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2024甘肃中考数学二轮专题训练 题型三 函数的实际应用
类型一　行程问题
典例精讲
例1　已知A、B两地相距240 km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后(在A地停留时间不计)立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
例1题图
(1)图中m的值是________；轿车的速度是______km/h；
【分层分析】图中折线FEH表示______________，故轿车的速度为________，轿车行驶的总路程为________，因此可得轿车行驶的时间为________，故m的值为________；
(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式；
【分层分析】观察图象可得，货车行驶的过程分为三段，第一段：当x＝0时，y＝________，当x＝2.5时，y＝________，列方程组联立求解可得y与x的函数关系式为____________；第二段：当2.5(3)直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12 km
【分层分析】设轿车出发a小时与货车相距12 km，分两种情况讨论，当货车与轿车相遇前，两车相距12 km时，则有“两车合走的路程＋12 km＝A、B两地之间的距离，可列方程为______________，当货车与轿车相遇后，两车相距12 km时，则有“两车合走的路程－12 km＝A、B两地之间的距离，可列方程为____________，求解即可．
针对训练
1. 在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1 min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示．
(1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是________m/min；
(2)求AB的函数表达式；
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
第1题图
2. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s(千米)与行驶时间t(小时)的关系如图所示(中途休息、加油的时间不计)．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
(1)直接写出工厂离目的地的路程；
(2)求s关于t的函数表达式；
(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
第2题图
3. 快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．下图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：
(1)求快车和慢车的速度；
(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
(3)线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
第3题图
类型二　工程问题
典例精讲
例2　甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装，甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件)．甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)甲车间每小时加工服装______件，这批服装的总件数为________件；
【分层分析】由函数图象可知，甲车间工作9 h加工________件服装，根据工作效率＝，则甲车间每小时加工________件服装；在相同时间内，乙车间单独加工了________件服装，所以这批服装的总件数为________件；
例2题图
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；
【分层分析】由图象可知，乙车间2 h加工________件服装，则乙车间每小时加工________件服装，那么乙车间加工490件衣服需要________h，则乙车间停工________h，所以维修设备后对应点的坐标为(______，140)，利用待定系数法求解；
(3)求加工过程中甲、乙两车间共加工完1140件时甲车间所用的时间．
【分层分析】由函数图象可得到甲车间加工服装数量y1与加工时间x之间的函数关系式为____________，结合(2)中求出的函数关系式可得到________＋________＝1140，求解即可．
针对训练
1. 甲、乙两个车间承接一项加工同一型号的螺丝和螺母的任务，甲车间负责加工螺丝，乙车间负责加工螺母，且一个螺丝配两个螺母，加工螺丝的数量y1个、加工螺母的数量y2个与加工螺丝的时间x h之间的部分函数图象如图所示．
(1)求y1、y2与x的函数表达式；
(2)在加工的过程中，多长时间刚好配套？多长时间加工螺丝的数量是螺母数量的1.2倍？
(3)当加工螺丝的数量是螺母数量的1.2倍时，甲完成全部加工任务，为了尽快完成任务，丙车间参与加工螺母，已知丙与乙的工作效率相同，求再经过多长时间乙、丙完成全部加工任务．
第1题图
2. 某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，甲、乙车负责进货，丙车负责出货．乙车的运输量为每小时4 t，下图是某天从早晨上班开始库存量y(t)与时间x(h)之间的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有甲、乙车工作，BC段只有乙、丙车工作(x为整数)．
(1)求甲、丙车每小时的运输量，并求a的值；
(2)求BC段y与x之间的函数关系式；
第2题图
(3)假如一天的工作时间为8 h，从早晨开始，先安排甲车单独工作3 h后，再安排乙、丙两车的工作，要使当天出货量尽可能大，则应如何安排工作可使当天库存量恰好为0.
