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专题8 函数新定义问题【讲】
与函数有关的新定义问题，是近几年各地高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题．所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题，以此考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．在高中范围内，函数新定义题主要有以下几种类型：
一、定义新运算型：
给出一种新的运算规则，要求根据规则进行计算或判断．
二、定义新概念型：
引入一个新的概念，如周期函数、对称函数等，要求理解并运用该概念解决问题．
三、定义新函数型：
给出一个新的函数定义，考查对函数性质、图像等的理解和应用．
四、定义关系型：
定义一种新的关系，如大小、顺序等，要求根据关系进行推理或判断．
五、定义性质型：
定义一些新的函数性质，要求根据性质解决问题．
六、定义新情境型：
设置一个新的情境或背景，要求根据情境中的条件解决相关函数问题．
对函数新定义的理解和运用是考查的重点，对新定义内涵和外延的挖掘是解决问题的关键．函数中的新定义问题重点围绕函数的定义及单调性、奇偶性、对称性等性质进行考查．
一、解决函数新定义问题的一般策略如下：
（1）理解新定义内涵：仔细研读新定义，确保准确把握其规则和要求；
（2）寻找已知与未知的联系：分析新定义与已学知识的关联，尝试进行转化；
（3）合理赋值：通过赋值来验证或推导结论；
（4）构造示例：通过构造具体的例子来帮助理解和解决问题；
（5）化归思想：将新定义问题转化为熟悉的问题进行处理；
（6）逻辑推理：运用逻辑思维逐步分析和推理；
（7）验证结果：解题后要检查结果是否符合新定义的要求．
二、解决函数新定义问题要注意以下几点：
（1）要理解定义中常见的关键词的内涵．比如“任意”“任何”“所有”“每一个”等全程量词，“存在”“有些”“至少”等存在量词，还有“唯一”“当且仅当”等．
（2）其次建立新定义概念和已有概念的联系和桥梁，将新定义概念进行迁移或者转化．
（3）要善于利用定义中的特殊情况，这通常是打开问题缺口或者化繁为简的钥匙．也就是我们常说的善于利用必要条件来探路．
（4）数学中定义的生成通常是一个由具体到抽象的过程．一个新定义展现在我们的面前时，我们看到的通常是最后的抽象的结果而看不到它产生的过程，这就给人晦涩的感觉，因此对新定义进行举例说明，使之具体化可以帮助我们更好地理解新定义的本质．
考向一 运算型函数新定义问题
例1.设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”；若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．fp(f(0))＝f(fp(0)) B．fp(f(1))＝f(fp(1))
C．fp(fp(2))＝f(f(2)) D．fp(fp(3))＝f(f(3))
【典例解读】
理解与转化新定义：“p界函数”；
因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以f2(x)
对于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；
对于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；
对于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；
对于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确．
【题后反思】
主要考查了对新定义的理解和运用．在解决这类问题时，需要仔细分析新定义的规则，深刻理解新定义函数的特点，并将其与具体函数相结合进行推理、判断和计算．同时，也提醒我们在遇到类似新定义问题时，不要被复杂的表述所迷惑，要冷静分析，找到解决问题的关键．
【再练一个】
（2024新高考改革数学适应性联考）
1．“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
考向二 概念型函数新定义问题
例2.若存在正实数M，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数中“在上是有界函数”的为______（填写序号）．
①；②；③；④
【典例解读】
本题主要的信息是“有界函数”的定义，对新定义的理解和再挖掘是解题的关键．“存在”和“任意”是数学定义中常出现的关键词．有界函数的定义与我们所学的函数最大值的定义是很相似的，求函数最值的一些方法可以迁移过来，区别是函数的最大值是要能取到的，而本题中的M值只需不比任意函数值小即可，这给不等式放缩留出了很大的空间．
函数中，，所以．因此①不是有界函数．，所以②是有界函数．，，．所以在上单调递增，在上单调递减．所以．所以③是有界函数．当时，，显然④是无界函数．故答案为②③．
【题后反思】
本题中有界函数的定义很容易联想到最大值的定义，将学过的知识迁移、类比到新定义、新情境中是数学学习中很重要的方法．
【再练一个】
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数，与函数，为“同值函数”，给出下列四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的命题的序号是 ．
