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专题10.1 随机事件与概率【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 事件的分类】 3
【题型2 事件与样本空间】 4
【题型3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 5
【题型4 其他问题中的概率解释】 7
【题型5 事件的关系和运算】 8
【题型6 古典概型的判断及其概率的求解】 11
【题型7 概率的基本性质及其应用】 13
【题型8 游戏的公平性问题】 15
【题型9 古典概型与其他知识的综合】 17
【知识点1 有限样本空间与事件】
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，
则称样本空间={，，，}为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生
并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或
交事件 （积事件） A与B同时发生 或
互斥 （互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
必然事件 全集
不可能事件 空集
试验的可能结果 中的元素
事件 的子集
的对立事件 的补集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集
或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集
，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集
【题型1 事件的分类】
【例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】
根据随机事件的知识确定正确答案.
【解答过程】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，
④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C.
【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（ ）．
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【解题思路】
根据必然事件的定义判断．
【解答过程】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生．
故选：D．
【变式1-2】（23-24高一·全国·课后作业）给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时可使”是不可能事件；③“明年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡（有10个次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】观察事件是可能发生还是不可能发生，是必然发生还是不可能发生进行判断．
【解答过程】“明年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确.
故选B.
【变式1-3】（22-23高二下·河南信阳·期末）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ）
A．事件“都是红色球”是随机事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一个白色球”是必然事件
D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
【解题思路】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．
【解答过程】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.
故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；
事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；
事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；
事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．
故选：C.
【题型2 事件与样本空间】
【例2】（22-23高一下·北京通州·期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解题思路】利用基本事件的定义，列举即可．
【解答过程】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，
则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
故选：C.
【变式2-1】（23-24高一·全国·课时练习）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
【解题思路】根据样本空间的概念即可求解.
【解答过程】连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数.
故选：D.
【变式2-2】（23-24高一·全国·课时练习）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据样本空间及样本点的定义即可求解.
【解答过程】由题意可知，事件,共个样本点.
故选：C.
【变式2-3】（23-24高一下·全国·课时练习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有6个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
【解题思路】连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点；事件A={6,7,8,9,10}，由此判断选项。
【解答过程】解析：样本空间中有11个样本点，故A错；事件A中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错.
故选：C.
【题型3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】
【例3】（23-24高一下·全国·课后作业）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【解题思路】根据概率的意义,可判断各选项.
【解答过程】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
【变式3-1】（2024·河南·二模）三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ）
A．动力学方程的知识 B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识 D．迷信求助于神灵
【解题思路】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识.
【解答过程】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，
属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识.
并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识.
故选：B.
【变式3-2】（22-23高二上·湖北宜昌·期中）某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（ ）
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
【解题思路】
根据随机事件概率的定义逐个分析判断即可.
【解答过程】购买这种彩票100000张，相当于做100000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，
所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，
对于ABD，购买这种彩票100000张，可能没有一张中奖，所以AD错误，B正确
对于C，购买这种彩票1张，有可能中奖，所以C错误，
故选：B.
【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有30%的地区降水
B．本市明天将有30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
【解题思路】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%,
逐一分析每个选项，得出答案.
【解答过程】气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，表示本市明天降水的可能性为30%,
故A、B、D均不正确，
故选C.
【题型4 其他问题中的概率解释】
【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
【解题思路】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性.
【解答过程】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.
故选：C.
【变式4-1】（23-24高二·全国·假期作业）已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件
C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件
【解题思路】根据概率的定义与性质，直接可求解.
【解答过程】某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，
在A中，合格产品可能不少于90件，故A错误；
在B中，合格产品可能不多于90件，故B错误；
在C中，合格产品可能不是90件，故C错误；
在D中，合格产品可能是90件，故D正确．
故选D．
【变式4-2】（23-24高一·全国·课时练习）根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（ ）
A．600 B．787 C．不少于473 D．不多于473
【解题思路】根据近视率估计有多少人得了近视即可得解；
【解答过程】解：依题意，该市在校中学生的近视率约为78.7%.
故600人中大约有
故眼镜商应带滴眼液的瓶数应不少于473瓶
故选：C.
【变式4-3】（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
【解题思路】根据事件的频率的概念和事件概率的含义判断正误即可．
【解答过程】
A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；
B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；
C.解释同A选项，也不正确；
D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是D选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确．
故选：B.
【题型5 事件的关系和运算】
【例5】（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（ ）
A．和有可能同时发生 B．和是对立事件
C．和是对立事件 D．和是互斥事件
【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解.
【解答过程】依题意，事件，
对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确；
对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确；
对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误；
对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.
故选：C.
【变式5-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（ ）
A．事件与不互斥 B．
C．与互斥 D．
【解题思路】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可.
【解答过程】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误；
对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以；
又，所以，故B正确；
对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误；
对D：只有，对立时，才有，故D错误.
故选：B.
【变式5-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件
【解题思路】根据互斥事件和对立事件的定义判断.