3. 爱贝玩具厂开发了一款新型益智玩具，一期计划生产200万件，预计20天后投入市场．该厂有甲、乙、丙三条生产线，由于丙生产线在技术创新升级中，则由甲、乙两条生产线先开始生产加工玩具．甲、乙两条生产线一起生产加工玩具4天后，乙生产线发生故障停止生产，只剩甲生产线单独加工玩具．为了能在规定时间完成任务，丙生产线加快了技术升级，6天后也投入生产．由于丙生产线技术升级后提高了效率，所以提前一天完成加工任务．已知甲、乙两条生产线生产玩具总量y1(万件)与时间x(天)的关系如图折线段OAB所示，丙生产线生产玩具总量y2(万件)与时间x(天)的关系如图线段CD所示．
(1)求第5天结束时，生产玩具总量；
(2)求玩具生产总量y(万件)与时间x(天)的函数关系式(注明x 的取值范围)；
(3)直接写出生产第几天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量的差为20万件．
第3题图
类型三　销售问题
典例精讲
例3　某商场以每件20元的价格购进一种商品， 规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元．经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
【分层分析】当x＝25时，y＝____，当x＝35时，y＝________，列方程组联立求解可得y与x的函数关系式为______________；
例3题图
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
【分层分析】根据“总利润＝(售价－成本)×销量”，可列方程为__________，由题知x的取值范围为________，综合可得售价应定为________元；
(3)设商场销售这种商品每天获利w(元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【分层分析】根据“总利润＝(售价－成本)×销量”，可得利润w关于x的函数解析式为____________，根据二次函数的性质可得当x＝________时，w有最大值，最大值为________．
针对训练
1. 猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：
　　类别 价格　　　 A款玩偶 B款玩偶
进货价(元/个) 40 30
销售价(元/个) 56 45
(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝×100% )
2. 某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y (单位：万件)与销售单价x(单位：元)之间有如下表所示关系：
x … 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 …
y … 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 …
(1)根据表中信息，求出y关于x的函数表达式；
(2)设经营此商品的月销售利润为P(单位：万元)．
①写出P关于x的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元(不计其它成本)，若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
3. 老李做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为8元，该款“中国结”的批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．
(1)当100≤x≤200时，求y与x的函数关系式；
(2)某零售商在老李家一次性批发该款“中国结”，共支付1920元，求此次批发件数；
(3)某零售商在老李家一次性批发该款“中国结”x(100≤x≤300)件，老李获得的利润为w元，当x为何值时，老李获得的利润最大？最大利润是多少元？
第3题图
参考答案
类型一　行程问题
典例精讲
例1　【分层分析】
(1)轿车从B地前往A地再返回B地，120 km/h，480 km，4 h，5；
(2)240，75，y＝－66x＋240，停止不动，75，75，0，y＝－50x＋250；
(3)66(1＋a)＋120a＋12＝240，66(1＋a)＋120a－12＝240.
解：(1)5；120；
【解法提示】由题意可得折线FEH为轿车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，易知轿车总路程为480 km，总时间为4 h，故m＝5，速度为480÷4＝120 km/h.
(2)由图象可知，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系可分MN，NG，GH三段，
①设MN段的函数关系式为y＝k1x＋b1(k1≠0)(0≤x<2.5)
∵图象过点M(0，240)和点N(2.5，75)，
∴，解得，
∴y＝－66x＋240(0≤x<2.5)；
②设NG段函数关系式为y＝75(2.5≤x<3.5)；
③设GH段函数关系式为y＝k2x＋b2(k2≠0)(3.5≤x≤5)，
∵图象过点G(3.5，75)和点H(5，0)，
∴，解得，
∴y＝－50x＋250(3.5≤x≤5)．
∴y＝；
(3)轿车出发1 h或 h时与货车相距12 km.
【解法提示】设轿车出发x h与货车相距12 km，由图象可得货车的速度为＝66(km/h)，根据题意得相遇前有66(1＋x)＋120x＋12＝240，解得x＝，相遇后有66(1＋x)＋120x－12＝240，解得x＝1，∴轿车出发1 h或 h与货车相距12 km.
针对训练
1. 解：(1)1；
【解法提示】由题图知，“猫”的平均速度为＝6(m/min)．“鼠”的平均速度为＝5(m/min)，∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度差是1(m/min)．
(2)设AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，根据图象可得，
解得，
∴y＝－4x＋58；
(3)令y＝0，则－4x＋58＝0，
解得x＝14.5.
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.
