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专题6 函数的零点问题【讲】
一、函数零点的定义
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．
二、零点存在定理
1．零点存在定理（勘根定理）
如果函数在闭区间上的图象是连续曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点．
2．拓展：
如果函数在闭区间上的图象是连续曲线，，并且函数在区间上是单调函数，那么函数在区间内有且只有一个零点．
三、函数与方程、化归与转化、数形结合
函数零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交相融合、相互为用，同时，它又与“函数与方程”、“化归与转化”、 “数形结合”等数学思想联系紧密．常见的命题有：
【命题1】函数的零点方程的解方程组的解中的x值函数的图像与（即x轴）交点的横坐标．
【命题2】函数的零点方程的解方程组的解中的x值同一坐标系下，函数的图像与函数的图像交点的横坐标．
【命题3】函数在上有零点方程在上有解方程组在上有解函数的图像与（即x轴）在上有交点．
【命题4】函数在上有零点方程在上有解方程组在上有解同一坐标系下，函数的图像与函数的图像在上有交点．
【命题5】函数在上有n个零点方程在上有n个解方程组在上有n组解函数的图像与（即x轴）在上有n个交点（其中）．
【命题6】函数在上有n个零点方程在上有n个解方程组在上有n组解同一坐标系下，函数的图像与函数的图像在上有n个交点（其中）．
说明：上述命题1-6充分体现了“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”等数学思想在函数零点问题中的具体应用（将函数的零点转化为方程的解，进而又转化为方程的解中的x值，这体现了“函数与方程”及“化归与转化”思想；而将方程组解中的x值再次转化为其所对应两个函数图像交点的横坐标，这体现了“化归与转化”及“数形结合”思想），通过它们，即可在“函数的零点”（数）与“图像的交点”（形）之间架起了一座数形沟通、双向互动的“桥”（以“方程（组）的解”为过渡的“跳板”），从而为图像法在函数零点问题中的运用提供了“法律保障”．
解决函数零点的问题常用解法策略如下：
（1）直接求解法：
令函数等于零，直接求解方程得到零点．
（2）零点存在性定理法：
根据定理判断零点的存在区间．
（3）图象法：
解决函数零点的问题，经常需要采用数形结合法，作出函数图象，并结合函数的单调性，奇偶性、周期性，以及极值，最值等特征，观察图象与轴的交点来确定零点．
对于初等函数与超越函数的混合体，或较复杂的函数，常常转化为两个函数的图象交点问题：
函数有零点方程有实根方程组有实数根函数与的图象有交点．
（4）二分法：
适用于在给定区间内连续且单调的函数，通过不断缩小区间来逼近零点．
（5）牛顿迭代法：利用迭代公式逐步逼近零点．
（6）换元法：通过换元将复杂函数转化为简单形式，再求解零点．
（7）构造函数法：构造辅助函数，利用其性质来解决零点问题．
考向一 零点分布问题
例1．设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
【典例解读】
函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间．
去绝对值可得．
时，，因此函数在单调递增；
时，．
（i）时，，因此在单调递增．
当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点；
当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误．
（ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增．
当时，．
（1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点．
（2）时，在区间没有零点．
当时，．
①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点．
②时，在区间没有零点．
综上所述，本题正确答案是A．故选A．
【题后反思】
（1）本题考查分段函数、函数与导数，先分段处理绝对值函数，利用导数分类讨论函数单调性，进而根据零点存在定理探讨在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点或都没有零点对应的情况．要全面考虑各种可能的情况，不能轻易忽略某些特殊情况，以确保答案的准确性．
（2）研究函数的零点有以下常用思路：
①利用零点存在性定理，如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点；如果函数还满足在区间上单调，那么函数在区间内有且只有一个零点．
②转化为求函数的值域：零点问题即是方程有实数解的问题，将方程参变分离后转化为求函数的值域问题．
③数形结合：将问题转化为函数与函数的图象交点问题，利用函数图象位置关系解决问题．
【再练一个】
（2024辽宁名校联盟联考）
1．已知函数,甲、乙、丙、丁四名同学研究在上的零点分布情况,各得出一个结论:
甲:若在上有个零点,则实数的取值范围为;
乙:若在上有个零点,则实数的取值范围为;
丙:若在上有个零点,则实数的取值范围为;
丁:若在上有个零点,则实数的取值范围为.
