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专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 异面直线所成的角】 1
【题型2 线线垂直的判定】 2
【题型3 线面垂直的判定】 5
【题型4 直线与平面所成的角】 7
【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 9
【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 10
【题型7 根据线面垂直求参数】 11
【题型8 平面内的射影问题】 13
【知识点1 直线与直线垂直】
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的
角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记
作a⊥b.
【题型1 异面直线所成的角】
【例1】（2023上·宁夏石嘴山·高三校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·广西玉林·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【变式1-2】（2023下·河南新乡·高一统考期末）已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 线线垂直的判定】
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【变式2-2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，在正方体中，为底面的中心.求证
【变式2-3】（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【知识点2 直线与平面垂直】
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫
做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型3 线面垂直的判定】
【例3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求五面体的体积.
【变式3-1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.
求证：⊥平面；
【变式3-2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【变式3-3】（2023下·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【题型4 直线与平面所成的角】
【例4】（2023上·广东佛山·高二南海中学校考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【变式4-1】（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
【变式4-3】（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式5-2】（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．

(1)若平面，求三棱锥的体积；
(2)求证：．
【变式5-3】（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，为线段的中点．
(1)求证： 平面；
(2)求证：．
【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例6】（2023上·四川南充·高二校考阶段练习）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（ ）
A．，，且 B．，，且
C．，，且 D．，，且，
【变式6-1】（2023下·江西南昌·高一统考期末）若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（ ）
A．， B．
C． D．
【变式6-2】（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知是两个不同的平面， 的一个充要条件是（ ）
A．内有无数条直线平行于
B．存在平面
C．存在平面，且
D．存在直线
【变式6-3】（2023上·北京顺义·高三校考期中）如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：
①；
②面积的最小值是；
③只存在唯一的点，使平面；
④当时，平面平面.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型7 根据线面垂直求参数】
【例7】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023下·山西·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式7-2】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（ ）

A． B． C． D．
【变式7-3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，是等腰三角形，，，D是AC的中点，点F在侧棱上，若要使平面BDF，则的值为
A．1 B．或2 C．或2 D．或3
【题型8 平面内的射影问题】
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【变式8-1】（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·高一课时练习）已知空间中的直线，，满足，且两两之间的距离均为d（），动点，，，，，，，的中点分别为M，P，N，Q，则在A，B，C，D的变化过程中，存在某一位置，使得（ ）
A．，点A在面上的射影为垂心
B．，点A在面上的射影为垂心
C．，点A在面上的射影为内心
D．，点A在面上的射影为内心
【变式8-3】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（ ）
A． B． C． D．专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 异面直线所成的角】 1
【题型2 线线垂直的判定】 5
【题型3 线面垂直的判定】 10
【题型4 直线与平面所成的角】 13
【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 18
【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】 22
【题型7 根据线面垂直求参数】 25
【题型8 平面内的射影问题】 30
【知识点1 直线与直线垂直】
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的
角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记
作a⊥b.
【题型1 异面直线所成的角】
【例1】（2023上·宁夏石嘴山·高三校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】连接，利用三角形中位线性质，结合异面直线的定义求解即得.
【解答过程】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，
而分别为的中点，则，，
因此或其补角是异面直线与所成的角，
在中，，则，
所以异面直线与所成角的大小是.
故选：C.
【变式1-1】（2023上·广西玉林·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，,为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】取CE中点为G，连接FG，BG，则异面直线与所成角即为或其补角，后由题意结合余弦定理可得答案.
【解答过程】取CE中点为G，连接FG，BG，注意到，则异面直线与所成角即为或其补角.
连接AE，则，又底面，
平面，则，故，.
注意到底面，平面，则，
故..
底面，平面，则，.
注意到，由余弦定理可得：
.
又，由余弦定理，
，
则.
故选：D.
【变式1-2】（2023下·河南新乡·高一统考期末）已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由可得为异面直线与所成角，即可求出，连接、，过点作交于点，过点作交于点，即可求出棱台的高，从而求出棱台的体积.
【解答过程】如图在正四棱台中，，
所以为异面直线与所成角，又，
所以，，且，所以，
连接、，过点作交于点，过点作交于点，
则，，
所以，则，
即正四棱台的高，
所以棱台的体积.

