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专题8.7 空间直线、平面的垂直（二）【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求二面角】 2
【题型2 由二面角大小求线段长度或距离】 3
【题型3 由二面角大小求异面直线所成角】 4
【题型4 面面垂直的判定】 7
【题型5 面面垂直性质定理的应用】 8
【题型6 空间垂直的转化】 9
【题型7 点、线、面的距离问题】 11
【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 12
【知识点1 二面角】
1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l-，如图(1).
②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.
【题型1 求二面角】
【例1】（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三统考期中）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为，两相邻侧面所成的二面角为大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023上·湖南常德·高二校考阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【题型2 由二面角大小求线段长度或距离】
【例2】（2023上·陕西·高三校联考期中）如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式2-1】（2023上·上海金山·高二校考期中）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023上·山东泰安·高二校考阶段练习）如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ）
A．22 B．40 C． D．
【变式2-3】（2023下·甘肃庆阳·高一校考期末）在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 由二面角大小求异面直线所成角】
【例3】（2023下·四川绵阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角的平面角，，，则直线与直线的所成最大角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2 平面与平面垂直】
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂
直，记作⊥.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
【题型4 面面垂直的判定】
【例4】（2023上·上海·高二期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，点E为AB中点．证明：平面平面．
【变式4-1】（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．

(1)求证：平面⊥平面；
(2)求证：平面⊥平面．
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；

【变式4-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）如图，在四面体 中， ， ，点分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：若平面平面，且，求三棱锥的体积．
【题型5 面面垂直性质定理的应用】
【例5】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．平面
C． D．平面
【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）等边的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将沿DE折起，使点A到达点的位置.若平面平面BCED，则线段的长为（ ）.
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023上·辽宁大连·高二校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（ ）

A．由小变大 B．由大变小 C．先变小后变大 D．大小不变
【题型6 空间垂直的转化】
【例6】（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中学校考期中）在正方体中．求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面．
【变式6-1】（2023下·广西南宁·高一校联考期末）如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.

(1)证明：平面；
(2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积.
【变式6-2】（2023下·北京密云·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．

(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)在线段上是否存在点，使得 平面 请说明理由．
【变式6-3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求五面体的体积.
【题型7 点、线、面的距离问题】
【例7】（2023上·天津北辰·高二统考期末）在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式7-1】（2023上·全国·高二期末）如图，在直三棱柱中，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023下·高二课时练习）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】
【例8】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【变式8-1】（2023上·上海·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
(1)求证： 平面；
(2)若，平面平面.若为中点，求证：.
【变式8-2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值．
【变式8-3】（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求证：⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．专题8.7 空间直线、平面的垂直（二）【八大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 求二面角】 2
【题型2 由二面角大小求线段长度或距离】 5
【题型3 由二面角大小求异面直线所成角】 8
【题型4 面面垂直的判定】 14
【题型5 面面垂直性质定理的应用】 17
【题型6 空间垂直的转化】 20
【题型7 点、线、面的距离问题】 25
【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 29
【知识点1 二面角】
1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l-，如图(1).
②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.
【题型1 求二面角】
【例1】（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案.
【解答过程】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；

又平面，故平面，
而平面，故，
又，平面，
故平面，则点A到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在中，，则，即，
故二面角的大小为，
故选：A.
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三统考期中）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为，两相邻侧面所成的二面角为大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】在正四棱锥中分别找到或作出，，进而求出，即可判断各选项.
【解答过程】设正四棱锥的棱长为2，连，相交于.

取，的中点，，连，，，，.
由棱长都相等正四棱锥可知，面，，，，，
所以，，
又，，，，
所以，，
所以，即，故C错误，D正确；
由，得，故A错误；
由，得，即，故B错误.
故选：D.
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得.
【解答过程】在四面体中，取的中点，连接，如图，

由，得，
因此是二面角的平面角，
在中，，
由余弦定理得，
而，则，所以二面角的大小为.
故选：A.
【变式1-3】（2023上·湖南常德·高二校考阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】为中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案.
【解答过程】如图所示：为中点，连接，，则，，
平面平面，且平面，平面，
故为二面角的平面角，