则这四名同学中得出正确结论的是（ ）
A．甲、丙、丁 B．甲、乙 C．乙、丙 D．丙、丁
考向二 零点的唯一性问题
例2．已知常数，若函数有唯一零点，则，分别为___ ．
【典例解读】
∵，，∴，（答案不唯一）．
【题后反思】
解决本题关键在于的取值，使得能判断的符号．
还可以利用找点：．
也可以利用参变量，．
【再练一个】
2．已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．
考向三 零点个数问题
例3．已知，则函数在上的零点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【典例解读】
令，得，，整理得，
设，，则，
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减，
又，，，，
又当时，，∴与的图象有两个交点，
即函数在上的零点的个数为2，故选B．
【题后反思】
函数零点问题和方程的根、两个函数的交点问题从本质上说是一样的，它们之间可以互相转化，用导数研究函数零点个数问题通常有以下步骤：
第一步，构造函数，并求其定义域，构造函数是解决此类题的关键点和难点；
第二步，通过求导，确定函数的单调区间和极值，画出函数草图；
第三步，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
【再练一个】
（山东省枣庄市高三上学期期末）
3．若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考向四 已知零点情况求参数
例4．已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
作出函数的图象，如图2所示，
图2
设，则当时，有两个根；当时，有一个根．
若关于的方程有三个不同的实根，则等价于有两个不同的实数根，，且，．
当时，，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根．
当时，设，则满足条件，即，解得．
综上，实数的取值范围是，故选A．
【题后反思】
求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求出，再代入方程中求出的值．
【再练一个】
4．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .
考向五 分段函数的零点问题
例5．设函数若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
如图4所示，作出函数的图象．
图4
根据图象，当时，直线与函数的图象只有一个交点．
当直线向下平移，则直线与函数的图象永远有两个交点，
即方程有两个不等的实数根．
∴．故选C．
【题后反思】
函数图象的画法，先画在当时的图象，然后把函数在的图象不断地向右平移，得到函数的图象．
【再练一个】
5．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为
A． B． C． D．
例6．对于任意实数，定义在上的偶函数满足，且当时，．若方程恰有两个实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例解读】
由已知，得是以4为周期的偶函数．
当时，；
当时，．
作出的图象，如图6所示．
图6
方程可化为．
条件转化为函数图象与直线交于两个不同点．显然原点是其中一个交点，若另一交点在轴右侧时，连接原点与点的直线斜率为，连接原点与点的直线斜率为1．设，则．故在处的切线斜率为，．由图知或．由对称性，当另一交点在轴左侧时，则或．
综上，．故选A．
【题后反思】
根据方程的实根个数确定参数取值范围的基本方法是数形结合，将方程适当变形，把问题转化为一个不含参数的函数与一个含参数的函数（通常为一次函数），通过两个函数图象的位置关系求解，要注意极端位置．如本题，考虑有1个公共点（相切）和有3个公共点的情况，建立关于参数的不等式，进而求解．
【再练一个】
6．已知函数（）有四个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
考向六 比较零点的大小关系
例7．（2024四川遂宁、乐山、雅安二模）已知a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【典例解读】
可将所给式子变形成，，，则可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得．
由，可得，
由，可得，
由可得，
令，，故在上单调递增，
令，，故在上单调递增，
令，，故在上单调递减，
令，则，
则时，，，，
故在上单调递增，在上单调递减，
，，，，
，，，，
为函数与函数的交点横坐标， 为函数与函数的交点横坐标，
为函数与函数的交点横坐标，如图8，结合函数图象可得．故选A．
图8
【题后反思】
本题关键点在于利用所给式子，将其变形成、、，从而可构造相应函数，研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得．
【再练一个】
（2024浙江丽水、湖州、衢州三地市二模）
7．已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考向七 零点和问题
例8．（2024陕西安康高新中学月考）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得．
∵函数，
将的图象向左平移个单位长度得到，
函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数，
又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到，∴的对称轴为，
又的图象是将的图象向上平移一个单位得到，
∴的图象如图10所示：
图10
∵关于的方程在上有个实数根，
即与在上有个交点，又，，
∴，
令与交点的横坐标从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
∴，
∴，
故选D．
【题后反思】
（1）函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等等．
（2）涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决．解决本题的关键是通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系，最后根据对称关系解决问题．
【再练一个】
8．定义域在R上的奇函数，当x≥0时，f（x），则关于x的方程所有根之和为，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
考向八 函数零点的综合应用
例9．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例解读】
依题意可知，方程在上有解，即在上有解，
令，，则，
当时；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
又，，则的最大值为，
∴的值域为，即可得的取值范围是．故选C．
【题后反思】
本题主要考查函数与方程的关系，以及利用导数研究函数的单调性和最值．
将问题转化为方程在闭区间上有解，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而求得最值，这是解决此类问题的关键方法．需要注意给定区间对函数取值范围的影响．
【再练一个】
9．已知且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若恒成立，则
C．若有两个零点，则
D．若有极值点，则或
一、单选题：
10．方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数（且）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
（2024湖南重点中学联盟联考）
13．已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2021年高考天津卷第11题）
14．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2024江西重点中学协作体二模）
15．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
二、多选题：
（2024湖北武汉期末考试）
16．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小值为4
C．
D．方程最多有10个不同的实根
三、填空题：
17．已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是 ．
四、双空题：
（2024天津南开期末考试）
18．已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】对于甲,当时,则或;当时,因为,解不等式组即可判断;对于乙,当时,则或;当时,或,解不等式组即可判断;对于丙,因为至多有两个零点,要使在上有个零点,则需有零点,解不等式进行判断即可;对于丁,若在上有个零点,则有个零点,列不等式求解即可.