【解答过程】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
【变式5-3】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．与互斥 B．，
C． D．，为对立事件
【解题思路】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C.
【解答过程】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；
中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；
发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；
与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；
故选：D．
【知识点2 古典概型与概率的基本性质】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
4．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
【题型6 古典概型的判断及其概率的求解】
【例6】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）一个箱子中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先判断这是古典概型，因所求事件正面情况多，故考虑先求其对立事件概率，再运用对立事件概率公式即可求得.
【解答过程】因是随机取球，每个球被取到的可能性相同，故这是古典概型. 从中随机取出三个球的方法总数为种，
而“取出的三个球中至少有一个红球”的对立事件是“取出的三个球中全是白球”，其取法有种，
故“取出的三个球中至少有一个红球”的概率为.
故选：A.
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用古典概型可以得到所求概率.
【解答过程】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为，
则两人选择比赛项目的情况有，共6种，
其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，共2种，
故所求概率．
故选：D．
【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】列举出从6类场景中选2类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【解答过程】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，C，D，E，F，
从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有
，，，，，，，，，
，，，，，，共15种，
设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”，
则事件M包含的基本事件有，，，，，
，，，，共9种，
故所求概率，
故选：C．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意一个数字相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7这6个数字轮流出现．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1个，这个两位数大于72的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】用列举法即可求解古典概型概率问题.
【解答过程】从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个，
所有不同的情况为：，，，，，，，，，
，，，，，，共15种，
则组成无重复数字的两位数的个数为．
若选取的两位数大于72，
则十位数字只能是7或8，
符合要求的所有的两位数为74，75，78，81，82，84，85，87，共8个，
故所求概率．
故选：C.
【题型7 概率的基本性质及其应用】
【例7】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案.
【解答过程】
∵，，
∴，
∵事件A，B是互斥事件，
∴ ．
故选：C.
【变式7-1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【解题思路】
利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得.
【解答过程】由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得，
又和对立，可得，解得.
故选：B.
【变式7-2】（22-23高一下·湖南怀化·期末）已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解.
【解答过程】因为事件与事件互斥，所以，
所以.
故选：B.
【变式7-3】（22-23高一下·安徽·开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【解题思路】
根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知，从而判断②；根据概率的性质可判断③④．
【解答过程】
事件为两个互斥事件，，，故①正确；
事件为两个互斥事件，则，，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
【题型8 游戏的公平性问题】
【例8】（23-24高一·全国·课时练习）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【解题思路】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.
【解答过程】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.
【变式8-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【解题思路】（1）根据定义一一列举出即可；
（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.
【解答过程】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
，
又A与B对立，所以，
所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
【变式8-2】（23-24高一下·全国·课时练习）用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
【解题思路】分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.
【解答过程】解：这个游发是公平的，
理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
所以甲、乙获胜的概率都是.
【变式8-3】（23-24高一·全国·课时练习）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【解题思路】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.
【解答过程】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.
因此，这个游戏不公平.
【题型9 古典概型与其他知识的综合】
【例9】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式计算可得；
（2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【解答过程】（1）由题意得，
解得.
估计被抽取的名少年儿童问卷调查结果的平均数为
.
（2）依题意可得在内抽取的人数为（人），
设所抽取的人为，
在内抽取的人数为（人），设所抽取的人为，
则从中随机抽取2名少年儿童有
共15种情况，
其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的有共7种情况.
故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两射击队（每队有7名队员）进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：
甲队：．
乙队：．
(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为，乙队选出的队员记为，若，求队员的得分不少于队员的得分的概率．
(2)是否存在使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）列出表格可得所有基本事件，利用古典概型可得解；
（2）根据两组数据的特点及方差的定义可得解.
【解答过程】（1）记中的表示队员的得分，表示队员的得分，
随机选出的队员和队员的得分的所有可能情况如表：
17 15 16 12 14 13 20
14
13
10
15
12
16
11
则共有49个基本事件．
记“队员的得分不少于队员的得分”为事件，则事件包含的基本事件有：
，
，共15个，
故．
（2）存在或，
甲队队员得分的7个数为10至16的连续正整数，乙队队员的得分为12至17的连续正整数和，
所以当或18时，两组数据的离散程度相同，即方差相等.
【变式9-2】（23-24高一上·河南南阳·期末）某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.
(1)求三个社团分别抽取了多少同学；
(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率.
【解题思路】（1）设抽样比为，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，，由题意列出方程求出，即可得出答案；
（2）由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G．利用列举法，古典概型公式能求出概率．
【解答过程】（1）设抽样比为，则由分层随机抽样可知，街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，.
由题意得，解得.
故街舞、围棋、武术三个社团抽取的人数分别为，，.
（2）由（1）知，从围棋社团抽取的同学有7人，其中2名女生记为A，B，5名男生记为C，D，E，F，G.