在中，，，
在中，.
故选：A.
【题型2 由二面角大小求线段长度或距离】
【例2】（2023上·陕西·高三校联考期中）如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得．
【解答过程】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接，
平面，则，同理，
又，平面，，
所以平面，又平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以 ，
所以，
又是矩形，所以，，
从而，所以.
故选：A．
【变式2-1】（2023上·上海金山·高二校考期中）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意作交于，连接，作，，证明为二面角的平面角，以及，；在，中分别求出，，再在中，利用余弦定理求解即可.
【解答过程】如图，作交于，连接，作，，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
即，
因为平面，平面，所以，
又，， ，，所以，
所以，
同理，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，
所以.
故选：.
【变式2-2】（2023上·山东泰安·高二校考阶段练习）如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ）
A．22 B．40 C． D．
【解题思路】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案.
【解答过程】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，
而，则是二面角的平面角，即，
因为，即为正三角形，所以，
因为，即，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以在中，，所以，
故选：C.
【变式2-3】（2023下·甘肃庆阳·高一校考期末）在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角，则点B与点D之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过点在平面内作，证明，利用余弦定理得到，再利用勾股定理计算得到答案.
【解答过程】过点在平面内作，垂足为点，如图，

因为二面角的平面角为，所以平面平面，
又平面平面，平面，
故平面，又平面，，
在中，，，，则，，
，则，，
在中，，
则，所以，
所以.
故选：C.
【题型3 由二面角大小求异面直线所成角】
【例3】（2023下·四川绵阳·高一统考期末）如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解.
【解答过程】取中点为连接，由于和均为等边三角形，所以故为二面角的平面角，即，
由于为等边三角形，故，进而,
又,
由余弦定理可得,
由于,所以即为直线与所成角或其补角，
所以直线与所成角的余弦值为，
故选：B.
【变式3-1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果.
【解答过程】连接，，取中点，连接，
四边形为矩形，，，
即为二面角的平面角，，
又，，，为等边三角形，；
分别为中点，，，
或其补角即为异面直线与所成角，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
【变式3-2】（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，二面角的平面角，，，则直线与直线的所成最大角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先取的中点，连接交于，连接，，根据题意得到当时，得到直线与直线的所成最大角的正切值，即可得到答案.
【解答过程】取的中点，连接交于，连接，，如图所示：
因为为中点，为中点，交于，则为的重心.
即：.
因为，
又因为，即，所以，.
，
，即.
因为，为中点，所以，
因为，为中点，所以，
所以为二面角的平面角，即，.
因为直线与直线的所成角为，
当时，取得最大值，
当时，即，平面，即.
所以直线与直线的所成角正切值最大为.
故选：D.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，由平方后求得，取中点E，连接，则，中应用余弦定理求得，两者结合和是与的关系，从而求得结论．
【解答过程】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，
因为，所以，又，所以，
,，
则，
所以，
取中点E，连接，则，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因为，所以，
因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是．
故选：D．
【知识点2 平面与平面垂直】
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂
直，记作⊥.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
【题型4 面面垂直的判定】
【例4】（2023上·上海·高二期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，点E为AB中点．证明：平面平面．
【解题思路】由已知可得为正三角形，再由线线垂直证得平面，进而证明平面平面．
【解答过程】在四棱锥中，连接BD，由是菱形，且，得为正三角形，，
由E是的中点，得，由平面，平面，得，
而平面，，因此平面，又平面，
所以平面平面．

【变式4-1】（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．

(1)求证：平面⊥平面；
(2)求证：平面⊥平面．
【解题思路】（1）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
（2）由线面垂直性质、正方形性质得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
【解答过程】（1）因为平面，平面，
所以，
又因为底面是正方形，所以，
又因为平面，
所以平面，
又平面，
所以平面⊥平面.
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为底面是正方形，所以，
又因为平面，
所以平面，
又平面，
所以平面⊥平面.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且， 是的中点．求证：平面平面；