【详解】若在上有个零点,
当时,则或,
解得;
当时,因为,无解,
所以在上有个零点,则实数的取值范围为,故甲同学结论错误;
若在上有个零点,
当时,则或,
解得;
当时,或,
解得,
所以在上有个零点,则实数的取值范围为,故乙同学结论错误;
至多有两个零点,
要使在上有个零点,则需有零点,则,
又,
所以仅有一个零点,
所以有个零点,
则,
所以,
所以若在上有个零点,则实数的取值范围为,故丙同学结论正确;
若在上有个零点,
由上可知,,且仅有一个零点,
所以有个零点,
则,所以,
故若在上有个零点,
则实数的取值范围为,故丁同学结论正确.
故选:D.
2．C
【分析】分析可知函数存在极小值且满足，由此可得出，构造函数，其中，利用导数分析得出函数在区间上为减函数，可求得的值，进而可求得的值.
【详解】函数的定义域为，则，，
则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，当时，，
则存在，使得，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
，
由于函数有唯一零点，
则，
由，解得，
所以，，
令，其中，
，
，则，，，则，
所以，函数在上单调递减，且，，
从而可得，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
3．C
【分析】由不等式在恒成立，得到在上单调递增，再由在上是奇函数得到是偶函数，进而画出两个函数，大致图象，即可求解.
【详解】∵定义在上的奇函数满足，
∴．
∵，∴．
即，记，在上单调递增．
∵，∴是偶函数．
∴在上单调递减，且．
如图所示，画出，大致图象．
由图可得，有3个零点．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，关键在于构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，做出函数图象，将一个函数的零点问题，转化为两个函数的交点个数问题.
4．
【详解】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．
【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．
5．D
【分析】画出图象及直线，借助图象分析．
【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．
即，即，
或者，得，，即，得，
所以的取值范围是．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
6．D
【详解】因为是函数的零点，则函数有四个不同的零点，等价于方程有三个不同的根，即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=与有三个不同的交点，由图知，所以，故选D．
【点睛】判断方程的根的个数问题，可以转化为函数和图象交点的个数问题，通过在直角坐标系中作出两个函数图象，从而确定交点的个数，也就是方程根的个数．
7．A
【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断.
【详解】因为，，为正实数，且满足，，，
则，，，
所以，，，
则，，，
令，，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，
满足的即为与的交点的横坐标，
满足的即为与的交点的横坐标，
满足的即为与的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示：
由图可知.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键.
8．B
【分析】先在直角坐标系内画出函数在x≥0时的图象，在根据奇函数的图象特点画出函数在时的图象，由所有根之和为，可以转化成在时，两个函数图象交点的横坐标之和为，利用数形结合和函数的解析式进行求解即可.
【详解】函数在整个定义域内的图象如下图所示：
因为所有根之和为，所以函数和函数在时，它们的图象的交点的横坐标之和为，即，由图形可知：两点关于对称，因此，两点关于对称，因此，所以，因此.
故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和对称性求解函数值问题，考查了数形结合思想.
9．ABD
【分析】对于A，根据直接计算求解即可；
对于B，根据反函数相关知识转化为恒成立，进而得到，转化为函数最值问题求解即可；
对于C，通过同构转化为与有两个公共点，结合函数图象求解即可；
对于D，通过转化为函数与有公共点，且不在极值处取得进行求解即可.
【详解】对于A，，则，则，则，故正确.
对于B，若，则，
由于互为反函数，它们图象关于对称，
所以只须保证恒成立即可，又因为，
所以，故，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减
所以，所以，故，故B正确.
对于C， 若，则与有且只有一个公共点，
此时有奇数个零点，不符合题意，
若，若有两个零点，则有两不等根，
即，即有两个不等根，
设，则，
由于，且在时满足且单调递增，
则等价于与有两个公共点，
即有两实数根，故有两实数根，
即与有两个公共点，
因为当时，，当时，且，
且，作图象如下：

故，则，故C错误．
对于D，若有极值点，等价于有变号零点．
即有实根，
即函数与有公共点，且不在极值处取得，
因为
若，则在单调递增，
显然，值域为，与有交点；
若，则令，
当，单调递增，
当，单调递减，
．
，，，
则，因为，所以，
则，故或，故D正确．
故选：ABD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
10．C
【分析】变形为有两个不等的实数解，构造，求导，得到单调性和极值情况，又当时，恒成立，当时，恒成立，从而得到答案.
