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专题10.2 事件的相互独立性【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 独立事件的判断】 2
【题型2 相互独立事件的概率】 3
【题型3 相互独立事件与互斥事件】 3
【题型4 独立事件的实际应用】 4
【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 5
【题型6 独立事件与其他知识综合】 7
【知识点1 事件的相互独立性】
1．事件的相互独立性
(1)定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质
若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)应用
因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它
们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
(4)推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P().
2．互斥事件与相互独立事件的辨析
(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=.
概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）
A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB)
A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P()
A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B)
A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B)
3．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【题型1 独立事件的判断】
【例1】（22-23高一下·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ）
A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立
C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立
【变式1-1】（2024·海南省直辖县级单位·一模）若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高三上·湖北十堰·期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【变式1-3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ）
A．与相互独立 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【题型2 相互独立事件的概率】
【例2】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·重庆·开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件互斥 B．
C．事件A与事件D对立 D．
【变式2-3】（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 相互独立事件与互斥事件】
【例3】（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（ ）
A．与互斥不对立 B．与对立
C．与相互独立 D．与既互斥又独立
【变式3-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与B互斥 B． C．与相互独立 D．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【题型4 独立事件的实际应用】
【例4】（2024·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.
(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；
(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.
【变式4-1】（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
(1)求丙投篮命中的概率；
(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；
(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.
【变式4-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.
【变式4-3】（2023·西藏拉萨·一模）某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】
【例5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮.
(1)求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；
(2)求甲同学比赛获胜的概率．
【变式5-1】（22-23高一下·福建厦门·期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【变式5-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲－乙 丙－丁
第二轮 甲－丙 乙－丁
第三轮 甲－丁 乙－丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
【题型6 独立事件与其他知识综合】
【例6】（23-24高一下·江西·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；
(3)以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在内的概率．
【变式6-1】（23-24高一上·辽宁·期末）辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．
【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg”，试估计A的概率；
(2)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
【变式6-3】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
行政区 门类 个数
东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3
C：古建筑及历史纪念建筑物 5
西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1
海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
E：古遗址 1
昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
F：古墓葬 1
(1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：
(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小（直接写出结论）.专题10.2 事件的相互独立性【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 独立事件的判断】 2
【题型2 相互独立事件的概率】 5
【题型3 相互独立事件与互斥事件】 7
【题型4 独立事件的实际应用】 8
【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 12
【题型6 独立事件与其他知识综合】 16
【知识点1 事件的相互独立性】
1．事件的相互独立性
(1)定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质
若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)应用
因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它
们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
(4)推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P().
2．互斥事件与相互独立事件的辨析
(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=.
概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）
A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB)
A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P()
A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B)
A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B)
3．求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【题型1 独立事件的判断】
【例1】（22-23高一下·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（ ）
A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立
C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立
【解题思路】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可.
【解答过程】有放回摸出两张卡片的样本空间：
，共25个结果，
事件，共10个结果，，
事件，共5个结果，，
事件，共3个结果，，
事件，共5个结果，，
对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误；
对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确；
对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误；
，，，事件Q与R不相互独立，D错误.
故选：B.
【变式1-1】（2024·海南省直辖县级单位·一模）若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据与是否相等判断事件是否独立，得到答案.
【解答过程】由题意得，
A选项，，，故，
所以，故事件相互独立，A正确；
B选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，B错误；
C选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，C错误；
D选项，，，故，
所以，故事件不相互独立，D错误；
故选：A.
【变式1-2】（23-24高三上·湖北十堰·期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【解题思路】
根据相互独立事件的定义进行计算，从而确定正确答案.
【解答过程】
由题意知，，
，
，
因为，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误．
故选：B.
【变式1-3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ）
A．与相互独立 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【解题思路】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．
【解答过程】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个；
其中事件“ ”包含的样本点有：
，，，，，共个；
事件 “ ”，包含的样本点有：
， ， ， ，，，，，共个，
事件 “”，包含的样本点有：，，，，，，
，，，，，，
，，，，，共个，
所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误；
因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则，
又 ， ，所以，
所以与不相互独立，故A错误；
又事件包含的样本点有： ，，共个，
所以 ， ，则 ，
所以 与 相互独立，故C正确；
事件包含的样本点有：， ， ，，，共个，
因为，所以 与 不相互独立，故D 错误．
故选：C.
【题型2 相互独立事件的概率】
【例2】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可.
【解答过程】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是
则不获一等奖的概率分别是
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
这三人都获得一等奖的概率为
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率
故选:D.
【变式2-1】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式求得没有人解对的概率，再结合对立事件的概率公式，即可求解．
【解答过程】
由甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，
可得没有人解对的概率为，
故至少有人解对的概率是.
故选：D．
【变式2-2】（23-24高二下·重庆·开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件互斥 B．
C．事件A与事件D对立 D．
【解题思路】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD.
【解答过程】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
可知，相互独立，
于是：，
由此可得：可能同时发生，A错误；互为对立事件，C正确；
因为，所以，B错误；
因为，所以，D错误.
故选：C.
【变式2-3】（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立. 设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据独立事件的概率乘法公式即可分类求解.
【解答过程】设甲第局胜，，2，3，且，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：B．
【题型3 相互独立事件与互斥事件】
【例3】（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知事件，且，如果与互斥，那么；如果与相互独立，那么，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论.
【解答过程】如果事件与互斥，则，所以.
如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，
所以，
，即.
故选：C.
