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龙华区2023-2024学年第二学期九年级调研测试试题数学试卷
说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1~10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题11~22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 为打造极具辨识度的城市环保新名片，深圳市清洁能源环卫作业车辆的外观、标识正逐步改为统一标准．下列四个图标是深圳环卫车身上的环保符号，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2. 深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约7.2万平方米，设计藏书量800万册，其中800万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题关键是确定a和n．根据科学记数法定义进行表示即可得到答案．
【详解】解：∵800万，
∴科学记数法表示：，
故选：C．
3. 下列运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，整式乘法以及完全平方公式，平方差公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键，分别根据合并同类项法则，单项式乘以多项式运算法则，以及完全平方公式、平方差公式逐一判断即可．
【详解】A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故选：B．
5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：A．
6. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，
∴．
故选：B．
7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，
依据题意，可得．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8. 数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（ ）
A. 5 B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，过于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．
【详解】解：过于M，于N，
∵，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点B，D到直线的距离之和为5．
故选：A．
9. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∵光线经折射后沿垂直边的方向射出，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10. 如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
第二部分（非选择题，共70分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 化简分式：＝___．
【答案】1
【解析】
【分析】利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
，
．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了分式加减法，解题的关键熟练掌握分式的加减法的运算法则．
12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
13. 如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则____°．
【答案】70
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数．
【详解】解：延长交于点E，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：70．
14. 如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出．
【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为，
∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴与之间的反比例函数为，
当时，
∵，，
∴，
把代入得，
解得．
故答案为：
15. 如图，在矩形中，，P是边上一点，将沿折叠，若点D的对应点E恰好是的重心，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长交于F，在的延长线上取一点H，使，连接，，，连接并延长交于点T，连接，由折叠的性质得P，，根据点E是的重心，得是边上的中线，是边上的中线，则，，先证四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，进而得，在中，由勾股定理得，再判定，得，进而得，据此可得出答案．
【详解】解：延长交于F，在的延长线上取一点H，使，连接，，，连接并延长交于点T，连接，如下图所示：

∵四边形为矩形，，
∴，，，
由折叠的性质得：，，，
∵点E是的重心，
∴是边上的中线，是边上的中线，
即，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：原式
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．
（1）直接画出直线；
（2）的解析式为______；
（3）直线与之间的距离为______个单位长度．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质画出直线；
（2）利用平移的规律求得直线的解析式；
（3）根据三角形面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
如图，
【小问2详解】
将直线向右平移5个单位长度得到直线为；
故答案为：；
【小问3详解】
如图，过O作于C，反向延长交于D，
∵与x轴交于，与y轴交于，
与x轴交于，与y轴交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与之间的距离为个单位长度，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键．
18. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了_____辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_______°；
【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
（3）由上表填空：_______，_______；
【判断决策】
（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
【答案】（1）20，图见解析；（2）；（3）430；450；（4）选择B型，见解析
【解析】
【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；
（2）用360°乘续航里程为390km的占比即可；
（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．
【详解】解：（1）（辆），
的数量为：（辆），
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：，
故答案为：72；
（3）由题意得，．
故答案为：430，450；
（4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
19. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：
投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分
小龙 3支 4支 3支 27分
小华 3支 3支 4支 24分
（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？
（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？
【答案】（1）一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分
（2）她至少投入壶内2支箭
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键．
（1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可；
（2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可．
【小问1详解】
设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据题意得
解得
答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分；
【小问2详解】
设投入壶内m支箭，根据题意可得
解得：
∵m需取整数
答：她至少投入壶内2支箭．
20. 如图，以为直径的⊙交于点D，，垂足为E．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．
【答案】（1）增加条件：，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．
（1）添加条件：（答案不唯一）．证明，推出即可；
（2）解直角三角形分别求出，，再证明，得出，进而可得答案．
【小问1详解】
增加条件：．
证明：连接，
∵为的直径，
，
∵，，
，
∵，，
，
又∵，
，
即，
∵为半径，
为的切线；
【小问2详解】
在中，，，
，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
又∵，，
，
，
，
即的半径为．
21. 【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；
（2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式；
（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的关系式为，将代入得，
，
解得，
∴第一象限中抛物线的关系式为；
（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，
其抛物线的关系式为，过点，
∴，
即，
（3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接，
在中，米，米，
∴（米），
即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，
将代入得，
（米），
故答案为：．
22. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．
【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：
思路一 思路二
第一步 如图2，连接，，证明； 如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步 利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达
（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4或
【解析】
【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形 ，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二： 将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；
②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H作于M， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；
（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；
（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E和A重合，G和D重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B作于M，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则，
由勾股定理得，则，据此可得．
【详解】解：（1）①选择思路一：
证明：连接， 如图所示，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
选择思路二：
证明：将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②思路一：由（1）①知，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
∴，即；
思路二：由（1）①知，
∴，
如图所示，过点H作于M，则四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
综上所述，；
（2）如图所示，连接，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
∵在中，点F为的中点，
∴，
∴ ，
∴；
（3）∵E在边上，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵为直角三角形，
∴不能作为斜边，
①当时，
∵，
∴和共线，
∴E和A重合，G和D重合，如图：
∴由正方形的性质可得，
∴；
当时，连接，过B作于M，如图：
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，F是中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．龙华区2023-2024学年第二学期九年级调研测试试题数学试卷
说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1~10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题11~22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 为打造极具辨识度的城市环保新名片，深圳市清洁能源环卫作业车辆的外观、标识正逐步改为统一标准．下列四个图标是深圳环卫车身上的环保符号，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约7.2万平方米，设计藏书量800万册，其中800万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（ ）
A. 5 B. C. D. 10
9. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ）
A B. C. D.
第二部分（非选择题，共70分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 化简分式：＝___．
12. 若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
13. 如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则____°．
14. 如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______．
15. 如图，在矩形中，，P是边上一点，将沿折叠，若点D的对应点E恰好是的重心，则的长为_______．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16. 计算：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．
（1）直接画出直线；
（2）的解析式为______；
（3）直线与之间的距离为______个单位长度．
18. 随着人们环保意识增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了_____辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_______°；
【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
（3）由上表填空：_______，_______；
【判断决策】
（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
19. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：
投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分
小龙 3支 4支 3支 27分
小华 3支 3支 4支 24分
（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？
（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？
20. 如图，以为直径的⊙交于点D，，垂足为E．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．
21. 【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．
22. 如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．
【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：
思路一 思路二
第一步 如图2，连接，，证明； 如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步 利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达
（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．

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