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四模考试数学答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C D B D A B
二、多选题
9 10 11
AC BCD AB
三、填空题
12.1 13. 23 14.3 3
25
四、解答题
A 215.（1） ;a 2bcosB , 由正弦定理 sin A 2sin B cosB sin 2B
3

3 2
2B (0, 2 ) 2B B
3 3 6
a b c
（2）由正弦定理：
sin A sin B sinC
sin A 3 1 sin B sinC ， a 3b 3c
2 ， 2
选② 周长为3 2 3 b c 3 a 3，设 AC边上中线 BD
ABD BD2 AB2 AD2 2 AB AD ( 1) BD 21 中
2 2
1
选③ S bc sin A 3 3 b2 3 b 3 c 3 a 3 下同②
2 4 4
16.（1）存在. 以DA,DC,DD1所在直线为 x轴， y轴， z轴建立坐标系，
B 1,1,0 ,C1(0,1,3), A1 1,0,3 ，设CM m,则M 0,1,m ，

DB AM 0 AM BD AM BC 0 CM m 8 1 ，所以 1 ，令 1 1 ，解得 ，3
所以存在点M 使得直线 A1M 平面BDC1 ;
{#{QQABZYAAgggIAJAAABhCUwUSCAAQkBGCCKoGxAAIIAAAyBNABAA=}#}

（2）平面 NB1D1的法向量 n 2， 2,1 ，平面NB1C 的法向量m -3， 2,1 ，

设二面角大小为 ，则 cos cos n,m 14 .
42
17. （1）抛物线 y2 4x的焦点为 F 1,0 ，
c 1
由题意可得 c 1， ， a 2，故
a 2 b a
2 c2 3，
x2 y2
因此，椭圆C的方程为 1 .
4 3
（2）设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，M x3 , y3 ， N x4 , y4 ，
x2 y2
1 2 2 2 2
联立 4 3 ，得 3 4k x 8k x 4k 12 0，
y k x 1
2 2
则 0, x x 8k x x 4k 121 2 2 ， 1 2 ，3 4k 3 4k 2
12 k 2 1
可得 AB 1 k 2 x1 x
2
2 4x1x2 ，3 4k 2
y2 4x 2 2 2 2
联立 ，得 k x 2k 4 x k 0，
y k x 1

2k 2 4
则 0, x3 x4 x xk 2 ， 3 4 1，
4 k 2 1
可得： MN x x 2 ，3 4 k 2
MN AB 4k 2 3 3 k 2 4 3 k 2 3
= ，
AB MN AB MN 12 k 2 1 12 k 2 1 12 k 2 1
MN AB
要使 为定值，则 4 3 3 ，即 3
AB MN ,
2+ 2+ + =10 2 2 ，故当 1 时 2+ 2+ + 1 ．
10 取最小值 10
{#{QQABZYAAgggIAJAAABhCUwUSCAAQkBGCCKoGxAAIIAAAyBNABAA=}#}
x 1 2 3 4 518. （1）因为 3
45 50 60 65 80
， y 60，
5 5
5 5
所以 xi x yi y 85， x x 2i 10 .
i 1 i 1
5 5 5
2
因为 yi y 750，所以 xi x 2 y 2i y 7500
i 1 i 1 i 1
5
xi x yi y
r i 1 85所以 0.985 5
2 2 86.6
，
xi x yi y
i 1 i 1
由此可以认为两者的相关性很强.
5 5
2
（2）由（1）知 xi x yi y 85， xi x 10，
i 1 i 1
5
xi x yi y
所以b i 1
85
5 8.5 .
x x 2 10i
i 1
因为 a y bx 60 8.5 3 34.5，所以回归方程为 y 8.5x 34.5 .
（3 记 ( ) = = 10 ） ( 5, ∈ )，
( +5)( +4)
∵ ( + 1) ( ) = 10( +1) 10 = 10(4 ) < 0，
+6)( +5) ( +5)( +4) ( +4)( +5)( +6)
∴ ( + 1) < ( ) (5) = 5，即 0 < 5．
9 9
∵ = 13 (1 )2 = 3 3 6 2 + 3 ， '( ) = 9 2 12 + 3 = 3(3 1)( 1)，
在 0, 1 上单调递增，在 1 , 5 上单调递减，
3 3 9
当 = 1∴ 时， 取得最大值．由 = 10 = 1，解得 = 20 或 = 1（舍去），
3 ( +5)( +4) 3
∴当 = 20 时，恰有一次中奖的概率 最大．
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19. 1 f (x) x2 ln x m 1 x2 2 1 2 2（ ） ln x m (x ln x 2m)
2 2
u x2 ,考虑函数 g(u) u lnu 2m ,
f (x)有两个零点 x1， x2 u x
2
1 1 , u x
2
2 2
则 g(u)有两个零点u1，u2 ,
g '(u) lnu 1 1 1, g(u)在 (0, ) ( , ) gmin (u) g(
1) 1 2m < 0
e e , e e

