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专题1 分段函数问题【讲】
一、定义：
在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数.函数的解析式中的绝对值含有未知数，此函数实质上也是分段函数.
二、理解：
①分段函数是一个函数，而不是几个函数；
②写分段函数的定义域时，区间的端点位置要不重不漏；
③处理分段函数问题时，先要确定自变量的取值属于哪一段，然后选取相应的对应关系.
④分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；
⑤分段函数的值域是各段函数值集合的并集；
⑥分段函数的最大（小）值则是分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值.
三、分段函数的图象
1.分段函数图象的构成：
分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的.
2.分段函数图象的作法：
通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心.
四、分段函数的性质
1.分段函数的单调性：
判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性.
2.分段函数的奇偶性：
判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：
（1）如果能够将每段的图象作出，则优先采用图象法，通过观察图象判断分段函数奇偶性；
（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：
①判断定义域是否是对称区间；
②对定义域中任意一个实数，判断与的关系.
分段函数虽然在不同区间上有不同的“解析式”，但其实是一个函数.解决分段函数的相关问题，要充分利用图的直观性与数的精准性.解题中应依据函数的定义，注意函数本身的整体性，遵循分段处理的原则.分段函数的考查常与函数的性质以及方程问题结合，重点考查分类讨论、数形结合的思想方法，因此常常需要我们画出函数的图象，通过数形结合快速解题.
【易错提醒】
（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；
（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在有定义时，忽视对的验证；
（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；
（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；
考向一 分段函数求值
例1.已知实数，函数若，则a的值为______.
【典例解读】
①当，即时，.
由，得.
解得（舍去）；
②当，即时，.
由，得.
解得，符合题意.
综上所述，.
【题后反思】
“分段求解”是解决分段函数的基本原则.在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式.当自变量的值不确定时，要分类讨论.
【再练一个】
1．已知函数，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
考向二 分段函数的单调性
例2.（2024上山东聊城高三期末考试）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
若对任意实数，都有成立，则函数为增函数.
则即.
故选C.
【题后反思】
（1）函数 ，在上单调递增，则需要满足：
①在上单调递增；②在上单调递增；③.
（2）函数，在上单调递减，则需要满足：
①在上单调递减；②在上单调递减；③.
（3）这类问题解题步骤如下：
第一步：明确分段函数整体单调性；
第二步：根据单调性表示分段函数左右侧的约束条件；
第三步：根据单调性建立左右桥梁（）.
【再练一个】
2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考向三 分段函数的奇偶性
例3.已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）
A.　　B.　　C.　　D.
【典例解读】
本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式.若，则，∵，，且为偶函数，∴由题意知＝恒成立，∴必有，观察各选项知，只有C适合，故选C.
【题后反思】
分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定与的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用或建立方程来解决.
【再练一个】
3．设奇函数 ，则的值为 .
【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意：如果函数在时有定义，则必有，但如果在时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊的两个自变量的值间关系求解.
考向四 分段函数的最值（值域）问题
例4.（2022年高考浙江卷第14题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________.
【典例解读】
由已知，，∴，
当时，由可得，∴，
当时，由可得，∴，
等价于，∴，∴的最大值为.
故答案为：，.
【题后反思】
分段函数值域是各段函数值域的并集.
要求分段函数的最大（小）值，需要分别在每段上求出最大（小）值，然后在各段的最大（小）值中取最大（小）值.
【再练一个】
4．已知函数，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
考向五 分段函数求参数
例5.（2022年高考北京卷第14题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________.
【典例解读】
若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，当时，单调递减，，
当时，
∴或，解得，
综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1.
【题后反思】
已知函数值，求自变量的值时，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解.
【再练一个】
（2021年高考浙江卷第12题）
5．已知，函数若，则 .
考向六 分段函数与不等式
例6.已知，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【典例解读】
【答案】C
【分析】根据给定的分段函数，分段讨论求解不等式作答.
【解析】【详解】函数，当时，，不等式化为：恒成立，则，
当时，，不等式化为：恒成立，则，
当时，，不等式化为：，解得，则，
∴的取值范围是.故选C.
【题后反思】
分段函数的不等式的解集问题，一般都要通过分类讨论求解，每一类中条件与解得的范围取交集，而各类之间取并集.
【再练一个】
6．已知函数，令，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
考向七 分段函数图象的平移、对称、翻折
例7.已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A.的图象： B.的图象：
C.的图象： D.的图象：
【典例解读】
先作出函数的图象，再结合选项的函数和函数的图象变换分析判断即可.
函数如图所示：
图3
∴A正确，
对于B，的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，∴B正确，
对于C，当时，的图象与的图象相同，且的图象关于轴对称，∴C错误，
对于D，的图象是由的图象关于轴对称得到的，∴D正确，
故选C.
【题后反思】
分段函数图象的平移、对称、翻折的处理方式
①
②
③
④
（2）函数图象的对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
（3）函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
【再练一个】
7．已知函数，，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
考向八 分段函数图象的综合应用
例8.（2023年高考北京卷第15题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设.若存在最小值，则a的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是____________.