【变式3-1】（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知，，，则事件与的关系是（ ）
A．与互斥不对立 B．与对立
C．与相互独立 D．与既互斥又独立
【解题思路】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案
【解答过程】由可得，
因为，则与不互斥，不对立，
由可得，
因为，所以与相互独立
故选：C.
【变式3-2】（23-24高一上·吉林·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与B互斥 B． C．与相互独立 D．
【解题思路】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可.
【解答过程】对于A，，，与B不互斥，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误；
对于D，，，，故D正确.
故选：D.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【解题思路】利用互斥事件，独立事件的定义即得.
【解答过程】由题意得，，
所以.
所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.
故选：A.
【题型4 独立事件的实际应用】
【例4】（2024·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.
(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；
(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.
【解题思路】
（1）根据独立事件概率乘法公式分类讨论计算即可；
（2）根据甲回答A，B两类问题正确的概率相同，从，，这三种回答顺序考虑，根据独立事件的概率公式计算比较大小即可.
【解答过程】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，
甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，
∴所求概率为.
（2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
按顺序回答，取得复赛资格的概率为，
∵，
∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大.
【变式4-1】（23-24高一上·北京石景山·期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
(1)求丙投篮命中的概率；
(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；
(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.
【解题思路】
（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解；
（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.
【解答过程】（1）
设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件，
由题意可知，，，，
则，,
所以丙投篮命中的概率为；
（2）甲和乙命中，丙不中为事件，
则 ，
所以甲和乙命中，丙不中的概率为；
（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件，
则,
.
【变式4-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为.
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(2)依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.
【解题思路】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；
（2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证.
【解答过程】（1）重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：
(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，
因为信号的传输相互独立，
故“至少收到两次1”的概率为：.
（2）事件A与事件B不互相独立，证明如下：
若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为，
故至少收到一个正确信号的概率为；
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：
(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故，
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：
(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
故，
因为，所以事件A与事件B不互相独立.
【变式4-3】（2023·西藏拉萨·一模）某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【解题思路】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.
(2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
【解答过程】（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,
则,
故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.
（2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
①比分为2:1的概率为
.
②比分为2:2的概率为.
③比分为3:2的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
【题型5 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】
【例5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮.
(1)求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；
(2)求甲同学比赛获胜的概率．
【解题思路】（1）分甲全中，甲中了2次乙投1次未中，甲中了2次乙投次1次中，1次未中求解；
（2）分甲、乙比分3：0，甲、乙比分3：1，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜求解.
【解答过程】（1）解：用A表示甲投篮命中，表示甲投篮未命中，
用B表示乙投篮命中，表示乙投篮未命中，
记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，
则．
（2）①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是；
②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是：
；
③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是：
，
故甲获胜的概率是．
【变式5-1】（22-23高一下·福建厦门·期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【解题思路】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.
【解答过程】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更容易晋级复赛.
【变式5-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
(1)在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
(2)分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
【解题思路】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；
（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.
【解答过程】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，所以；
，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为 .
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲－乙 丙－丁
第二轮 甲－丙 乙－丁
第三轮 甲－丁 乙－丙
规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率.
【解题思路】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.
【解答过程】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则，
即丁同学的总分为5分的概率为.
（2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名.
① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概
率.
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率.
综上，甲同学能获得奖励的概率.
【题型6 独立事件与其他知识综合】
【例6】（23-24高一下·江西·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；
(3)以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有1个家庭的旅游支出在内的概率．
【解题思路】（1）利用频率分布直方图估计平均数.
（2）利用频率分布直方图求出第70百分位数.
（3）利用频率估计概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解即得.
【解答过程】（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值为：
（千元）.
（2）由频率分布直方图知，旅游支出在的频率为，
在的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数，
则，解得，
所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7.
（3）以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在内的概率为，
所以抽取2个家庭，恰有1个家庭的旅游支出在内的概率为.
【变式6-1】（23-24高一上·辽宁·期末）辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；
（2）根据古典概型的概率计算公式求解即可；
（3）根据独立事件的乘法公式求解即可.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知的频率为
，
所以组的纵轴为，
所以频率分布直方图如下所示：
又，，
所以第分位数位于，且，
所以入围分数应设为76.25分.
（2）依题意从抽取人，标记为1,2,3,4；
从抽取，标记为，；
从6人中随机选2人其样本空间可记为
，
共包含15个样本点，即有15种选法．
设事件A=“至少有1名学生成绩不低于90”，
则其中2人都是的样本空间可记为
，共包含6个样本点，即有6种选法．
则；
所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为.
（3）依题意甲能参加冬令营的概率，
乙能参加冬令营的概率，
二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg”，试估计A的概率；
(2)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
【解题思路】(1)利用相互独立事件的乘法公式，进行求解即可；
(2)根据箱产量的频率分布直方图，结合中位数的定义，进行计算即可.
【解答过程】
解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，事件B，C相互独立，由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66，因此，估计事件A的概率为0.62×0.66＝0.409 2.
（2）在新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34＜0.5，
箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68＞0.5，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg).
【变式6-3】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
行政区 门类 个数
东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3
C：古建筑及历史纪念建筑物 5
西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1
海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
E：古遗址 1
昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
F：古墓葬 1
(1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：
(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小（直接写出结论）.
【解题思路】（1）由题意知总样本数为，C:古建筑及历史纪念建筑物共有，利用古典概型概率公式从而求解.
（2）由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解.
（3）利用分类讨论求出抽到海淀区的概率和抽不到海淀区的概率，从而求解.
【解答过程】（1）设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件，
由题意知总共有个，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有，
所以.
（2）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，
所以.
（3）当抽到的2个都是海淀区的概率为，
当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为，
所以，，
所以.

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