从中随机选出2人担任该社团活动监督职务，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种不同的结果，
至少有1名女同学担任监督职务，有，，，，，，，，，，，共11种不同的结果，
所以至少有1名女同学担任监督职务的概率为.
【变式9-3】（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史 物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
(1)求和乙样本直方图中的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
【解题思路】（1）根据频率定义即可求出，再根据小矩形面积和为1即可求出值；
（2）根据平均数和中位数定义计算即可；
（3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可.
【解答过程】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
，
解得，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.专题10.1 随机事件与概率【九大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 事件的分类】 3
【题型2 事件与样本空间】 4
【题型3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 4
【题型4 其他问题中的概率解释】 5
【题型5 事件的关系和运算】 5
【题型6 古典概型的判断及其概率的求解】 7
【题型7 概率的基本性质及其应用】 8
【题型8 游戏的公平性问题】 8
【题型9 古典概型与其他知识的综合】 10
【知识点1 有限样本空间与事件】
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，
则称样本空间={，，，}为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生
并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或
交事件 （积事件） A与B同时发生 或
互斥 （互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
必然事件 全集
不可能事件 空集
试验的可能结果 中的元素
事件 的子集
的对立事件 的补集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集
或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集
，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集
【题型1 事件的分类】
【例1】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（ ）．
A．3件都是正品 B．至少有1件是次品
C．3件都是次品 D．至少有1件是正品
【变式1-2】（23-24高一·全国·课后作业）给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时可使”是不可能事件；③“明年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡（有10个次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-3】（22-23高二下·河南信阳·期末）已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（ ）
A．事件“都是红色球”是随机事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一个白色球”是必然事件
D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
【题型2 事件与样本空间】
【例2】（22-23高一下·北京通州·期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式2-1】（23-24高一·全国·课时练习）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现5点停止，观察掷的次数”的样本空间是（ ）
A．5 B．1到6的正整数 C．6 D．一切正整数
【变式2-2】（23-24高一·全国·课时练习）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-3】（23-24高一下·全国·课时练习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有6个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
【题型3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】
【例3】（23-24高一下·全国·课后作业）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【变式3-1】（2024·河南·二模）三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ）
A．动力学方程的知识 B．概率与统计的知识
C．气象预报模型的知识 D．迷信求助于神灵
【变式3-2】（22-23高二上·湖北宜昌·期中）某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（ ）
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）气象台预报“本市明天降水的概率是30%”，对于这句话的理解，下列说法正确的是（ ）
A．本市明天将有30%的地区降水
B．本市明天将有30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
【题型4 其他问题中的概率解释】
【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
【变式4-1】（23-24高二·全国·假期作业）已知某厂生产的某批产品的合格率为，现从该批次产品中抽出100件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于90件 B．合格产品多于90件
C．合格产品正好是90件 D．合格产品可能是90件
【变式4-2】（23-24高一·全国·课时练习）根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的瓶数为（ ）
A．600 B．787 C．不少于473 D．不多于473
【变式4-3】（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．某厂一批产品的次品率为 ，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨
【题型5 事件的关系和运算】
【例5】（23-24高二上·上海长宁·期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（ ）
A．和有可能同时发生 B．和是对立事件
C．和是对立事件 D．和是互斥事件
【变式5-1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（ ）
A．事件与不互斥 B．
C．与互斥 D．
【变式5-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件
【变式5-3】（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．与互斥 B．，
C． D．，为对立事件
【知识点2 古典概型与概率的基本性质】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
4．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
【题型6 古典概型的判断及其概率的求解】
【例6】（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）一个箱子中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意一个数字相乘，乘积中仍然是1，4，2，8，5，7这6个数字轮流出现．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选2个数字组成无重复数字的两位数，从这些两位数中随机选取1个，这个两位数大于72的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 概率的基本性质及其应用】
【例7】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【变式7-2】（22-23高一下·湖南怀化·期末）已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（22-23高一下·安徽·开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【题型8 游戏的公平性问题】
【例8】（23-24高一·全国·课时练习）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【变式8-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【变式8-2】（23-24高一下·全国·课时练习）用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
【变式8-3】（23-24高一·全国·课时练习）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【题型9 古典概型与其他知识的综合】
【例9】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率．
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两射击队（每队有7名队员）进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：
甲队：．
乙队：．
(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为，乙队选出的队员记为，若，求队员的得分不少于队员的得分的概率．
(2)是否存在使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（23-24高一上·河南南阳·期末）某学校开设了街舞、围棋、武术三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团 街舞 围棋 武术
人数 48 42 30
为调查社团活动开展情况，学校社团管理部采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本，已知从围棋社团抽取的同学比从街舞社团抽取的同学少1人.
(1)求三个社团分别抽取了多少同学；
(2)已知从围棋社团抽取的同学中有2名女生，若从围棋社团被抽取的同学中随机选出2人担任该社团活动监督的职务，求至少有1名女同学担任监督职务的概率.
【变式9-3】（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史 物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
(1)求和乙样本直方图中的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.

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