①(表示不超过x的最大整数，例如）
②
③
④
例3.在平面直角坐标系中，当点不是原点时，定义点P的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为C的“伴随曲线”，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A；
②单位圆的“伴随曲线”是它本身；
③若曲线C关于x轴对称，则他的“伴随曲线”关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是______（填写序号）．
【典例解读】
定义了“伴随点”这个新的概念，进而在“伴随点”的基础上定义了“伴随曲线”．在这个定义中我们可以看到一些学过的知识和定义的影子，如函数、映射、曲线等，还有如何判断曲线的对称性等这些知识．“伴随点”定义本质上是一种映射，f：，其中对应法则为
对于①，可以采用特殊值法，必要条件探路．设点A的坐标为，则点A的“伴随点”为点，所以的“伴随点”为与A不同．则①不是真命题．
对于②，设曲线C：上点P的坐标为，“伴随曲线”上上的点的坐标为，则
所以，则②正确．
对于③，设点的“伴随点”为点，点的“伴随点”为点．
由P，关于x轴对称，，关于y轴对称，则③正确．
对于④，
解法一：设点P的坐标为，点的坐标为（不过原点）．
，，所以，．
设原直线方程为，将点代入该方程，得
．
则有．
所以当为定值时，“伴随曲线”是直线，当不是定值时，“伴随曲线”不是直线，则④错误．
解法二：特殊值法，还是用必要条件探路．
设直线为，取四点坐标分别为，，，，则它们的“伴随点”坐标分别为，，，，显然四点不共线，则④错误．
综上，②，③正确．
【题后反思】
本题通过引入“伴随点”和“伴随曲线”的新概念，考查对新定义的理解和运用能力．在解决本题时，我们需要灵活运用所学知识，如函数、映射、曲线对称性等．同时，通过特殊值法、坐标变换等方法来验证各个命题的正确性．
【再练一个】
3．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
①；②；
③；④
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
考向三 关系型函数新定义问题
例4.已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．下列函数为F函数的序号是_______．
①f（x）＝x2
②f（x）＝sin x＋cos x
③f（x）＝
④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|
【典例解读】
对于①，|f（x）|＝|x||x|，∴不存在实数m使得对任意x∈R有|f（x）|≤m|x|，故其不是F函数；
对于②，f（x）＝sin x＋cos x，当x＝0时，f（0）＝1≥m×0，
故|f（x）|≤m|x|不成立，故其不是F函数；
对于③，f（x）＝，|f（x）|＝|x|≤|x|，
故对任意的m≥，都有|f（x）|≤m|x|，故其是F函数；
对于④，f（x）是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）－f（x2）|≤2|x1－x2|，
令x1＝x，x2＝0，由奇函数的性质知，f（0）＝0，故有|f（x）|≤2|x|，显然是F函数．
【题后反思】
本主要考查对新定义“F函数”的理解和运用．通过对各个函数的具体分析，我们发现要判断一个函数是否为“F函数”，需要根据定义去验证是否存在常数 m 满足条件．
在分析过程中，我们运用了绝对值的性质、函数的性质等知识．对于①和②，通过具体的数值计算发现不满足条件；对于③，通过对函数的化简和放缩，找到了合适的常数 m，证明了其为“F函数”；对于④，利用奇函数的性质和给定的不等式，也证明了其为“F函数”．
【再练一个】
（2024四川内江期中考试）
4．若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数（），（），且与具有关系，则m的取值范围为 ．
考向四 性质型函数新定义问题
例5.（2024北京十二中期中考试）已知集合．给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称函数具有性质“P”．
（1）具有性质“P”的一个一次函数的解析式可以是______．
（2）给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“P”的函数的序号是______．（写出所有正确答案的序号）
【典例解读】
（1），，，
，…，
所以具有性质“P”．
（2）具有性质P的函数应单调．
①，，，
同理，，，…，
所以具有性质“P”．
②，，，…，
所以具有性质“P”．
③时，，，
所以，．同理，，…，
所以不具有性质“P”．
【题后反思】
本题主要考查了对新定义“性质P”的理解和运用．
在解决（1）时，我们通过具体的一次函数解析式验证了满足条件，加深了对性质“P”的理解．
在（2）中，通过对各个函数的分析，发现具有性质“P”的函数需要满足单调的条件．对于①和②，通过计算和比较，验证了它们的单调性，从而确定为具有性质“P”的函数；而对于③，通过具体的数值计算，发现不满足单调条件，从而确定其不具有性质“P”．
【再练一个】
5．已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ）
①函数可能是奇函数；
②函数可能是周期函数；
③存在，使得；
④对任意，都有.