故选：D.
【变式1-3】（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将四棱锥补成长方体后可求外接球的直径，利用外接球的表面积可求的长度，从而异面直线所成的角可求.
【解答过程】设.可将该四棱锥补成如图所示的长方体：
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，
故表面积为，得，
因为，故或其补角为异面直线与所成的角，
因为平面，平面，得平面平面，
由，得平面，
且平面，故，故为锐角，
又E为的中点，故在中，，
在中，，故.
故选：D.
【题型2 线线垂直的判定】
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.
【解题思路】根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明.
【解答过程】如图，取的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为的中点，
∴，∴BE和EF所成角为，
即为异面直线BE与所成角，且.
在正三棱柱中，，.
在等边三角形ABC中，，
在Rt△BCF中，.
在△BEF中，，
∴，∴.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
【解题思路】通过平移后再解三角形即可获得证明.
【解答过程】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．
因为E是AB的中点，且AD=2，
所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
因为EF=，所以EH2+FH2=EF2，
所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，
所以AD⊥BC．
【变式2-2】（2023·全国·高一课堂例题）如图，在正方体中，为底面的中心.求证
【解题思路】如图所示，连接，，确定直线与所成的角即为直线与所成的角，证明得到答案。
【解答过程】如图所示：连接， 是正方体.
∴四边形是平行四边形.
∴直线与所成的角即为直线与所成的角.
连接，易证.又为底面的中心，
为的中点
.
【变式2-3】（2023下·全国·高一专题练习）如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
【解题思路】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小；
（2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证；
【解答过程】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，
从而与所成的角为与所成的角，
由，可知.
故与所成的角为.
（2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以，
因为为的中位线，
所以.
又，
所以，
所以.
【知识点2 直线与平面垂直】
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫
做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.
④直线与平面所成的角的取值范围是.
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型3 线面垂直的判定】
【例3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求五面体的体积.
【解题思路】（1）首先证明和，然后利用线面垂直的判定即可证明.
（2）首先证明平面，然后利用锥体的体积公式可得.
【解答过程】（1）连接EF，
在和中，，
所以，
所以，
又，，所以≌，
则为的中点，所以．
在中，，又为的中点，
所以，
因为平面，平面，，，，
平面
（2）取的中点，连结，与交于点，连结．
因为平面，平面，所以 ，
又，，，所以平面，
又平面，所以，
又所以平面．
因为，为等边三角形，
因为，所以
而，
在中，，
在等边中，BF是AC的中线，CM是AB的中线，
所以G是等边的重心，
所以
在中，，
则四边形的面积为．
故五面体的体积为．
【变式3-1】（2023上·上海·高二专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.
求证：⊥平面；
【解题思路】由题目条件得到⊥平面，故⊥，结合⊥得到线面垂直.
【解答过程】∵为⊙O的直径，
∴⊥.
又⊥平面，平面，
∴⊥.
又∵，平面，
∴⊥平面.
又平面，
∴⊥.
又⊥，且，平面，
∴⊥平面.
【变式3-2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：平面.
【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理求证；
（2）根据线线垂直，利用线面垂直定理证明.
【解答过程】（1）因为，是的中点，所以.
在中，，
由已知，所以，所以.
又平面，
所以平面.
（2）因为，是的中点，
所以.
由(1)知.
又因为平面，
所以平面.
【变式3-3】（2023下·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
【解题思路】（1）因为，由线面平行判定定理得证；
（2）由题意得，，根据线面垂直的判定定理得证.
【解答过程】（1）由题意，底面是矩形，即，
平面，平面，所以平面；
（2）由题意，平面，平面，
所以，
又底面是矩形，即，
平面，平面，
所以平面．
【题型4 直线与平面所成的角】
【例4】（2023上·广东佛山·高二南海中学校考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则与底面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】利用向量的线性运算先算出，连接，作,交延长线于M，可证面,得到,即可证面,故可得与面所成角为，即可得到答案.
【解答过程】因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形, ,,又,,
,，,
所以
,即，
连接，作,交延长线于M，易知,,
因为,
所以,又面,面,
所以面，又面,所以,
因为与相交，所以面，
所以与面所成角为，
在中，,
因为,所以,
故选：B.

