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MACROBUTTON MTEditEquationSection2 公式章 1 节 1NT20河北名校高一年级大比拼考试
数学
考试说明：1．本试卷共150分。考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
C．若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线
D．若直线a，b和平面满足，；则
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960～1127年），为原妙觉寺附属建筑．曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙．2019年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位．如图，我校高一某学生进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在C点测得舍利塔在北偏东75°的点B处，塔顶A的仰角为45°，在D点测得舍利塔在北偏西60°，通过计算得塔高AB为38m，则两个测量基点之间的距离CD（单位：m）为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，M是外接圆圆O外一点，，则的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
8．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（ ）
A． B．的面积为
C．边上的高为 D．边上的高为
10．如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2．
11．如图，圆台，在轴截面中，，H，F为圆上定点，且，M为AD中点，C，H，F，M四点共面．则（ ）
A．该圆台高为
B．该圆台体积为
C．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到M点，所经过的最短路径为5
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为________．
13．若复数，满足，，则的最小值为________．
14．在中，E在线段BC上，AE为的平分线且，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知非零向量和不共线．
（1）如果，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若向量与平行，求实数k的值．
16．（本题满分15分）
在复平面内复数，，其所对应的点为，，O为坐标原点，i是虚数单位．
（1）求与；
（2）当为何值时，关于x的二次方程有一个实根．
17．（本题满分15分）
如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点．
（1）证明：面面；
（2）证明：面．
18．（本题满分17分）
已知中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c；
（1）若满足，求证：．
（2）若在中，；
①BC边上的中线，求的面积的最大值．
②如图所示为等边三角形，，求当c为多少时，DE取得最大值．
19．（本题满分17分）
1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和最小．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点．试用以上知识解决下面问题：
（1）在中，若，，；
①求的面积；
②点P为的费马点，求；
（2）在中，若，点Q为的费马点，，求实数t的最小值．
NT20河北名校高一年级大比拼考试
数学参考答案
1．C【解析】由题意知，，其共轭复数为，所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．故选：C．
2．A【解析】因为，
由已知可得，，所以，
所以．故选：A．
3．B【解析】，得，
所以向量在上的投影向量为．故选：B．
4．C【解析】选项A中缺少l在平面外这一条件，A错误；
选项B，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c异面、平行、相交都有可能，B错误；
选项C，若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线，故C正确；
选项D，缺少b不在平面内，D错误．故选：C．
5．D【解析】化简得：，
，
根据正弦定理整理可得，即，
等腰三角形或直角三角形．故选：D．
6．B【解析】因为，，所以，
在中由正弦定理可知，所以，
在中，所以，
所以．故选：B．
7．C【解析】连接AB，如下图所示：
因为，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，
所以，
所以
．
当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为10．故选：C．
8．А【解析】，，，，
O为的内心，，，
．故选：A．
9．ABC【解析】在轴上取，即，所以A正确；
在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取，
过点作轴，并使，如图②所示：
于点D，则为原图形中边上的高，且，，，所以C正确；
在直观图中作于点，，
，所以D错误；
，所以B正确．故选：ABC．
10．BCD【解析】设，将，代入，
得，因为E、G、C三点共线，且B、G、D三点共线，
所以，得，
即．所以A错，B，C正确；
，，，
则，因为M、G、N三点共线，
则，即，，
当且仅当，即时取得等号．所以D正确．故选：BCD．
11．ACD【解析】如图1，作交于点E，易得，
则，
则圆台的高为，故A正确；
圆台的体积为，故B错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4，底面半径为2，侧面展开图的圆心角，
M为AD的中点，连接CM，如图2，可得，，，
则，从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5，C正确；延长CM，BA交K点，连接HK，则F点在HK上，如图5，过作HK垂线，垂足为N，延长，过K作KQ垂直于，垂足为Q，如图4，为中点，是与交点，，与相似，，，∴，
由垂径定理知N为FH的中点，如图5，与相似，且都是等腰直角三角形，易知故D正确；
故选：ACD．
12．【解析】设圆锥高，而母线，在中，则，设圆锥外接球的半径为R，显然外接球的球心为O在高AC上，球心O到截面小圆圆心C的距离，由，得，因此，解得，所以AC长为．
13．6【解析】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆．
由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴．为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6．
14．24【解析】则的面积为，
则，所以，显然，
故，
当且仅当，即时取等号．
15．【解析】（1）证明：因为，又， 3分
故，又与有公共点B， 5分
所以A，B，D三点共线． 6分
（2）因为与共线，即， 9分
因为与是不共线的两个非零向量，
所以，故综上，k的值为． 13分
16．【解析】（1）根据，可得，； 3分
且，，所以． 6分
（2）设是方程的一个实根，则． 8分
根据复数相等的意义知 12分
解得：，，．
所以，当时，原方程有一实根． 15分
17．【解析】（1）连接，，则F，E分别为，的中点，
则，又面，面，
所以面， 3分
同理面
，
，面
所以面面 7分
（2）连接，，G，F分别是AD，AC的中点，
，
所以，且
所以四边形为平行四边形． 10分
，面，面
所以面 15分
18．证明：（1）由已知得，
即
则，
．
得，由正弦定理得． 4分
（2）①由，可得， 6分
所以，可得，当且仅当时取等号， 8分
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为． 10分
②，，因为，所以，
因为，所以， 11分
设，则，
在中，由正弦定理得，所以，得，
在中，由正弦定理得，所以，
得， 12分
所以
， 15分
其中，所以当时，DE取得最大值，
所以，
所以，所以，
即，所以，
解得或（舍去），所以当时，DE取得最大值． 17分
19．（1）①在中，，，，由正弦定理
，
4分
②由（1）知，
的三个内角均小于，
则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；
所以
， 6分
所以，
所以
． 8分
（2）中，，因为点Q为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得； 12分
由余弦定理得中，，
，
，
故由得， 15分
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数t的最小值为． 17分

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