A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③
考向五 情境型函数新定义问题
例6.（2029年高考北京理科数学第8题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图1）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是（ ）．
图1
A．① B．② C．①② D．①②③
【典例解读】
对结论①，根据对称性，此处考虑的情况．
（1）当时，方程可写作，解得．
即当时，曲线C经过整点与．
（2）当且时，由于，当且仅当时取等号．
设，则．
当且仅当时，该方程有唯一整数解．
则有唯一整数解．
（3）当且时，曲线C经过点．
（4）当且时，，此时．
所以方程不可能有整数解．
综上所述，当时，曲线C经过整点，，与．
由对称性知C也经过整点与．
即曲线C恰好经过6个整点．故①正确．
对结论②，根据对称性，仅考虑的情况，此时．
（1）当时，，点与到原点距离为1，．
（2）当且时，，此时，则此段曲线C上的点到原点距离小于1．
（3）当且时，曲线C经过点，该点到原点距离为1，．
（4）当且时，所以，当且仅当时等号成立．
综上所述，当时，曲线C上的点到原点的距离均不大于．
故曲线C上所有点到原点的距离均不大于，故②正确．
对结论③，依次连接①中的整点，，，，和．
这些点的连线均处于心形区域内部，即心形区域的面积大于这些点围成的面积．
而这些点围成的面积为，则心形区域的面积大于3，故③错误．
故正确结论的序号为①②．故选C．
【题后反思】
本题通过对曲线 C 的分析，考查对曲线性质的理解和应用．在分析结论①时，通过分类讨论和对不同情况下方程的求解，详细地找到了曲线 C 经过的整点，体现了严谨的逻辑思维．在论证结论②时，同样通过分类讨论和对不同情况下距离的计算，得出了曲线 C 上所有点到原点距离的范围，论证过程清晰．判断结论③的关键在于通过连接整点，发现心形区域的面积大于这些点围成的面积，从而得出心形区域的面积大于 3，与结论③矛盾．这一关键步骤运用了反证法和对图形的直观观察．
【再练一个】
（2024福建厦门期末考试）
6．水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，分别在以坐标原点为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为，.当达到最大时，称A位于的“大距点”.如图2，初始时刻A位于，位于以为始边的角的终边上.

（1）若，当A第一次位于的“大距点”时，A的坐标为 ；
（2）在内，A位于的“大距点”的次数最多有 次
考向六 与高斯函数相关问题
例7.（2024山西大同两校联考）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②
【典例解读】
根据所给定义计算出，，即可判断①②，分段分别化简函数解析式，再确定相应的函数值的取值范围，画出函数图象（部分），即可判断③④．
∵，
∴，，∴，故①正确；
∵，∴在上不可能单调递增，故②错误；
当时，∴，
当时，∴，∴，∴；
当时，∴，∴，∴；
当时，∴，∴，∴；；
∴当时；∴的图象（部分）如图5：
图5
由图可知有最小值且最小值为，无最大值，故③、④正确．故选B．
【题后反思】
（1）对于高斯函数的理解和运用是解决这类问题的关键，需要准确把握其定义和性质．
（2）在判断函数的单调性时，要结合具体的函数值进行分析，不能想当然地认为函数在整个定义域内单调递增．
（3）通过分段化简函数解析式，并结合图象来确定函数的值域和最值，是一种有效的解题方法．
【再练一个】
（2024黑龙江哈尔滨德强高中月考）
7．高斯是德国著名数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数，则下列4个命题中，真命题的个数为（ ）．
①函数是周期函数 ②函数的值域是
③函数的图象关于对称 ④方程只有一个实数根
A．1 B．2 C．3 D．4
考向七 与狄利克雷函数相关问题
例8.（2024上海吴淞中学期末考试）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①；
②对于任意的实数，均有；
③为偶函数；
④存在无数个实数，使得；
⑤若存在三个点、、，使得为等边三角形，则
其中真命题的序号为（ ）
A．①③④⑤ B．①③④ C．①②④⑤ D．①②④
【典例解读】
命题①③根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②举反例即可：命题④为无理数时即满足题意；命题⑤分为无理数和为有理数两种情况进行讨论．
对①：当为无理数时，，∴；
当为有理数时，，∴，所
以对任意，恒有，故①正确；
对②：当，，而，两者显然不等，故②错误；
对③：由①知，显然其为偶函数，故③正确；
对④：当为无理数时，也为无理数，∴，此时，故④正确；
对⑤，或1，
存在三个点、、，使得为等边三角形，
不同时为0或1，
不妨设， 分析得的位置有两种情况，
第一种情况：当为有理数时，即，如图8，
过点作，垂足为，得，，，
图8
可知，为无理数，为无理数，
即，，与图形不一致，舍去；
第二种情况：当为无理数时，即，如图9，
过点作，垂足为，得，，，
可知，，，
存在，使得，且为无理数，
即，与图形一致，符合题意，
此时，，故⑤正确．故选A
图9
【题后反思】
本题对⑤判断的关键是分为有理数和为无理数进行分类讨论；对①③的判断也是对分有理数和无理数进行讨论，从而解决嵌套函数的性质．
【再练一个】
（2024内蒙古呼和浩特期末考试）
8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
考向八 与黎曼函数相关问题
