资源简介

2023－2024学年第二学期福州市
九年级质量抽测数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 2024年3月20日，第四届中国跨境电商交易会在福州海峡国际会展中心落下帷幕，来自世界各地的跨境电商人汇聚榕城，再现一场盛大的跨境电商嘉年华．据不完全统计，本届展会累计意向成交金额约50亿美元，将数据用科学记数法表示，其结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示五棱柱，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 三角形三边的长可以是（ ）
A. 1 cm，1 cm，1 cm B. 1 cm，1 cm，2 cm
C. 1 cm，2 cm，3 cm D. 1 cm，2 cm，4 cm
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
7. 为加强学生的安全意识，学校举行了“交通安全”演讲比赛，个人展示环节中共有7位评委给选手A进行评分，得到7个数据，并计算这7个数据的平均数，中位数，众数，方差，若将这7位评委的成绩去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据的平均数，中位数，众数，方差中，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
8. 若，则整数m的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如果向东80米记作+80米，那么向西60米记作___________米．
12 为了解一批灯管的使用寿命，适合采用的调查方式是_____（填“普查”或“抽样调查”）
13. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的大小是____．
14. 不等式的解集是______．
15. 某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_____．
16. 如图，是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在上．过点C作交半圆O于点D，连接，过点C作于点E，设，，则图中长度一定等于的线段是______．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 如图，点E，F线段上（点E在点F左侧），，，，求证：．
19. 已知，求代数式的值．
20. 三坊七巷是福州的历史之源、文化之根，众多的历史名人从这里走出来，他们代表了福州地区特色的名贤文化．某校为增强同学们对福州名贤文化的了解，将举办相关的知识竞赛．初一年段组织本年段所有学生参加预赛，收集了所有学生成绩的数据，并将这些数据按照，，，分为A，B，C，D四组，得到如下不完整的统计图．
请根据上述信息解答以下问题：
（1）该校初一年段学生人数是_____，扇形统计图中“B”组对应的圆心角的度数是_______；
（2）初一年段在此次预赛中成绩最好的4个同学恰好是两男两女，若在这四名同学中随机抽取2名参加下一阶段比赛，求抽取的两名同学刚好为两位女同学的概率．
21. 如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．
22. 如图，在中，D是上一点．
（1）上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点．
23. 数学活动小组开展课外实践活动，他们利用周末去测量某建筑物（如图1）的高度，携带的工具有：皮尺、自制测角仪．皮尺（如图2）的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（两点间的距离不大于皮尺的测量长度；借助自制测角仪（如图3）可以在任一点P处，通过测量和计算得到视线与水平方向的仰角（或俯角）的大小．
该小组预设了如下方案（如图4）：
（ⅰ）在该建筑物（）的附近较空旷的平地上选择一点A，点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
（ⅱ）用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及测量点A与大楼底部N的水平距离；
（ⅲ）由实际背景可知四边形为矩形，所以，①____m，②____m；
（ⅳ）在中，③____m，所以，建筑物的高④___m．
（1）请补全该小组预设方案中①②③④所缺的内容；
（2）在现场实践时，发现由于客观原因，无法测量该建筑物周围任意一点与该建筑物的水平距离，即无法获得（1）中的长．请你利用所带工具设计可行的测量方案，并利用解直角三角形的知识，求的高度．
要求：测量长度和角度的次数均不超过两次，且测量得到的长度用字母a，b表示，角度用α，β表示．
24. 已知抛物线，，．
（1）若抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
①求抛物线的解析式；
②过点B作轴，垂足为D．延长至点E，连接，若，求点E的坐标；
（2）当时，已知点，在抛物线上，直线与直线交于点．若，时，有成立，直接写出a的取值范围．
25. 如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），过点作，交延长线于点E．以，为边作．
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为，若平分，用等式表示与的数量关系，并说明理由；
（3）延长交于点，连接，，若，求证：．2023－2024学年第二学期福州市
九年级质量抽测数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断求解，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
【详解】解：∵数轴上右边的数总比左边的大，
∴，
∴这四个数中最小的数是，
故选：．
2. 2024年3月20日，第四届中国跨境电商交易会在福州海峡国际会展中心落下帷幕，来自世界各地的跨境电商人汇聚榕城，再现一场盛大的跨境电商嘉年华．据不完全统计，本届展会累计意向成交金额约50亿美元，将数据用科学记数法表示，其结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图所示的五棱柱，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．
根据从正面看到是主视图进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，主视图如下；
故选：A．
4. 三角形三边的长可以是（ ）
A. 1 cm，1 cm，1 cm B. 1 cm，1 cm，2 cm
C. 1 cm，2 cm，3 cm D. 1 cm，2 cm，4 cm
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形，据此解答即可．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，，能组成三角形，符合题意；
B中，，不能组成三角形，不符合题意；
C中，，不能组成三角形，不符合题意；
D中，，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：A．
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A．与是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项正确；