【变式4-1】（2023上·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据线面位置关系和余弦定理，结合三角函数的基本关系式即可求解.
【解答过程】连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
同理，平面，又平面，
所以平面平面，
则由与平面的距离保持不变，得点的移动轨迹为三角形的三条边，
当为中点时，直线与平面所成角正弦值最大，
取的中点，设正方体的棱长为2，
则，，，
所以，则为直角三角形，
所以直线与平面所成角正弦值为，
当为C点时，直线与平面所成角的正弦值最小，
此时，，，
所以，则.
直线与平面所成角正弦值的取值范围是，
故选：C.
【变式4-2】（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）如图，三棱锥中，平面ABC，，，，点C到PA的距离，若BH和平面CDH所成角的正弦值为，则BC长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
【解题思路】利用线面垂直的判定定理证明平面，再由，进而证明平面，进而可证明为和平面所成的角，则，求出，设，由，解方程即可得出答案.
【解答过程】因为平面，则平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，且,平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，，所以点是的中点，
又因为，所以是等腰直角三角形，
由平面，所以平面，
所以为和平面所成的角，因为 则，
所以，则，
因为是等腰直角三角形，所以，
设，所以，又，
又因为，所以，
解得：.
故选：A.
【变式4-3】（2023上·江西·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，上底面是边长为的等边三角形，下底面是边长为的等边三角形，侧棱长都为1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】延长三棱台的侧棱，可证得几何体为正三棱锥，根据正三棱锥的结构确定直线与平面的夹角，进而求解.
【解答过程】
延长，，交于点，
设，的中点分别为，，连接，并交于点，连接，
在中，，所以，
，，，
所以，，
因为平面，
所以为直线与平面所成的角.
易知，，，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
故选：C.
【题型5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，．
求证：；
【解题思路】利用线面垂直的判定定理，证明均与平面垂直，进而证明；
【解答过程】证明：如图，连接，．
∵平面，平面，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴．同理可得，
又∵，平面，
∴平面．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴．
又∵，，平面，
∴平面．
∴．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【解题思路】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．
【解答过程】因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，
所以AE∥MN.
【变式5-2】（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，且．

(1)若平面，求三棱锥的体积；
(2)求证：．
【解题思路】（1）借助锥体体积公式计算即可得；
（2）借助线面垂直判定定理及性质定理即可得.
【解答过程】（1），
；
（2）如图，连接，交于点，连接，

四边形为正方形，，
又为的中点，，
，且、平面，
平面，
又平面．
【变式5-3】（2023上·辽宁沈阳·高二学业考试）已知四棱锥中，底面为平行四边形，，为线段的中点．
(1)求证： 平面；
(2)求证：．
【解题思路】（1）连接交于点，连接，可证得，根据线面平行的判定定理可得结论；
（2）取中点，由得，由余弦定理得，所以是等腰直角三角形，所以，从而平面，进而得结论.
【解答过程】（1）连接交于点，连接，
由于底面为平行四边形，所以为的中点．
在中，为的中点，所以
又因为平面平面，
所以 平面．
（2）取中点，连接．
因为，所以，
又，所以，又，
所以由余弦定理得，
即，所以是等腰直角三角形．
又点是的中点，所以，
又，且，平面，
所以平面，
又平面，所以．
【题型6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例6】（2023上·四川南充·高二校考阶段练习）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（ ）
A．，，且 B．，，且
C．，，且 D．，，且，
【解题思路】利用线面垂直的性质推理判断A；举例说明判断BCD.
【解答过程】对于A，由，，得，而，所以；
对于B，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：
当，，，都与平行时，，相交，B错误；
对于C，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：
当，都与平行时，，相交，C错误；
对于D，若，，且，，此时，可能相交，如下图所示：
当，都与平行时，，相交，D错误.
故选：A.
【变式6-1】（2023下·江西南昌·高一统考期末）若表示三个不同的平面，l表示直线，则下列条件能推出的是（ ）
A．， B．
C． D．
【解题思路】根据模型找出反例结合面面平行的判定判断即可.
【解答过程】
由图可知，面,面,面与面不平行，选项A错误；
面，面,面与面不平行，选项B错误；
根据线面垂直的性质可知，选项C正确；
面 面，面 面，面与面不平行，选项D错误.
故选：C.
【变式6-2】（2023上·北京·高二清华附中校考期中）已知是两个不同的平面， 的一个充要条件是（ ）
A．内有无数条直线平行于
B．存在平面
C．存在平面，且
D．存在直线
【解题思路】通过举反例说明A，B，C错误，根据线面垂直证明面面平行即可判断D正确．
【解答过程】对于A，由于内有无数条直线平行于，不一定得到 ，与也可能相交，如图所示，故A错误；