例9.（2024江西南昌三校联考）黎曼函数R（x）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，该函数定义在[0，1]上，当都是正整数，为最简真分数）时，；当或1或x为（0，1）内的无理数时，．若为偶函数，为奇函数，当]时，，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
【典例解读】
由为偶函数，为奇函数得到是以4为周期的函数，故可求；与大小关系可通过讨论所有可能取值的情况计算后比较， 所有可能取值分是否为0，1，无理数，有理数来讨论．
∵为偶函数，为奇函数，则关于轴对称且关于成中心对称，
∴，，
∴是以4为周期的函数，故．
下面证明成立．
（1） 当至少一个为0时， ．
（2） 当至少一个为1时，而．
故成立．
以下讨论的情况均不取0与1两个值．
（3）当恰有一个是无理数时，．
（4） 当均为无理数时，
①若为无理数，
②若为有理数，设，则，，故．
（5） 当均为有理数时，设，
①若为最简分数，则
故．
②若不为最简分数，设 （最简），则，故 ，
．
综上有．故选C．
【题后反思】
本题要证明的关键是求出与的值，以便比较大小，显然 ，但当时的表达式要分为无理数，为有理数四种情况，为了比较与大小，可对如下分类讨论：
取值 的值 结论是否成立
至少一0 0 0 成立
至少一1 0 成立
恰有一个是无理数 0 成立
均为无理数时 0 成立
均为有理数时 详见解析 详见解析 成立
对于含有多个变量的分段讨论，如何分段就成为解题的关键．
【再练一个】
（2024湖北温德克英名校联盟联考）
9．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且p，q为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的最大值为
B．若，则
C．存在大于1的实数，使方程有实数根
D．，
考向九 与欧拉函数相关问题
例10.（2024四川泸州泸县四中期末考试）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：，，．若，使得成立，则实数的最大值为____．
【典例解读】
【答案】12
【分析】根据欧拉函数的定义可得，则存在，使得成立，结合数列的单调性即可求解．
【解析】由欧拉函数的定义知，中不超过的数共有个，3的倍数有个，
∴，
存在，使得即成立，
转化为存在，使得成立，
设，
当时，；
当时，则，（显然）
∴当时，，即；
当时，，即数列为单调递减数列，
有，数列中最大的项为，即，
此时，则，即的最大值为12．
【题后反思】
（1）本题主要考查对欧拉函数定义的理解以及数列单调性的应用．在解题过程中，需要准确把握欧拉函数的计算方法，以及通过分析数列的性质来解决问题．注意数列的单调性在解决问题中的关键作用，这是找到最大值的重要途径．对于含参问题，要学会通过转化和分析来确定参数的取值范围．
（2）以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．
【再练一个】
10．若正整数，只有1为公约数，则称，互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的序号是 ．
①；
②；
③；
④，是正整数．
一、单选题：
11．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是
A． B． C． D．
（2024四川宜宾叙州一中期中考试）
12．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
13．在实数集R中定义一种运算“”，对于任意给定的为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意．关于函数的性质，有如下说法：
①函数的最小值为3；
②函数为奇函数；
③函数的单调递增区间为.
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
14．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有( )
A．3对 B．5对 C．7对 D．14对
（2024湖南衡阳八中月考）
15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时， .若数列 ，则下列结论:①的函数图像关于直线对称；②；③；④ ；⑤.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
二、多选题：
（2024九省联考模拟预测）
16．欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）
A．的定义域为，其值域也是
B．在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在，使得方程有无数解
D．，当且仅当是素数时等号成立
（2024重庆名校联盟联考）
17．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
18．对圆周率的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）借助正96边形得到著名的近似值：．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值，后来人们发现，这是一个“令人吃惊的好结果” ．随着科技的发展，计算的方法越来越多．已知，定义的值为的小数点后第n个位置上的数字，如，，规定．记，，集合为函数的值域，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C．对 D．对中至少有两个元素
三、填空题：
（2024湖南永州期末考试）
19．若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是 .