2. 解：(1)工厂离目的地路程为880千米；
【解法提示】由图象得t＝0时，s＝880，∴工厂离目的地的路程为880千米．
(2)设s关于t的函数表达式为s＝kt＋b(k≠0)，将t＝0，s＝880和t＝4，s＝560分别代入表达式得，解得，
∴s关于t的函数表达式为s＝－80t＋880(0≤t≤11)；
(3)当油箱中剩余油量为10升时，s＝880－(60－10)÷0.1＝380(千米)，
∴380＝－80t＋880，解得t＝(小时)，
当油箱中剩余油量为0升时，s＝880－60÷0.1＝280(千米)，
∴280＝－80t＋880，解得t＝(小时)．
∵k＝－80<0，∴s随t的增大而减小，
∴t的取值范围是3. 解：(1)由题意可知，快车2小时行驶了180千米，慢车3小时行驶了180千米，
∴快车速度为180÷2＝90千米/小时，
慢车的速度为180÷3＝60千米/小时；
(2)∵快车中途休息了1.5小时，即AE段，
∴点E的坐标为(3.5，180)．
快车从点E到点C所用时间为＝2(小时)，
∴点C的坐标为(5.5，360)，
设EC段所表示的函数表达式为y1＝kx＋b，
将E(3.5，180)，C(5.5，360)代入得，解得，
∴线段EC段所表示的函数表达式为y1＝90x－135(3.5≤x≤5.5)；
(3)点F坐标为(4.5，270)，其实际意义为经过4.5小时，两车均行驶了270千米．
【解法提示】∵OD的函数解析式为y2＝60x，∴联立得，
解得，∴点F的坐标为(4.5，270)．即点F表示的实际意义是经过4.5小时，两车均行驶了270千米．
类型二　工程问题
典例精讲
例2　【分层分析】
(1)810，90，490，1300；
(2)140，70，7，2，4；(3)y1＝90x，70x－140，90x；
解：(1)90，1300；
【解法提示】由题图可得，甲车间每小时加工服装件数为810÷9＝90(件)，这批服装的总件数为810＋490＝1300(件)．
(2)由题图可知乙车间每小时加工服装140÷2＝70(件)，
乙车间加工490件服装共需要490÷70＝7(h)，
∴维修设备时间为9－7＝2(h)，
∴维修设备后对应点的坐标为(4，140)，
设乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与加工时间x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(4，140)、(9，490)代入，得
，解得，
∴乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式是y＝70x－140；
(3)设甲车间加工服装数量y与x的函数关系式为y1＝mx，将点(9，810)代入得，
9m＝810，解得m＝90，
∴y1＝90x，
由y＋y1＝1140，得
70x－140＋90x＝1140，
解得x＝8，
答：甲、乙两车间共加工完1140件服装时甲车间所用时间是8小时．
针对训练
1. 解：(1)设y1＝k1x，由于图象经过(2，60)，
∴60＝2k1，解得k1＝30，
∴y1＝30x，
设y2＝k2x＋40，由于图象经过(2，80)，
∴80＝2k2＋40，解得k2＝20，
∴y2＝20x＋40；
(2)当2y1＝y2时，2×30x＝20x＋40，
∴x＝1，
∴1 h时刚好配套．
当y1＝1.2y2时，30x＝1.2(20x＋40)，
∴x＝8.
∴当时间为8时，加工螺丝的数量是螺母数量的1.2倍．
(3)由(2)知，当x＝8时，y1＝30×8＝240，y2＝20×8＋40＝200.
由于一个螺丝配两个螺母，∴乙还需加工240×2－200＝280(个)螺母．
∴20(x－8)＋20(x－8)＝280.
解得x＝15.
15－8＝7.
∴再经过7 h，乙、丙完成全部加工任务．
2. 解：(1)设甲车每小时的运输量为m t，丙车每小时的运输量为n t，
由题意得，解得，
∵BC段只有乙、丙两车工作，
∴(5－4)×(8－3)＝15－a，解得a＝10，
答：甲车每小时的运输量为7 t，丙车每小时的运输量为5 t，a的值为10；
(2)由(1)知，点C的坐标为(8，10)，
设BC段y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
将B(3，15)，C(8，10)代入得
，解得，
∴BC段y与x之间的函数关系式为y＝－x＋18；
(3)可安排乙车进货1 h，丙车出货5 h.