【解题思路】易得，证明，可得，再根据线面垂直的性质得到，则可证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
【解答过程】因为是底面圆的直径，所以，
因为为的中点，为的中点，所以，
所以，
又因平面平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
【变式4-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）如图，在四面体 中， ， ，点分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：若平面平面，且，求三棱锥的体积．
【解题思路】（1）通过证明平面来证得平面平面；
（2）根据锥体体积计算公式求得三棱锥的体积．
【解答过程】（1）由于，是的中点，所以，
由于点分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于，平面，
所以平面，由于平面，所以平面平面；
（2）由于平面平面，且交线为，
平面，所以平面，
，，
所以.
【题型5 面面垂直性质定理的应用】
【例5】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体中，，平面平面为线段的中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．平面
C． D．平面
【解题思路】利用面面垂直的性质可判定线面垂直，从而得出线线垂直，即可判定A、B、D三项正确.
【解答过程】因为平面平面，平面平面，
所以平面，即B项正确；
因为平面，所以，即A正确；
因为为线段的中点，
所以，同理可得平面，即D正确；
因为平面，平面，所以，
平面，若，则平面，
显然不重合，故C错误.
故选：C.
【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）等边的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将沿DE折起，使点A到达点的位置.若平面平面BCED，则线段的长为（ ）.
A． B． C． D．
【解题思路】由面面垂直可得线面垂直，利用勾股定理求解.
【解答过程】如图，易知是边长为1的等边三角形，过作DE的垂线，垂足为H，

由平面平面BCED，交线为，,
则平面BCED，且H为线段DE的中点，，
连接BH，则，取BC的中点F，则，且，
所以，
所以.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围.
【解答过程】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接．
过点作，交于点．
设，，所以．

设，则．
因为平面平面ABC，平面平面，
，平面ABD，所以平面ABC，
又平面，所以．
又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即．
在中，，，
因为和都是直角三角形，，
所以，．
因为，，
所以，得．
因为，所以，所以．
故选：C.
【变式5-3】（2023上·辽宁大连·高二校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中， ，、分别是线段、上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到A的过程中，的大小变化是（ ）

A．由小变大 B．由大变小 C．先变小后变大 D．大小不变
【解题思路】不妨设，根据面面垂直可得平面，进而可得，可求，在中，利用余弦定理运算求解.
【解答过程】不妨设，则，
可得，
连接，
因为，，则，即，
平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
且平面，所以，
可得，
在中，，
且，则，所以的大小不变.
故选：D.
【题型6 空间垂直的转化】
【例6】（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中学校考期中）在正方体中．求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面．
【解题思路】（1）借助正方体的结构特征，利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（2）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理即得.
【解答过程】（1）在正方体中，平面，平面，则，
而，平面，于是平面，
又平面，则，同理，而平面，
所以直线平面.
（2）在正方体中，，平面，而平面，
则，又，平面，
因此平面，而平面，
所以平面平面.
【变式6-1】（2023下·广西南宁·高一校联考期末）如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.

(1)证明：平面；
(2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积.
【解题思路】（1）根据，证得，得出，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）由和平面平面，证得平面，求得，再求得，结合锥体的体积公式，即可求解.
【解答过程】（1）证明：在矩形ABCD中，，O是与的交点，
可得，所以，
因为，且，
所以，可得，所以，
在图（2）中，可得，
因为，且平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，，
因为平面平面，且平面，且平面平面，
所以平面，
又因为，且，所以，
可得，所以，
在图（1）中，连接，由,可得相似比为，
设边的高为，边的高为，可得，
因为，可得，
则，
又由，
所以三棱锥的体积.
【变式6-2】（2023下·北京密云·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．

(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)在线段上是否存在点，使得 平面 请说明理由．
【解题思路】（1）由题意，又因为平面平面，所以平面，即可得证；
（2）由平面，所以，又，所以平面，得，又，从而平面，即可得结论；
（3）存在为中点时， 平面．取中点为，可得四边形为平行四边形，因此，即可证明．
【解答过程】（1）因为为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
因此．
（2）由（1）知，平面，平面，所以．
在矩形中，，
又因为，平面,所以平面．
平面，所以．
又因为，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（3）存在为中点时， 平面．
证明：取中点为，连接，