【详解】由题意得有两个不等的实数解，
令，定义域为R，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在时取得极小值，也是最小值，
故，
又当时，恒成立，当时，恒成立，
故要想有两个不等的实数解，则.
故选：C
11．B
【分析】将问题转化为函数与的图象有2个交点，则利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的直线的斜率，再结合图形可求出实数的取值范围.
【详解】有两个零点，即有两个正实根，
即函数与的图象有2个交点．
直线过定点，当该直线与曲线相切时，设切点为，
又，则，即，
令，则，所以在上单调递增，
又，故有唯一零点，故，
所以当直线与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1．
要使函数与的图象有2个交点，则需满足，
所以．
故选：B．

【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为直线与曲线有两个交点问题，然后利用导数的几何意义求出相切时直线的斜率，再结合图形求解即可，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
12．A
【分析】解法一：令，得，进而得到．令，由其单调性得到，即，进而转化为，利用导数法判断；解法二：令，得，进而得到．令，由其单调性得到，即，然后利用导数的几何意义求解判断.
【详解】解法一：通过选项判断可知，
令，得，
由，得
，所以．
令，则，且在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
令，，
∴在上单调递增，在上单调递减，则，
又时，，且，画出大致图像，
可知，则．
故选：A．
解法二：通过选项判断可知，
令，得，
由，得，所以．
令，则，且在上单调递增，
所以，即，
当直线与图像相切时，设切点为，
由，则有，故，则．
又，即，则，
∴．
要使得直线与图像有两个交点，
则，
故选：A．
13．C
【分析】根据题意，判断的图象关于点对称，利用导数判断函数在上的单调性，在同一坐标系中作出与的图象，得出交点个数，并结合对称性及可得解.
【详解】根据题意，函数的周期为8，图象关于点对称，
又，
所以函数的图象也关于点对称，
由，，
，，，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，，，
在同一个坐标系中，作出函数与的图象，如图，

由图可得，函数与在上有两个交点，
因为函数与图象均关于点对称，
所以函数与在上有两个交点，又，
所以函数在内的零点个数为5.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数的性质及函数零点个数问题，依据题意，可判断函数与图象均关于点对称，利用导数判断函数在上的单调性，并根据单调性，极值作出与在上的图象，根据图象求得结果.
14．A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
15．D
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.
【详解】已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：
∴令∵有唯一零点，且是偶函数，
所以，∴
∴或
若时，则
当时，则令解得，∴（不合题意舍去）
若时，则
∵在上单调递减∴
∵是偶函数∴只有唯一零点0
∴只有唯一零点2023
综上：.
故选：D.
16．ACD
【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，对于A：根据指数函数性质结合基本不等式分析判断；对于B：根据对数函数性质结合基本不等式分析判断；对于C：根据题意结合函数单调性分析判断；对于D：，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断.
【详解】令，则，
可知函数的零点即为与的交点横坐标，
如图，作出函数的图象，
则，且，
对于选项A：因为，即，
且，则，
可得，
整理得，
即，所以，故A正确；
对于选项B：因为，即，
且，则，
可得，
即，
可得，解得，故B错误；
对于选项C：因为，
结合选项AB可得，解得，
则，，
因为在上单调递增，
可知在上单调递增，且，
可得，即，故C正确；
对于选项D：方程，即，
令，则，注意到，
1.若，则方程无实根，即方程无实根，
故方程无实根；
2.若，则方程有2个不相等的实根，
且有2个不相等的实根；有3个不相等的实根；
故方程有5个不相等的实根；
3.若，则方程有4个不相等的实根，
且无实根；有4个不相等的实根；
或均有3个不相等的实根；
故方程有10个不相等的实根；
4.若，则方程有4个不相等的实根，
且无实根；或或均有3个不相等的实根；
故方程有9个不相等的实根；
5.若，则方程有3个不相等的实根，
且无实根；或均有3个不相等的实根；
故方程有6个不相等的实根；
综上所述：方程最多有10个不同的实根，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
17．
【分析】利用指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质，可知在和x>1各有一个零点，进而求解.
【详解】当时，，
当时，，
由函数恰有两个零点，可知在和x>1各有一个零点，
可得： ，解得
故填：
【点睛】本题考查了根据零点个数求函数的参数，涉及了指数函数的单调性，分段函数的应用；常用方法：①直接法，根据条件构建关于参数的不等式；②分离参数法，分离参数转化为求函数的值域问题；③数形结合法，画出图象，根据图象列式求解.
18．
【分析】作出大致图象，结合图象可得实数的取值范围；令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解.
【详解】作出大致图象如下：
若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是；
令，则，可得，
且，
结合图象可知方程的一个根，另一个根，
当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根，
当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，
综上所述：共有4个零点.
故答案为：；4.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
答案第1页，共2页
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