理由如下：
甲车单独工作3 h后，库存为3×7＝21(t)，
∵要使当天的出货量尽可能大，
∴当3≤x≤8时，安排丙车一直工作，则丙车可出货5×5＝25(t)，
∴最多可再进货4 t，
故只需安排乙车进货1 h，丙车出货5 h，即可满足要求．
3. 解：(1)由题意可得，
甲的生产效率为(96－36)÷(19－4)＝4(万件/天)，
则第5天结束时的生产总量为36＋(5－4)×4＝40(万件)，
答：第5天结束时，生产玩具总量是40万件；
(2)当0≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝kx，将(4，36)代入得
36＝4k，解得k＝9，
即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝9x，
当4＜x＜6时，设y与x的函数关系式为y＝ax＋b，将(4，36)，(5，40)代入得，
，解得，
即当4＜x＜6时，y与x的函数关系式为y＝4x＋20，
当6≤x≤19时，丙的工作效率是104÷(19－6)＝8(万件/天)，
将x＝6代入y＝4x＋20中，得y＝44，
则当6≤x≤19时，y与x的函数关系式为y＝(4＋8)(x－6)＋44＝12x－28，
综上所述，y与x的函数关系式为
y＝；
(3)生产第3天和第12天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量的差为20万件．
【解法提示】将y＝20代入y＝9x中，解得x＝＝2，
设CD段对应的函数解析式为y＝cx＋d，将(6，0)、(19，104)代入，得
，解得，
即CD段对应的函数解析式为y＝8x－48，
由题意可得(4x＋20)－(8x－48)＝20，
解得x＝12，
∴在第3天和第12天甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量的差为20万件．
类型三　销售问题
典例精讲
例3　【分层分析】
(1)70，50，y＝－2x＋120；
(2)(x－20)(－2x＋120)＝600，20≤x≤38，30；
(3)w＝(x－20)(－2x＋120)，38，792.
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(25，70)、(35，50)代入得
，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋120；
(2)(x－20)(－2x＋120)＝600
∴x1＝30，x2＝50，
又∵20≤x≤38，
∴x＝50(舍)，∴x＝30.
答：每件商品的售价应定为30元；
(3)w＝(x－20)(－2x＋120)
＝－2x2＋160x－2400
＝－2(x－40)2＋800
∵a＝－2<0，
∴抛物线开口向下，
又∵对称轴为直线x＝40，
∴当20≤x≤38时，
w随x的增大而增大，
∴当x＝38时，w有最大值，w最大＝792，
答：当每件商品售价为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．
针对训练
1. 解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，
根据题意得，
解得.
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
(2)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个，
根据题意得a≤(30－a)，
解得a≤10.
设获得利润为w元，则w＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)＝a＋450，
∵1>0，∴w随a的增大而增大，
∴当a＝10时，w有最大值，w最大＝10＋450＝460，
则30－a＝30－10＝20，
答：应购进A款玩偶10个，B款玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为460元；
(3)第一次销售利润为(56－40)×20＋(45－30)×10＝470，
第一次销售利润率为×100%≈43%.
第二次销售利润率为×100%＝46%，
∵43%<46%，
∴从利润率的角度分析，第二次更合算．
2. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，将(4，8)，(5，6)代入得
，解得，
∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋16；
(2)①由(1)及题意可得
P＝(x－2)y＝(x－2)(－2x＋16)＝－2x2＋20x－32，
∴P关于x的函数表达式为P＝－2x2＋20x－32；
②由题意得x≤2×200%，即x≤4，
∴－2x2＋20x－32＝10，
解得x1＝3，x2＝7(舍去)，
∴x＝3，
答：此时的销售单价应定为3元．
3. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(100，15)，(200，10)分别代入y＝kx＋b，
得，解得.
∴y与x的函数关系式为y＝－x＋20；
(2) ∵15×100＜1920＜10×200，
∴100＜x＜200.
根据题意得x(－x＋20)＝1920，
解得x1＝160，x2＝240(舍去)．
答：此次批发件数为160件；
(3)当100≤x≤200时，
w＝x(y－8)
＝－x2＋12x
＝－(x－120)2＋720，
∵－＜0，对称轴为直线x＝120，
∴当x＝120时，w有最大值，最大值为720；
当200＜x≤300时，w＝(10－8)x＝2x，
∵2＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝300时，w有最大值，最大值为2×300＝600.
∵720＞600，
∴当x＝120时，老李获得的利润最大，最大利润为720元．

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