因为当u 0 时 g(u) 2m；当 x 时， g(u)
1
所以 2e ;
t x2（2） 1 x
2
2 u1 u2
1 u
由题不妨设 0欲证u1 u2 <1, 只须证u1 u1<1, 即u1(1 )<1
即 lnu1 ln(1 ) <0 ①
u1 lnu1 u2 lnu2 u1 ln u1
lnu1 (ln lnu ) lnu
ln
1 , 1 1
ln
证明①式只须证 ln(1 ) <0
1
ln ln( 1)
即证 > ②
1
ln 1
1
ln
构造 ( ) （ >1） '( ) <0
1 ( 1)2
( )在 (1, ) ( ) > ( 1)得证
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e 1
（3）先证u1 u2 > 0构造 F (u) g(u) g(2 1 u) 0e e
F '(u) g(u) g '(2 u) lnu(2 u) 2 0
e e
F (u) (0, 1 1 2 在 ) F (u1) F ( ) 0即 g(u1) g( u )e e e 1
g(u2 ) g(
2
u1) g(u) (
1
在 , ) 2 2 u
e e 2
u1 u1 u2 e e
由 0 0 x 1 ln x 2(x 1) ln eu 2(eu1 1)又 当 时 （ ）
x 1 1 eu1 1
1 lnu 2(eu1 1) 1 2m 2(eu1 1)即 1 即 eu1 1 , u1 eu1 1
2
整理得 eu1 2meu1 3u1 2m 0 ③
2(x 1)
同理当 x 1时 ln x
u 1
把 x代成 eu2 可得 eu
2
2 2meu2 3u2 2m 0 ④
由③-④ e(u 21 u
2
2 ) (2me 3)(u1 u2 )
u1 u2 , e(u1 u2 ) 2me 3
u u e 2 3即 1 2 2m 综上 t 2m 3 , e e .
{#{QQABZYAAgggIAJAAABhCUwUSCAAQkBGCCKoGxAAIIAAAyBNABAA=}#}哈尔滨市第六中学 2021 级高三下学期第四次模拟考试
数学试题
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 x．已知集合 A x | x 1 ,B x | e 1 ，则（ ）
A． A B {x | x 0} B． A B R
C． A B {x | x 1} D． A B
2．命题 p : x 0, x2 ax 2 0的否定是（ ）
A 2 2． x 0, x ax 2 0 B． x 0, x ax 2 0
C x 2． 0 0, x0 ax0 2 0 D． x0 0, x
2
0 ax0 2 0
n2 n
3．已知数列 a 2n 的前 n项积Tn 6 ，则 a3a6 （ ）
A 7 8．6 B．6 C． 69 D 10．6
4．第 9届亚冬会即将在冰城哈尔滨召开，为了办好这一届盛会，组委会决定进行赛会志
愿者招募.现有 4名志愿者，通过培训后，拟安排在冰壶、短道速滑、高山滑雪三个项
目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中
一个项目，在甲被安排到冰壶项目的条件下，乙被安排到短道速滑项目的概率为（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
12 6 3 12
5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数 a,b，
若它们除以正整数m所得的余数相同，则称 a和b对模m同余，记为 a b(modm)．
若 a C1 6 C2 62 C1717 17 17 6
17，a b(mod8)，则b的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
6．已知{an}是等差数列， Sn是其前 n项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若 an 2n 25，则 Sn取最小值时n的值为12
B．若 an 3n 27，则 Sn的最大值为108
C．若 S13 S17 ，则必有 S30 0
D．若首项 a1 0， S6 S12 ，则 Sn取最小值时 n的值为9
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7．设点 P a,b ，若直线 l : ax by 1与圆O : x2 y 2 4交于 A,B两点，且

