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2024年高考数学复习专题 练习★★
　空间几何体（3大考点+强化训练）
知识导图
考点分类讲解
考点一：空间几何体的折展问题
空间几何体的侧面展开图
(1)圆柱的侧面展开图是矩形．
(2)圆锥的侧面展开图是扇形．
(3)圆台的侧面展开图是扇环．
规律方法　空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边．
【例1】(2023·鞍山模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝8，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，则△AEF周长的最小值为(　　)
A．6 B．6 C．8 D．8
【变式1】（23-24高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【变式3】（23-24高三上·广东揭阳·期末）已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
考点二：表面积与体积
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(2)V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)．
(3)V台＝(S上＋＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)．
(4)V球＝πR3(R为球的半径)．
规律方法　空间几何体的表面积与体积的求法
(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解．
(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体．
(3)等体积法：选择合适的底面来求体积．
【例2】(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　　)
A．1 B. C．2 D．3
【变式1】（2024·河北·一模）已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）在直三棱柱中，各棱长均为2，M，N，P，Q分别是线段，，，的中点，点D在线段上，则下列结论错误的是（ ）
A．三棱柱外接球的表面积为 B．
C．面 D．三棱锥的体积为定值
【变式3】（2024·贵州毕节·一模）如图所示，圆和圆是球的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心在两个截面之间，记圆，圆的半径分别为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点三：多面体与球
求空间多面体的外接球半径的常用方法
(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．
规律方法　(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解．
(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径
【例3】(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．
【变式1】（2024·湖南邵阳·二模）已知三棱锥中，平面，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三上·上海虹口·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·浙江·二模）在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
强化训练
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为的球，这此球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·海南海口·模拟预测）已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10，侧面积为，为圆台的一条母线（点A在圆台下底面圆周上），M为的中点．一质点P从点A出发，绕圆台侧面一周到达点M，则质点P所经路程的最小值为（ ）
A．60 B．50 C．40 D．30
5．（2024·广东汕头·一模）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为，与圆锥底面所成的角为，则（ ）
A．圆锥的高为
B．圆锥的体积为
C．圆锥侧面展开图的圆心角为
D．二面角的大小为
6．（2024·四川绵阳·三模）如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且．则下列结论不正确的是（ ）
A．若保持．则点的运动轨迹长度为
B．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
D．当在点时，三棱锥的外接球表面积为
7．（2024·四川·一模）设正方体的棱长为1，与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M．则下列结论正确的是（ ）．
A．M必为三角形 B．M可以是四边形
C．M的周长没有最大值 D．M的面积存在最大值
8．（2023·陕西西安·一模）在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（ ）
A．不存在点M，使得
B．的最小值为
C．四棱锥的外接球表面积为5π
D．点M到直线AB的距离的最小值为
2．（2024·江苏徐州·一模）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
3．（23-24高三上·福建福州·期末）在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A．过点E，F，G的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面平面BCD
C．异面直线AC，BD互相垂直
D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ．
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知长方体在球的内部，球心在平面上，若球的半径为，则该长方体体积的最大值是 .
3．（2024·福建漳州·一模）在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ．
四、解答题
1．（2024·陕西铜川·二模）如图，在四棱锥中.侧面⊥底面，为等边三角形，四边形为正方形，且.

(1)若为的中点，证明：；
(2)求点到平面的距离.
2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在中，，，P为AB边上一动点，交AC于点D．现将沿PD翻折至，使平面．

(1)当棱锥的体积最大时，求PA的长．
(2)若点P为AB的中点，E为的中点，求证：．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且.
(1)求直三棱柱的表面积与体积；
(2)求证：平面，并求出到平面的距离.
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．

(1)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长；
(2)求平面与平面的所成角的余弦值．
5．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方体边长为，是上的一个动点.求：
(1)直线与平面所成角的余弦值；
(2)的最小值.

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