对于B，若存在平面，不一定得到 ，与也可能相交，如图所示，故B错误；

对于C，存在平面，且 ，不一定得到 ，与也可能相交，如图所示，故C错误；

对于D，存在直线，由垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得 ，故D正确；
故选：D．
【变式6-3】（2023上·北京顺义·高三校考期中）如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：
①；
②面积的最小值是；
③只存在唯一的点，使平面；
④当时，平面平面.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】证明平面判断①；求出的面积函数求解判断②；利用过一点有且只有一个平面垂直于已知直线判断③；证明平面且平面判断④.
【解答过程】在正方体中，平面，平面，则，
又平面，
则平面，又，则，①正确；
连接交与，由，得，，
在中，当时，最小，而，，
，此时，
因此面积的最小值为，②错误；
由①知，，同理，而平面，
因此平面，当点为直线与平面的交点时，平面，
而过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，于是过直线与直线垂直的平面有且只有一个，
所以存在唯一的点，使平面，③正确；
当时，在中，，，
则，
即有，则，又，于是平面，
由①同理，平面，
因此平面，则平面平面，④正确，
所以正确命题的个数为3.
故选：C.
【题型7 根据线面垂直求参数】
【例7】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可.
【解答过程】由题设，△为边长为的等边三角形，且，
等边△的高为，
在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示，
则，且，
所以，，，
若为面PBC的法向量，则，令，则，
又平面PBC，则且k为实数，，故.
故选：D.
【变式7-1】（2023下·山西·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】易得平面，得到，作交于点，得到平面，通过计算确定的位置即可得到答案.
【解答过程】∵，，∴平面，故，
作交于点，
此时平面，在矩形中，，
所以四边形是正方形，所以，所以，
又为的中点，
所以为的中点，即，所以.
故选：D.
【变式7-2】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】先构造与垂直的平面，利用面面平行，得到平面，进而确定交线，最后再应用余弦定理计算即可.
【解答过程】先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点，，连接，，.

因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以.
因为在中，，为的中点，所以.又，所以平面.
进一步.取，，的中点，，，连接，，，，易证平面平面.
故平面，
记，又是内的动点，
根据平面的基本性质得：点的轨迹为平面与平面的交线段，
在中，，，，
由余弦定理得:.故.
故选:B.
【变式7-3】（2023下·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）如图，在三棱柱中，平面ABC，是等腰三角形，，，D是AC的中点，点F在侧棱上，若要使平面BDF，则的值为
A．1 B．或2 C．或2 D．或3
【解题思路】易证，故要使平面BDF，只需，然后转化到平面中，根据勾股定理计算，即可得结果.
【解答过程】平面ABC，平面ABC，
所以，
又，D为AC中点，
所以，又，
所以平面，
平面，
所以，
因为，故要使平面BDF，只需，
在四边形中，，
设，则，
由得，
即，解得或，
所以或者，
故选：B.
【题型8 平面内的射影问题】
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知正方体中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【解题思路】由线面垂直的判定和性质，结合三角形的垂心的定义，可得结论．
【解答过程】设点A′在平面EFG上的射影为H，连接HE，HF，HG，
由A'E⊥A'F，A'E⊥A'G，且A'F∩A'G＝A'，可得A'E⊥平面A'FG，则A'E⊥FG，
又由EH为A'E在面EFG内的射影，可得FG⊥EH，
同理可得EF⊥GH，EG⊥FH，
所以点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的垂心．
故选：A．
【变式8-1】（2023下·河南安阳·高三校联考阶段练习）如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作，由圆柱的结构特征和线面垂直的判定可知平面，则点轨迹是平面与上底面的交线，结合勾股定理可求得长，即为所求轨迹长度.
【解答过程】连接，作，交于点，
是的中点，，
平面，平面，，
，平面，
平面，又平面，
，又，，平面，
平面，
设平面与上底面交于，，点的轨迹为；
，，是母线中点，
，
，
.
故选：C.
【变式8-2】（2023·高一课时练习）已知空间中的直线，，满足，且两两之间的距离均为d（），动点，，，，，，，的中点分别为M，P，N，Q，则在A，B，C，D的变化过程中，存在某一位置，使得（ ）
A．，点A在面上的射影为垂心
B．，点A在面上的射影为垂心
C．，点A在面上的射影为内心
D．，点A在面上的射影为内心
【解题思路】由题意，点在面上的射影在平行于的中位线上，可排除CD，设点在面上的射影为，再结合线面垂直的判定定理即可判断AB.
【解答过程】直线，，满足，且两两之间的距离均为d（），
所以点在面上的射影在平行于的中位线上，
所以点在面上的射影不可能为内心，排除选项C，D.
当时，，此时四边形为矩形，所以.
设点在面上的射影为，则，，
，所以面，所以.
对于B，C位置确定：取点，连结，
过作的垂线与的交点即为.
此时点在面上的射影为的垂心.
若点在面上的射影为垂心，则，
所以，此时四边形为矩形，
所以，排除选项B.
故选：A.
【变式8-3】（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将所给三棱锥补形为长方体，根据长方体的性质，分别计算，，，，然后找到对应的，在所在的平面上的投影，计算其面积得答案.
【解答过程】将该三棱锥补形为长方体如图所示，
因为，，由长方体性质可得，
，，
所以，
，
，
在中，由余弦定理可得，，则，
所以，
由上面计算可知，平面是平面，也即是平面
则问题转化为求解三角形在平面平面上的射影面积，
过点在平面内作，交于点，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
则面积为的在平面上的射影为
故射影面积为.
故选：A.

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