OA OB OA OB，则 OP 的取值范围为（ ）
A ． 1 , 2

B
2 ． 1
2 2
0， C． D．
2
, 2 2,
2
8．设a ln1.01，b sin 0.01 1， c ，则 a,b,c大小关系（ ）
101
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9． 五位同学每人各掷一次骰子，记录骰子出现的点数，下列选项中可能出现点数 6的
是（ ）
A．中位数为 3，众数为 3 B．平均数为 3，众数为 4
C．平均数为 3，中位数为 3 D．平均数为 2，方差为 2.4
2 2 2 2
10．已知双曲线C1 :
x y x y
m与双曲线C : n，其中 a 0,b 0,m n 0
a2 b2 2 a2 b2 ，
则下列说法中正确的是( )
A．双曲线C1，C2 的焦距之比为m : n
B．双曲线C1，C2 的离心率相同，渐近线也相同
C．过C1上的任一点P引C1的切线交C2于点 A,B，则点 P为线段 AB的中点
D．斜率为 k(k 0)的直线与C1的渐近线，C2的右支由上到下依次交于点 A,B,C,D，
则 AC = BD
11．已知函数 f (x)及其导函数 f (x)的定义域均为 R，记 g(x) = f (x)．若 f (2x 1)与
g(x 2)均为偶函数，且 g(2) 2，则下列选项正确的是（ ）
A． g(x)是周期 4的周期函数 B． g(x)图象关于点(1，0)对称
1999
C． g(i) 2 D． f (x)图象关于点(2，0)对称
i 1
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三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．若复数 z a i a R 是纯虚数，则 z的虚部为 ．
1 2i
13．已知 sin( ) 3 cos 1 ，则 sin(2 )= ．
3 5 6
14．已知正四棱锥的侧棱长为6，其各顶点都在球O的球面上，那么当该正四棱锥的体
积最大时，球O的半径为 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题 13分）
在 ABC中，角 A,B,C所对边分别为 a,b,c
2
.已知 A ， a 2bcosB．
3
（1）求 B；
（2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使 ABC存在且唯一确定，并求出 AC边上
的中线长．
3
① a 3b ; ② ABC周长为3 2 3 ; ③ ABC面积为 3 .4
（注：如果选择条件①②③分别作答，则按第一个解答计分.）
16．（本小题 15分） D1 C1
在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB 1， AA1 =3． A B11
（1）在线段CC1上是否存在一点M ，使得直线 A1M 平面 BDC1，
若存在，求出CM 长，若不存在，请说明理由；
（2）已知点N 在线段 AA1上，且 AN 1，
求二面角D1 NB1 C的余弦值．
N
D C
17 15 A
B
．（本小题 分）
2
已知椭圆C : x y
2
1 1a b 0 的离心率为 ，椭圆的右焦点 F 与抛物线 E : y2 4x
a2 b2 2
的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 l : y k x 1 (k 0)与椭圆C交于 A,B两点，与抛物线 E交于M ,N两点，
MN AB
若 为定值，求 2+ 2+ + 的最小值．
AB MN
第 3页（共 4页）
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18．（本小题 17分）
2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为 2024年第一个“火出圈”
的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，
为其他旅游城市提供了宝贵经验，从 2024年 1月 1日至 5日，哈尔滨太平国际机场接待
外地游客数量如下：
x（日） 1 2 3 4 5
y（万人） 45 50 60 65 80
（1）计算 x，y的相关系数 r（计算结果精确到 0.01），并判断是否可以认为日期与游客
人数的相关性很强；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程；
（3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具
体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中
奖．已知某个旅游团中有5个男游客和 k ( k 5 )个女游客，设重复进行三次抽奖
中恰有一次中奖的概率为 p，当 k取多少时， p最大？
n n n
xi x yi y xi yi nx y xi x yi y
b i 1 i 1 a y b x r i 1参考公式： n n ， ， n n ，
x 2 2 2 2 2i x xi nx xi x yi y
i 1 i 1 i 1 i 1
参考数据： 3 1.732 .
19．（本小题 17分）
已知函数 f (x) x 2 ln x m有两个不同的零点 x 2 21 , x2 , 且 t x1 x2 ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证： t 1；
（3 3）比较 t与 2 及 2m 的大小, 并证明．
e e
第 4页（共 4页）
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