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专题10.3 频率与概率【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 频率的计算】 2
【题型2 辨析概率与频率的关系】 3
【题型3 天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释】 5
【题型4 游戏的公平性问题】 7
【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 9
【题型6 随机模拟问题】 13
【知识点1 频率的稳定性】
1．频率与概率
(1)频率与概率的区别
频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.
概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变.
举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数，
(2)频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
(3)频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的
概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
【题型1 频率的计算】
【例1】（2023高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47
【分析】
运用频率定义计算即可.
【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为.
故选：B.
【变式1-1】（22-23高二上·湖北武汉·期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.55
【分析】
根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，
那么出现正面朝上的频率为 ,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,
故出现正面朝上的概率为 ,
故选：B．
【变式1-2】（23-24高一上·全国·课时练习）某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
频数 20 30 80 40 30
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　）
A．0.80 B．0.65
C．0.40 D．0.25
【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率.
故选：C.
【变式1-3】（23-24高三上·河南·阶段练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
第一场 第二场 第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】该同学3场投篮的命中率为，
故选：B．
【题型2 辨析概率与频率的关系】
【例2】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】
根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可.
【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确；
对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确；
对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误；
对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误；
故选：C.
【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【分析】对于A，举例判断，对于B，由频率的性质判断，对于CD，根据频率与概率的关系判断.
【详解】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；
概率是频率的稳定值，故C正确，D错．
故选：C．
【变式2-2】（23-24高二上·贵州黔南·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可.
【详解】对于A，次品率是大量产品的估计值，并不是必有10件是次品，故A错误；
对于B，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故B错误；
对于C，频率与概率不是同一个概念，故C错误；
对于D，利用频率计算公式求得频率，故D正确.
故选：D.
【变式2-3】（22-23高二下·宁夏·期中）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
【分析】结合概率和频率的定义、概率的计算公式依次判断选项即可.
【详解】A：概率是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.
虽然甲获胜的概率为，但是比赛5场，甲获胜3场的说法不符合定义，故A错误；
B：前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈，这种说法不符合概念的定义，故B错误；
C：频率和概率是两个不同概念，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D.
【题型3 天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释】
【例3】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（　　）
A．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
C．明天本地下雨的机会是80%
D．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报
【分析】根据概率的意义即可得出结论．
【详解】根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．
故选C．
【变式3-1】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确，
对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误，
对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误，
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误，
故选：A.
【变式3-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买张彩票就一定能中奖 B．买张彩票中一次奖
C．买张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性是
【分析】根据概率的意义可得出结论.
【详解】由概率的意义可知，“某彩票的中奖概率为”意味着“购买彩票中奖的可能性是”.
故选：D.
【变式3-3】（23-24高二·全国·课时练习）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（ ）
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；
D．以上说法都不对．
【分析】根据概率的定义判断即可；
【详解】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是，故C正确；
如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为人，不一定必有人被治愈，故A错误；
如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为，也可能不被治愈，故B错误；
故选：C.
【题型4 游戏的公平性问题】
【例4】（22-23高一·全国·随堂练习）某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
【分析】
利用随机抽样的定义及性质分析可得抽签方法公平即可求解.
【详解】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为，即.
理由如下：
小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽中门票的总概率是相同的，只考虑第个人摸卡片的情况，50张卡片中的每张卡片有可能被第50个人摸到，且可能性相等，其中有5张情形写有“庆典”，因此第50个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为，即，与摸卡片的人的摸卡片顺序无关.
【变式4-1】（22-23高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平
【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则，
这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，
则，．这个游戏不公平．
【变式4-2】（23-24高一·全国·课时练习）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.
【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.
因此，这个游戏不公平.
【变式4-3】（23-24高一·全国·课时练习）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【分析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.
【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.
【题型5 频率估计概率在统计中的应用】
【例5】（23-24高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率.
【分析】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解.
【详解】（1）根据分层抽样的方法，
所以男生样本数据个数为；
（2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：，
所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率.
【变式5-1】（22-23高二下·湖北恩施·期末）从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)求该组数据的众数和平均数；
(3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以下的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为，求出；
（2）由频率分布直方图中众数和平均数的概念求解；
（3）结合频率分布直方图确定在、、区间内的频率，进而求得概率．
【详解】（1）由题意知：，
解得.
（2）由频率分布直方图知，身高区间、、、、、的频率分别为、、、、、，
故众数为，
学生身高的平均数为
（3）由频率分布直方图知，身高在、、区间内的频率分别为，
则估计身高在以下的概率为
【变式5-2】（22-23高一下·河北唐山·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；
(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数.
【分析】（1）根据频率之和为1可求得，从而可求得该公司员工的样本数据的众数为22 ；设设该公司员工的样本数据的中位数为，
则，求解即可；
（2）根据题意可求得该公司员工数值正常的概率为，进而可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知组距为4，
所以，解得.
