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2024年高考数学复习专题 练习★★
三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）
[考情分析]　
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.
2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
知识导图
考点分类讲解
考点一：三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
(2)cos(α±β)＝cosαcosβ sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sinαcosα；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
规律方法　三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝ ，sin B＝，sin C＝ ，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
考向1：正弦定理、余弦定理
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．在ABC中，．则A的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ）
A． B． C．2 D．3
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
5．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
三、填空题
8．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
四、解答题
9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
考向2:解三角形中的最值与范围问题
规律方法　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
一、解答题
1．（2023·河南开封·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
2．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
3．已知中，角所对的边分别为，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值以及周长的最大值.
4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
考点三:解三角形的实际应用
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
规律方法　解三角形实际问题的步骤
①需要测量的数据有：点到，点的俯角；
点到，的俯角；，的距离 ……….
②第一步：计算. 由正弦定理　；
第二步：计算. 由正弦定理　；
第三步：计算. 由余弦定理
一、解答题
1．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值；
(2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离．
2．如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
强化训练
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，，且，，则的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
5．在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是
，则河流的宽度BC等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）

A． B． C．1s D．
二、多选题
9．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．不存在点Q，使得
B．存在点Q，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点Q，都是钝角三角形
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知中，，．下列说法中正确的是（ ）
A．若是钝角三角形，则
B．若是锐角三角形，则
C．的最大值是
D．的最小值是
11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
三、填空题
12．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ．
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在上，为坐标原点，且满足，则外接圆的半径为 .
14．（2024高三·江苏·专题练习）的内角所对边分别为，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，，若为锐角三角形，则 AC的取值范围为 .
四、解答题
15．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）在凸四边形中，记，四边形的面积为S．已知．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)若，求四边形面积的最大值．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积．
17．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.
18．（23-24高三下·天津·开学考试）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为.
(1)求；
(2)若，求；
(3)求的值.
19．（2024高三·江苏·专题练习）中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为，求的取值范围.

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