【典例解读】
依题意，，
当时，，易知其图象为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）；
当时，，易知其图象是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图象如下，
图5
显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图象，易知在，且接近于处，的距离最小，
图6
当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图象如下，
图7
∵，
结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，∵的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【题后反思】
（1）分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
（2）根据分段函数的图象来求最值或者不等式.
【再练一个】
8．设，则下列选项中正确的有（ ）
A．与的图象有两个交点，则
B．与的图象有三个交点，则
C．的解集是
D．的解集是
一、单选题：
（2024下湖南名校联盟高三联考）
9．已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2024高三上广东深圳外国语学校期中考试）
10．已知函数，若的最小值为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若存在互不相等的实数，，，，满足．则以下三个结论：
①，；
②，，其中为自然对数的底数；
③关于的方程恰有三个不相等的实数解．
正确结论的个数是　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．已知函数，若，则ab的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：
（2024广东惠州一中月考）
13．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
三、填空题：
（2024陕西模拟预测）
14．已知，若，则 ．
（2024下河南名校联盟高三联考）
15．已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
16．已知对任意的实数，满足，则的取值范围为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先求，再根据的值带入相应解析式计算即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
2．A
【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．
【详解】函数,
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D.
故选：A．
3．0
【分析】根据题意，结合，即可求解.
【详解】因为函数为奇函数，所以，
即，
所以.
故答案为：.
4．B
【分析】根据分段函数各区间上的解析式，由分式、二次函数的性质求对应区间上的值域，进而取并即可.
【详解】当时，函数单调递减，故；
当时，开口向下且对称轴为，且在对称轴左侧递增，右侧递减，
∴易知：；
综上，的值域为.
故选：B.
5．2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
6．C
【分析】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，结合图像，即可求得的解集.
【详解】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，
联立，解得或，故，，
所以，
又由可知，其解集为的函数值比大的那部图像的所在区间，结合图像易得，的解集为或
联立，解得或，故，，
联立，解得，故，
所以的解集为或.
故选：C.

7．D
【分析】先求出的解析式，再作出的图象，即可选出正确答案.
【详解】当时，，所以，
当时，，所以，
所以，
所以的图象为：
故选：D
【点睛】本题主要考查了由函数解析式选择函数的图象，通常根据函数的性质来选择，属于基础题.
8．ABC
【分析】根据题意作出分段函数的图象，数形结合求解.
【详解】函数图象图所示：
由图可知，若与有两个交点，则，故A正确；
若与有三个交点，则，故B正确；
若，则，故C正确；
若，则，
则，故D错误.
故选:ABC.
9．C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.
【详解】当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
故选：C.
10．A
【分析】利用基本不等式及对勾函数性质确定在上的单调性和最值，结合二次函数性质及最小值列不等式组求参数范围.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，且，
由在上递减，在上递增，
又的最小值为，故且，
综上，.
故选：A
11．C
【分析】由题意画出函数的图象，数形结合逐一分析三个结论得答案．
【详解】解：作出函数的图象如图，
若直线与函数的图象相交于四个不同的点，由图可知，，
故（1）正确；
设与函数的交点自左至右依次为，，，，
由，得，由，得，
，，
又，，
在，上是递减函数，
，，
故（2）正确；
设斜率为1的直线与相切于，，
则由，可得，则切点为，
此时直线方程为，即，
当时，直线与函数有4个不同交点，即关于的方程有四个不等实根，
故（3）错误．
正确结论的个数是2个．
故选：．
12．B
【解析】画出的图像，结合图像，根据，求得的取值范围.令，将用表示，由此求得的表达式，进而利用导数求得的最小值.
【详解】画出图像如下图所示，令，解得.
所以.
令，由图可知.，
所以.所以.
构造函数（稍微放大的范围）..
令，，
所以在上递减.而.
由于，
所以，，，
所以. ，
故存在，使.
所以在上递增，在上递减.
所以对于来说，最小值只能在区间端点取得.
当时，；
当时，.
所以的最小值为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
13．ACD
【分析】求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D.
【详解】选项A：.判断正确；
选项B：
画出部分图像如下：
当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；
选项C：当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减. 判断正确；
选项D：当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像如下：
等价于
即，而恒成立. 判断正确.
故选：ACD
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
14．3或
【分析】分和分别代入函数，解出即可.
【详解】当时，，解得；
当时，，解得．
故答案为：3或.
15．##
【分析】考虑，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，求出答案.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：
16．
【分析】由题意，分段函数在上是增函数，则必使函数在每段上均是增函数，并且由分段函数定义知，而在第一段上所给的函数是一个对数型复合函数，需依据复合函数的单调性得出满足的不等式组，求出的取值范围.
【详解】由题意，函数
在上是增函数，为增函数，并且
①当时，由于内层函数的图象开口向上，对称轴是，则内层函数在是减函数，在是增函数.
要使在上是增函数，
故有，解得
②当时，由于为增函数，则，即
③由于，
综上可知，，故
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数单调性问题，每一段都具有单调性，端点值也符合递增关系，本题属于难题.
答案第1页，共2页
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