D．，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
6. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A，不是中心对称图形，不符合题意；
B，不是中心对称图形，不符合题意；
C，不是中心对称图形，不符合题意；
D，是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
7. 为加强学生的安全意识，学校举行了“交通安全”演讲比赛，个人展示环节中共有7位评委给选手A进行评分，得到7个数据，并计算这7个数据的平均数，中位数，众数，方差，若将这7位评委的成绩去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据的平均数，中位数，众数，方差中，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【详解】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的最中间的数产生影响，即中位数．
故选：B．
8. 若，则整数m的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意列不等式组，求出m的范围，又因为m是整数，即可得出m得值．
【详解】解：根据题意得不等式组，
得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵m是整数，
∴．
故选：B．
9. 用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，设该长方形一边长为，则下列符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积计算公式列出对应的方程即可．
【详解】解：设该长方形一边长为，则长方形的另一边长为，
由题意得，，
故选：C．
10. 在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论
详解】解：如图，
，
∵
∴，
∴的面积，
故选：B
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如果向东80米记作+80米，那么向西60米记作___________米．
【答案】
【解析】
【分析】根据具有相反意义的量即可得．
【详解】解：因为向东和向西是一对具有相反意义的量，
所以如果向东行走80米记作米，那么向西行走60米应记作米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量，掌握理解具有相反意义的量是解题关键．
12. 为了解一批灯管的使用寿命，适合采用的调查方式是_____（填“普查”或“抽样调查”）
【答案】抽样调查．
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：为了解一批灯管的使用寿命，调查具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为抽样调查．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
13. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的大小是____．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质和邻补角的性质，根据平行线的性质求出的度数，根据邻补角得到答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
14. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据移项，合并同类项，系数化为1求解即可．
【详解】解：，
移项得，，
合并，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：
15. 某家商店的账目记录显示，卖出26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是_____．
【答案】396元
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，根据26支A型牙刷和14盒B型牙膏，收入264元建立方程通过变形就可以求出的值．
【详解】解：设一支A型牙刷收入x元，一盒B型牙膏收入y元，由题意，得
，
化简得：，
则，
所以，收入应该是396元，
故答案为：396元．
16. 如图，是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在上．过点C作交半圆O于点D，连接，过点C作于点E，设，，则图中长度一定等于的线段是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，由，推出，得到，求出，由，推出，即可求出．
【详解】解：∵是半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的非负性，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算性质是解题的关键．依次去绝对值，零指数幂运算，负整数指数幂运算，然后进行实数的加减运算，即可求出结果．
【详解】解：原式
18. 如图，点E，F在线段上（点E在点F左侧），，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角性的判定及性质，可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴
19. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简和求值，熟练掌握相关运算规则是解题的关键．根据已知可得，可以把直接代入代数式进行化简求值，也可以先将代数式化简后，再把代入后求值．
【详解】解法一： ，
，
原式
．
解法二：原式
．
，
，
原式
．
20. 三坊七巷是福州的历史之源、文化之根，众多的历史名人从这里走出来，他们代表了福州地区特色的名贤文化．某校为增强同学们对福州名贤文化的了解，将举办相关的知识竞赛．初一年段组织本年段所有学生参加预赛，收集了所有学生成绩的数据，并将这些数据按照，，，分为A，B，C，D四组，得到如下不完整的统计图．
请根据上述信息解答以下问题：
（1）该校初一年段的学生人数是_____，扇形统计图中“B”组对应的圆心角的度数是_______；
（2）初一年段在此次预赛中成绩最好的4个同学恰好是两男两女，若在这四名同学中随机抽取2名参加下一阶段比赛，求抽取的两名同学刚好为两位女同学的概率．
【答案】（1）400，；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，以及概率的计算，熟练掌握条形统计图和扇形统计图所反映的数据与总体样本之间的关系，会运用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
（1）根据条形统计图和扇形统计图可知，D组人数为140人，占比，即可求出总人数；根据B组人数所占百分比即可求对应扇形统计图的圆心角；
（2）利用列表法或者画树状图法，列出所有可能的结果，共有12种，都是等可能性的，找出其中抽取的两名同学刚好为两位女同学的结果有2种，利用概率公式即可求出结果．
【小问1详解】
由条形统计图和扇形统计图可得，D组人数为140人，占比，
该校初一年段的学生人数是：（人），
根据条形统计图，B组人数为80人，占比为，
B组对应的圆心角的度数为：.