（2024北京101中学期中考试）
20．“S”型函数是统计分析 生态学 人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.
给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存在，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是 .
四、双空题：
（2024安徽安庆二模）
21．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为 ；以曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据给定信息，利用函数的相关概念逐项判断即得.
【详解】依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
由，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由经过有限次角股运算均无法得到1，记，得无最大值，B正确；
对任意正整数，，而，因此，C正确；
对任意正整数，每次除以2，最后得到1的次数为，因此，
由，知是假命题，D正确.
故选：A
2．①④
【分析】由题得能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调，再判断函数的单调性即得解.
【详解】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调；
对于①，，定义域为，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故①可以构造“同值函数”；
对于②，，为定义在[－1，＋∞）上的增函数，故②不可以构造“同值函数”；
对于③，，为定义在（0，＋∞）上的减函数，故③不可以构造“同值函数”；
对于④，，所以，
所以函数不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故④可以构造“同值函数”．
故答案为：①④
3．C
【分析】根据“倍值区间”的定义，分别对四个函数研究，从而可确定存在“倍值区间”的函数.
【详解】对于①，假设函数存在“倍值区间”，
因为函数为单调递增函数，
所以，所以，解得，
所以存在“倍值区间”;
对于②，假设函数存在“倍值区间”，因为为递增函数，
所以，所以，
构造函数，则，
所以由得，单调递增;
由得，单调递减，
所以在时取得最小值，最小值为，
所以恒成立，所以无解，
故不存在“倍值区间”;
对于③，假设函数存在“倍值区间”，因为，
所以.
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
假设，
则函数在上单调递增，
所以，所以，所以，
所以函数存在“倍值区间”.
对于④，.不妨设，
则函数在定义域内为单调增函数，
若存在“倍值区间”，则，必有，
必有，是方程的两个根，
必有，是方程的两个根，
由于，，则，
则存在两个不等正根，根据指数函数的性质知一定有解，故存在“倍值区间”;
综上所述：函数中存在“倍值区间”的有:①③④.
故选：C.
4．
【分析】先根据题意求出函数的值域为，由题意得到的值域，再将函数进行换元，，由对称轴进行分类讨论，得到的值域，从而得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得对任意的，存在，使得，
又，故的值域，
因为，，
令，则，
设，
①若对称轴，即时，，
则，解得，与求交集，结果为；
②若，即时，，
则，解得，与取交集，结果为，
③若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
④若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为．
综上，或．
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念．
5．B
【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解.
【详解】解：对①：若为奇函数，则.令，由（2）知，
而与（1）矛盾，所以①错误.
对②：若为周期函数，则(其中为非零常数)，
当（比如）值域时，令，
则（1）成立；（2）也成立，故②正确.
对③：由②可知，存在，使为任意非零常数，所以可使，故③正确.
对④：令，则由（1）知，从而，所以，
所以④正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：牢牢抓住所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断.
6． 6
【分析】根据题意可得，，可得，结合倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题，结合图象分析求解.
【详解】（1）当时，经过时间，，，
当A位于的“大距点”时，与小圆相切，
此时为直角三角形，所以，
因为，所以，
因为A是第一次位于的“大距点”，可知，则，
所以，，
即A的坐标为；
（2）经过时间，，，
对于任意，当A位于的“大距点”时，
A，两点坐标满足，即，
当时，求“大距点”个数的问题转化为直线与在的交点个数问题.
若与有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，
共长度等于36，因为，所以内不可能有7个交点.
又当时，
如图所示，与有6个交点，故A最多有6次位于的“大距点”.
故答案为：；6.

【点睛】方法点睛：数形结合求交点个数：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个．
7．B
【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,
，
所以函数为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；
所以函数的值域是，故选项②正确；
由，
所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；
对于方程，
当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项④正确.
故选：B.
8．AC
【分析】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可.
【详解】由于，
对于选项A，设任意，则，；
设任意，则，；
总之，对于任意实数，恒成立，A正确；
对于选项B，的值域为，，B错误；
对于选项C，当，则，；
当，则，；C正确；
对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误；
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，解题的关键是将文化情景转化为数学模型即可，属于中档题.
9．C
【分析】根据题意得到，或或时上的无理数，由的值域为，可判定A正确；若，设，，得到；若有一个为0，得到，可判定B正确；由，且的最大值为，可判定C错误；由，设，得到，可判定D正确.