该公司员工的样本数据的众数为22 .
设该公司员工的样本数据的中位数为，
则，解得.
故该公司员工的样本数据的中位数约为.
（2）因为成年人的数值为正常，
所以该公司员工数值正常的概率为
，
所以该公司员工数值正常的人数为.
【变式5-3】（22-23高二上·北京平谷·期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到频率分布直方图如图所示．
(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
(3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；
(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计值；
（2）先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在集合题意即可得出总体中分数在区间内的人数；
（3）总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的75%分位数先得出从前到后的频率之和为0.75时在那个区间，在通过频率求出；
（4）先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中的男女生比例，即可得出总体中男女生的比例估计.
【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：，
则分数小于60的频率为：，
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为；
（2）由频率分布直方图可得分数不小于50的频率为：，
则分数在区间内的人数为：人，
则总体中分数在区间内的人数为：人；
（3）由频率分布直方图可得分数在区间的频率最高，
则随机抽取的100名学生分数的众数估计为，
由频率分布直方图可得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，
则测评成绩的75%分位数落在区间上，
则测评成绩的75%分位数为；
（4）由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数为人，
因为样本中分数不小于70的男女生人数相等
所以样本中分数不小于70的男生人数为人，
又因为样本中有一半男生的分数不小于70，
所以样本中的男生共有人，
则样本中的女生共有人，
所以总体中男生和女生人数的比例估计为.
【知识点2 随机模拟】
1．随机数的产生
(1) 随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
(2)产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一
个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数
的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
(3)用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，
因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每
次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
③随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域
中去.
④随机模拟法的步骤
建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
【题型6 随机模拟问题】
【例6】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
【分析】
查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B.
【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：
据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，
代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，
因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.
故选：A.
【变式6-2】（23-24高一上·山西太原·期末）经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共8组，据此可求出对应的概率．
【详解】由题意，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8组，则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为.
故选A.
【变式6-3】（22-23高一下·福建宁德·期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为
故选：D.专题10.3 频率与概率【六大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 频率的计算】 2
【题型2 辨析概率与频率的关系】 3
【题型3 天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释】 4
【题型4 游戏的公平性问题】 4
【题型5 频率估计概率在统计中的应用】 6
【题型6 随机模拟问题】 9
【知识点1 频率的稳定性】
1．频率与概率
(1)频率与概率的区别
频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.
概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变.
举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数，
(2)频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
(3)频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的
概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
【题型1 频率的计算】
【例1】（2023高二上·新疆·学业考试）从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47
【变式1-1】（22-23高二上·湖北武汉·期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55 B．0.55，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.55
【变式1-2】（23-24高一上·全国·课时练习）某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
频数 20 30 80 40 30
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　）
A．0.80 B．0.65
C．0.40 D．0.25
【变式1-3】（23-24高三上·河南·阶段练习）某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
第一场 第二场 第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 辨析概率与频率的关系】
【例2】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【变式2-2】（23-24高二上·贵州黔南·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件是次品
B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面，因此出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是
【变式2-3】（22-23高二下·宁夏·期中）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
【题型3 天气预报、抽奖、彩票与其他问题中的概率解释】
【例3】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（　　）
A．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
C．明天本地下雨的机会是80%
D．气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报
【变式3-1】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水
【变式3-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买张彩票就一定能中奖 B．买张彩票中一次奖
C．买张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性是
【变式3-3】（23-24高二·全国·课时练习）已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是（ ）
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈；
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%；
D．以上说法都不对．
【题型4 游戏的公平性问题】
【例4】（22-23高一·全国·随堂练习）某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？
【变式4-1】（22-23高一下·江西吉安·期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
【变式4-2】（23-24高一·全国·课时练习）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【变式4-3】（23-24高一·全国·课时练习）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球
获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【题型5 频率估计概率在统计中的应用】
【例5】（23-24高二上·贵州遵义·期末）我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）.
(1)应收集多少个男生样本数据
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率.
【变式5-1】（22-23高二下·湖北恩施·期末）从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)求该组数据的众数和平均数；
(3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以下的概率．
【变式5-2】（22-23高一下·河北唐山·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；
(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数.
【变式5-3】（22-23高二上·北京平谷·期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到频率分布直方图如图所示．
(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
(3)估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的75%分位数；
(4)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【知识点2 随机模拟】
1．随机数的产生
(1) 随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
(2)产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一
个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数
的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
(3)用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，
因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每
次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
③随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域
中去.
④随机模拟法的步骤
建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
【题型6 随机模拟问题】
【例6】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：
据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24高一上·山西太原·期末）经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2 没有击中，用3，4，5，6，7，8，9 表示击中，以 4个随机数为一组， 代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（22-23高一下·福建宁德·期末）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75

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