【小问2详解】
记两名男生为M，N，两名女生为P，Q．
根据题意，可以列出如下表格：
第一名 第二名 M N P Q
M
（N，M） （P，M） （Q，M）
N （M，N）
（P，N） （Q，N）
P （M，P） （N，P）
（Q，P）
Q （M，Q） （N，Q） （P，Q）
由表可知，所有可能出现的结果共有12种，且这些结果出现的可能性相等．
其中抽取的两名同学刚好为两位女同学的结果有2种．
抽取的两名同学刚好为两位女同学是．
答：抽取两名同学刚好为两位女同学的概率是．
21. 如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，，由得，根据“”证明，得，即可证明是的切线．
【详解】证明：连接，．
∵，
∴．
∵是直径，
∴．
∵D是的中点，
∴．
又，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵点C为半径的外端点，
∴是的切线．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，在中，D是上一点．
（1）在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查作线段垂直平分线，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）连接，作的垂直平分线交于点，此时则点即为所求；
（2）由旋转得，得，，．再证明得，从而得到，故可得结论
【小问1详解】
解：如图，O为所求作的点．
【小问2详解】
证明：∵D是的中点，
∴．
∵绕点O旋转得到，D，E分别是点A，B的对应点，
∴，，，
∴，，．
在与中
∴，
∴，
∴，
即，
∴G是中点
23. 数学活动小组开展课外实践活动，他们利用周末去测量某建筑物（如图1）的高度，携带的工具有：皮尺、自制测角仪．皮尺（如图2）的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（两点间的距离不大于皮尺的测量长度；借助自制测角仪（如图3）可以在任一点P处，通过测量和计算得到视线与水平方向的仰角（或俯角）的大小．
该小组预设了如下方案（如图4）：
（ⅰ）在该建筑物（）的附近较空旷的平地上选择一点A，点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
（ⅱ）用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及测量点A与大楼底部N的水平距离；
（ⅲ）由实际背景可知四边形为矩形，所以，①____m，②____m；
（ⅳ）在中，③____m，所以，建筑物的高④___m．
（1）请补全该小组预设方案中①②③④所缺的内容；
（2）在现场实践时，发现由于客观原因，无法测量该建筑物周围任意一点与该建筑物的水平距离，即无法获得（1）中的长．请你利用所带工具设计可行的测量方案，并利用解直角三角形的知识，求的高度．
要求：测量长度和角度的次数均不超过两次，且测量得到的长度用字母a，b表示，角度用α，β表示．
【答案】（1）①a；②b；③；④；
（2）方案见解析，．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）由四边形为矩形，利用矩形的性质求解，在中，利用正切函数即可求解；
（2）在（1）的基础上再由点A朝点N方向前进至点D处，测得，， ，再解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：由实际背景可知四边形为矩形，
所以，，；
在中，，，
故答案为：①a；②b；③；④；
【小问2详解】
解：先在该建筑物（）的附近较空旷的平地上选择一点A，
点B为测量人员竖直站立时眼睛的位置，
用自制测角仪获取最高处（M）的仰角，
然后由点A朝点N方向前进至点D处，
此时点E为测量人员竖直站立时眼睛的位置，
再用自制测角仪获取最高处（M）的仰角；
再用皮尺测得测量人员眼睛到地面的距离，以及前进的距离，
由实际背景可知四边形，四边形为矩形，
故，．
在和中，，
∴，
，
∴，
即，
∴，
∴．
24. 已知抛物线，，．
（1）若抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．
①求抛物线的解析式；
②过点B作轴，垂足为D．延长至点E，连接，若，求点E的坐标；
（2）当时，已知点，在抛物线上，直线与直线交于点．若，时，有成立，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①将，代入得，，计算求解，进而可得；②如图1，过作于，令，可求，则，，，，由勾股定理得，，，由，可求，由勾股定理得，，则，由，可得，解得，，进而可得；
（2）待定系数法求直线的解析式为，当时，，则对称轴为直线，由，可得①当时，，即，由，，可得，如图2，过作轴，交于， 当时，；当时，；由题意可得，，即，计算求解即可；②当时，，即；由，，可得，如图3，过作轴，交于， 当时，；当时，；由题意可得，，即，计算求解即可．
【小问1详解】
①解：将，代入得，，
解得，，
∴；
②解：如图1，过作于，
令，
解得，或，
∴，
∴，，，，
由勾股定理得，，，
∵，
∴，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
当时，，
∴对称轴为直线，
∵，
∴①当时，，即，
∵，，
∴，
如图2，过作轴，交于，
∴当时，；当时，；
由题意可得，，即，
解得，；
②当时，，即；
∵，，
∴，
如图3，过作轴，交于，
∴当时，；当时，；
由题意可得，，即，
解得，；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定理，正切，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，正切，一次函数解析式是解题的关键．
25. 如图，在中，，点在边上（不与点B，C重合），过点作，交延长线于点E．以，为边作．
（1）求证：；
（2）记的面积为，的面积为，若平分，用等式表示与的数量关系，并说明理由；
（3）延长交于点，连接，，若，求证：．
【答案】（1）见解析；
（2），理由见解析；
（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据等角的余角相等可得，再由平行四边形性质得，由此即可得出结论．
（2）延长，交于点，过点作于点．证明，再证明 ，从而可得，由三角形面积和平行四边形计算公式即可得出结论，
（3）延长交于点．由证明垂直平分，进而证明，再证明点A，B，E，C在以O为圆心，OA为半径的圆上．从而可得，进而可得，，
证明，从而得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：．
理由如下：延长，交于点，过点作于点．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
证明：延长交于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，．
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
取AB中点O，连接OC，OE．
∵，
∴，
∴，
∴点A，B，E，C在以O为圆心，OA为半径的圆上．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了四边形与三角形综合．解题关键是利用角平分线构造全等三角形，转换线段和角的关系，利用四点共圆证明角线段相等．

展开更多......

收起↑