因为为中点，，且．
在矩形中，为中点，所以，且．
所以，且，所以四边形为平行四边形，
因此，又因为面面，
所以 面．
【变式6-3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，求五面体的体积.
【解题思路】（1）首先证明和，然后利用线面垂直的判定即可证明.
（2）首先证明平面，然后利用锥体的体积公式可得.
【解答过程】（1）连接EF，
在和中，，
所以，
所以，
又，，所以≌，
则为的中点，所以．
在中，，又为的中点，
所以，
因为平面，平面，，，，
平面
（2）取的中点，连结，与交于点，连结．
因为平面，平面，所以 ，
又，，，所以平面，
又平面，所以，
又所以平面．
因为，为等边三角形，
因为，所以
而，
在中，，
在等边中，BF是AC的中线，CM是AB的中线，
所以G是等边的重心，
所以
在中，，
则四边形的面积为．
故五面体的体积为．
【题型7 点、线、面的距离问题】
【例7】（2023上·天津北辰·高二统考期末）在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
【解题思路】根据题意，证得平面，得到，取的中点，证得平面，得到，得出即为点到直线的距离，在直角中，即可求解.
【解答过程】因为平面，平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
取的中点，因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，所以即为点到直线的距离，
在等腰直角中，由，可得，
在直角中，由，可得，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
【变式7-1】（2023上·全国·高二期末）如图，在直三棱柱中，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用直三棱柱性质和等体积法根据，即可求得点到平面的距离为.
【解答过程】由直三棱柱性质可得，
又，且平面，所以平面，
又，所以平面；
同理可得平面，平面，所以；
可得，
易知三棱锥的体积；
设点到平面的距离为，
则由，解得.
故选：C.
【变式7-2】（2023下·高二课时练习）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，可得，结合题干条件在中求解可得，由可得直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离，
作可证明为点与平面BCF之间的距离，求解即可.
【解答过程】
取为中点，连接不妨令相交于，
由于点E为的中点，故，
即四边形为平行四边形，故，故与BF所成角的大小与与所成角的大小相等，即，
不妨设，故，
由平面，平面，故，点为中点，
故，又，故为等边三角形，即，
解得，即，
连接，作于，
由于，平面BCF，平面BCF，故 平面BCF，
则直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离，
由平面，平面，故，又平面BCF，
故平面BCF，即为点与平面BCF之间的距离，
，
故，即直线与平面BCF之间的距离为.
故选：C.
【变式7-3】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【解题思路】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案.
【解答过程】分别取的中点，连接，

根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；
根据题意可知，
而平面，
故平面，又平面，
故平面平面，则平面平面，
作，垂足为S，平面平面，
平面，故平面，
则梯形的高即为平面与平面之间的距离；
，
故，
即平面与平面之间的距离为，
故选：B.
【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】
【例8】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【解题思路】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论；
（2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论.
【解答过程】（1）连接交于点，连接，
四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
四边形为正方形，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
【变式8-1】（2023上·上海·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形为正方形，.
(1)求证： 平面；
(2)若，平面平面.若为中点，求证：.
【解题思路】（1）由题意可得 ，根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）由及面面垂直的性质可得平面，，结合即可证明.
【解答过程】（1）因为四边形为正方形，所以 ，
又平面，平面，
所以 平面.
（2）若，则为等边三角形，如图，
因为为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面.
又平面，所以.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
【变式8-2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值．
【解题思路】（1）通过证明，，即可证明平面；
（2）通过构造面面平行，从而推出线线平行，再利用三角形相似求解.
【解答过程】（1）证明：因为平面，平面，所以①，
又为等腰三角形，且D为PB中点，所以②，
又平面PBC，平面PBC，，结合①②，
故平面，即得证.
（2）取BE中点为M，连接，作图如下：
在中，因为分别为中点，所以，
又PE平面PEF，DM平面PEF，所以平面，
由已知得：平面，且，平面，平面，
所以平面平面；又平面平面，平面平面，
所以，则，；
因为，所以.
【变式8-3】（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求证：⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．
【解题思路】（1）作辅助线，由中位线性质得到四边形为平行四边形，得到线线平行，得到线面平行；
（2）由勾股定理逆定理得到线线垂直，结合为等腰直角三角形得到线面垂直；
（3）再（2）的基础上，结合为的中点，利用求出答案.
【解答过程】（1）证明：取中点F，连，
因为E为的中点，
所以且，
又，，
所以且，
故四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；

（2）证明：由题意：，．
∵，
∴⊥，
又平面⊥平面，平面平面 ，平面，
∴⊥平面，
∵平面，
∴PD⊥AB，
∵为等腰直角三角形，
∴⊥，
∵，平面，
∴⊥平面；
（3）∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵⊥平面，平面，
∴⊥，
又，故，
由（2）得，⊥平面，又为的中点，
所以.

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