【详解】设，（，且为互质的正整数），
或或时上的无理数，
对于A中，由题意，的值域为，其中p是大于等于2的正整数，
所以A正确；
对于B中，①若，设，（互质，互质），，则；
②若有一个为0，则，所以B正确；
对于C中：若为大于1的正数，则，而的最大值为，
所以该方程不可能有实根，所以C错误；
对于D中：和内的无理数，则，，，若为内的有理数，设（为正整数，为最简真分数），
则，所以D正确.
故选：C.
10．①③
【分析】利用欧拉函数定义求解判断；
【详解】∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
∴，故①正确；
∵当时，，故②不正确；
∵小于或等于的正整数中与互质的正整数为，，，，
，，，，，，，，，，，，共有个，
∴，故③正确；
∵当时，，故④不正确．
故答案为：①③
11．A
【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；
当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
考点：导数及其性质.
12．D
【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.
【详解】因为，所以，，
所以，，
所以.
故选：D.
13．C
【分析】令，可得，则可化简，根据奇偶性定义可判断②，又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值可判断①，求导分析单调性可判断③．
【详解】在（3）中，令，可得，则，
易知函数是非奇非偶函数，故②错；
又范围不确定，不能直接用基本不等式求最值，故①错；
又，由可得函数单调递增区间为，故③对．
故选：C.
14．C
【分析】结合题意，将函数的友好点的对数转化为与的图象的交点个数，然后利用图像求解即可.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，
所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数，
即函数与的图象的交点个数，
作出函数与的图象，如图所示:

可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对.
故选:C．
15．D
【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.
【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且 是既约的真分数，则，并且 是互质的 ， ，
也是真分数，若 不是既约分数，则 与 必定存在公约数 ，
不妨假设 ，则有 ，即 存在大于1的公约数，与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，
故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ， ，但当 时 ，故③错误；
对于④， ， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即 当 时 ，
， ，
当 时， ， ， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故选：D.
16．ACD
【分析】根据欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系进行判断选项.
【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为，其值域也是，所以A正确；
对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如，所以B错误;
对于C，由于的值域为，所以不存在，使方程有无数解,故C正确;
对于D，因为的素因数都是大于1，，所以，当且仅当时素数时等号成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.
17．BCD
【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.
【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，故B正确；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴在上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，故D正确.
故选：BCD.
18．AC
【分析】对于A：根据定义，直接求出，即可判断；
对于B：根据定义，直接求出的值域为，即可判断；
对于C：求出，即可判断；
对于D：求出k=10时，的值域为，即可否定结论.
【详解】对于A：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
所以由可得：，，，，，，，，，，故.故A正确.
对于B：由题意，集合为函数的值域，所以集合为函数的值域.
规定．记，，
所以，令，，则，
因为
，
所以
所以的值域为.故B错误.
对于C：因为，所以，所以对.故C正确；
对于D：
由C的推导可知：.
因为，，
所以，令，，则，
因为
，
所以
，
，
即k=10时，的值域为.故D错误.
故选：AC
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；
(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.
19．
【分析】由题意，建立方程，利用分类讨论思想，结合一元二次方程有解问题，可得答案.
【详解】由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”，
即在上有解，则有，
即有解，
当时，，满足题意；
当时，对于任意的实数，，
变形可得，解可得：，
由，故.
故答案为：.
20．①②
【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.
【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），
设导数在取最大值，结合的图象可知，
且当时，为增函数，在上为减函数，
对于①，任意，取，则有，故①成立.
对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，
此时平移后的直线与图象相切，且，取，
故，故②正确.
对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，
交的图象于，由函数的图象特征可得，
取，则，故③不成立.
对于④，取（为①中最大值点），
则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，
否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.
21．
【分析】由曲线C的方程可得，该曲线关于轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C的最短距离即可得其内切圆半径；当，时，曲线可为函数的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.
【详解】设点在曲线上，
则、、亦在曲线上，
故曲线关于轴、轴、原点对称，
故只需研究第一象限内部分，
当，时，由曲线上，
故有，即有，
则可设，，，
即，，
则
，
由，则，则，
即曲线C的内切圆半径为；
当，时，可化为，
，
则曲线上的点的切线方程为：，
令，则有
，
令，则有，
则.
即曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点曲线上，可设，，，从而计算出点到曲线的最短距离即可得曲线C的内切圆半径，当，时，曲线可为函数的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.
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答案第1页，共2页

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