B
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是将变形得到，从而构造进行求解.
15．AC
【分析】对于AB：代入，求导，求单调性即可判断；对于C：设，将不等式转化为成立，求导，研究其单调性，极值来判断；对于D：求导，分，，讨论研究零点个数.
【详解】对于AB：当时，，
令，即，所以，即，
结合函数图象可知，存在，使得，

令，则，得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，故A项正确，B项错误．
若，即，则．
设，则．
设，可知，则，．
若，则，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意．
若，则，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以．设，，
则，．
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
则，所以只有当时，才能成立．
综上所述，，故C项正确．
由C项可知，，，则，所以为增函数．
当时，，
当t无限趋近于0时，无限趋近于，且，
即此时有两个零点，因为为增函数，且，
所以此时有两个零点．
同理可得，当时，有两个零点．
当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点．
当时，为减函数，，此时有一个零点1，即只有一个零点．
综上，函数最多有两个零点，故D项错误．
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用导数研究函数的性质，
16．
【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】，构造函数，，故在上单调递增，故等价于，即任意的实数恒成立．
令，则，故在上单调递减，在上单调递增，，得．
故答案为：
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
17．
【分析】利用同构法，构造函数，将问题转化为，从而得到恒成立问题，再构造，利用导数求得其最小值，由此得解.
【详解】因为，
，
令，则原式等价于，
恒成立，所以在定义域内单调递增，
所以，
令，
则时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
所以，则又a为正数，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
18．
【分析】根据恒成立，可得到含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围.
【详解】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
令，，所以单调递增，
因为，所以，
可得，所以，所以恒成立，
即求，令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，可得.
故答案为：.
【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的，使得恒成立，可得出；对于任意的，使得恒成立，可得出.
19．
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
20．
【分析】当时，符合题意；当，构造函数，可得，再构造，利用，可得答案.
【详解】当时，若，则，恒成立，符合题意；
当，，所以，
构造函数，，时，，
所以在上单调递增，
因为，所以，则时，，
所以，
，令，
所以在上递增，上递减，
所以，
所以，又，所以，
综上可得，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：（1）分类讨论思想的应用；（2）两次构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值，并加以应用.
21．
【分析】将已知不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性，考虑为负数的情形，可得出，分参后可得，利用导数求出在上的最大值，即可得出实数的最小值.
【详解】由可得，即，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为，则，则，
要求实数的最小值，考虑，则，
由可得，
因为函数在上单调递减，则，
不等式两边取自然对数可得，
因为，则，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数在上的最大值为，所以，.
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
22．
【分析】不等式可化为，令，可得恒成立，其中，构造函数，，利用导数求其最大值可得的取值范围.
【详解】由已知不等式，可化为，
两边同时除以得．
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当时，，当时，，
所以的范围是，即．
所以不等式可化为，其中，
所以在上恒成立，
构造函数，，
则，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以时，取最大值，最大值为，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立 ；
（2）恒成立 .
23．
【分析】将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.
【详解】原命题等价于对一切恒成立，
等价于对一切恒成立，
令，可知，
且
令，，则
可知在上单调递增，且，，
所以，使，即①
当时，，当时，，
即在内单调递减，在内单调递增，
可知，
由①知，可得
且函数在单调递增，
由可得
所以，可得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在解决有关指数、对数不等式时，要注意两个母不等式：（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立）的灵活应用．
24．
【分析】先利用对数恒等式的等价转化，使得变成的形式，结合的性质，讨论，的关系.
【详解】令，则，利用对数恒等式，原式等价变为：，
下令，于是，由可知在上递减，
上递增，在取到极小值，，且，，
可作出大致图像如下：
结合图像，可能有如下情形：
由的单调性可知，若均在中的一种时，则有.
记，，即在上递增，由，则，故，使得；
显然在上递增，由，故时，，故时，；
又，故，使得，故时；
不可能均满足，事实上，由，得到，这与矛盾.
于是时，由可以推出：.
设，，由在上单调递增，故在上单调递增，又，，即，故，使得，且时，，递减，时，，递增，故，由，可得，由，根据基本不等式，（等号取不到），故，又，，故存在，使得；
，显然，故，即；
，显然，故，即.
由，故，使得.
注意到，故.
综上讨论，当时原方程有两个根：，；
虽说，，根据上述讨论，在上无实根.即时，有两个零点：，.
当时，，而时，，，而在处无定义，不可能有，即时，无零点；
当时，注意到且时，，又，故时，存在零点，即，使得，若，且，不妨设，由于均在上单调递增，故，，在上递减，在递增，故，于是是唯一实根.
综上所述，原函数有，，三个零点，.
故答案为：
【点睛】本题难点在于利用对数恒等式将方程等价转化，用同构的观点把方程构造出具有的形式，然后利用的性质解题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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