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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题32 面积问题与线段和差问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中的面积问题与线段和差问题是近几年各地中考中以选择题、填空题、解答题的形式进行考查，多数题目难度较大，属于压轴题，考查涉及到的知识点包括三角形基本性质、相似三角形的性质、三角函数、四边形的性质、圆的基本性质、函数的相关知识等，考查的热点有面积问题、线段和差问题。
考点剖析☆典型例题
例1（2022 吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 　　cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点M落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
例2（2022 青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
考点过关☆专项突破
类型一 动态几何中的面积问题
1．（2022 青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC AD，S△A'B'C′＝B′C′ A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　 ；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　　，S△CDE＝　 　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　 　．
2．（2022 湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
3．（2020 黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
4．（2021 大连）如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．
设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S （cm2）．
（1）求AC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
5．（2022 长春）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，
（1）点D到边AB的距离为 　　；
（2）用含t的代数式表示线段DP的长；
（3）连结A'D，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；
（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．
6．（2022 宁夏）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1＝36，S3＝100时，S2＝　　．
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是 　　．
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN＝S四边形PMFG；
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB＝4，柱体的高h＝8，直接写出V1+V2的值．
7．（2023 长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE FN ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
8．（2022 荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线：
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
9．（2023 丹东）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．
（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；
（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．
10．（2022 湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a＞b．记△ABC的面积为S．
（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．
①若S1＝9，S2＝16，求S的值；
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2﹣S1＝2S．
（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2﹣S1与S之间的等量关系，并说明理由．
类型二 动态几何中的线段和差问题
1．（2021 淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　　．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
2．（2022 郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
3．（2022 甘肃）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：GE＝（﹣1）DE．
4．（2022 十堰）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．
5．（2022 辽宁）在 ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+DP＝DE；
（3）点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长．
6．（2022 河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
7．（2023 鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．
（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是 　　，＝　　．
（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．
（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．
8．（2023 重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．
9．（2023 十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝　 　；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题32 面积问题与线段和差问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中的面积问题与线段和差问题是近几年各地中考中以选择题、填空题、解答题的形式进行考查，多数题目难度较大，属于压轴题，考查涉及到的知识点包括三角形基本性质、相似三角形的性质、三角函数、四边形的性质、圆的基本性质、函数的相关知识等，考查的热点有面积问题、线段和差问题。
考点剖析☆典型例题
例1（2022 吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为 　2x　cm．（用含x的代数式表示）
（2）当点M落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）2x．
（2）x＝1．
（3）y＝．
【点拨】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形的性质可得PQ的长度．
（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．
（3）分类讨论0＜x≤1，1＜x≤，＜x＜3并作出图象求解．
【解析】解：（1）∵∠A＝30°，∠APQ＝120°，
∴∠AQP＝30°，
∴PQ＝AP＝2x．
故答案为：2x．
（2）如图，
∵∠APQ＝120°，
∴∠MNB＝∠QPB＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△MNB为等边三角形，
∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，
∴3×2x＝6，
解得x＝1．
（3）当0＜x≤1时，作QF⊥AB于点F，
∵∠A＝30°，AQ＝2x，
∴QF＝AQ＝x，
∵PN＝PQ＝AP＝2x，
∴y＝PN QF＝2x x＝2x2．
当1＜x≤时，QM，NM交BC于点H，K，
∵AB＝6cm，∠A＝30°，
∴AC＝AB＝3cm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，
∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，
∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，
∵△HKM为等边三角形，
∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，
∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．
当＜x＜3时，重叠部分△PQB为等边三角形，
PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，
∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．
综上所述，y＝．
【点睛】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．
例2（2022 青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由见解析．
【点拨】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得BD＝CE；
（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得△ACD≌△BCE（SAS），即有AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即知∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，由CD＝CE，CM⊥DE，∠DCE＝90°，可得DM＝ME＝CM，故AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【解析】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：
如图：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 动态几何中的面积问题
1．（2022 青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC AD，S△A'B'C′＝B′C′ A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　3：4　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　　，S△CDE＝　　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　　．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
【解析】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝ ＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键．
2．（2022 湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．
【答案】（1）DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由见解答部分；
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由见解答部分；
（3）．
【点拨】（1）易证△ABD和△ACE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD，DE和CE的长即可．
（2）（Ⅰ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可；
（Ⅱ）易证∠ABD＝∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE，进而解答即可；
（3）根据题意可证明△ABD∽△FBA，由此可得出BF的长，根据S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF，可得出结论．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵l∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵AB＝AC＝，
∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，
∴DE＝2；
（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：
在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴CE＝AD，BD＝AE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．
（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE
∵∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△FBA，
∴AB：FB＝BD：AB，
∵CE＝3，DE＝1，
∴AE＝BD＝4，
∴AB＝5．
∴BF＝．
∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，三角形的面积；证明三角形全等是解题的关键．
3．（2020 黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
【答案】见解析
【点拨】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．
【解析】解：（1）全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝，
∴BD＝；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×＝，
∴S△ACD＝＝＝，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×＝，
FD＝CD﹣CF＝2﹣，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝＝3，
∴AD＝．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
4．（2021 大连）如图，矩形ABCD中，BC＝4cm，CD＝3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BA→AC以2cm/s的速度向终点C匀速运动．
设点P的运动时间为t（s），△BPQ 的面积为S （cm2）．
（1）求AC的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）5cm；（2）S＝．
【点拨】（1）根据勾股定理直接计算AC的长；
（2）根据点P、Q的运动位置进行分类，分别画图表示相应的△BPQ的面积即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝（cm），
∴AC的长为5cm；
（2）当0＜t≤1.5时，如图，
S＝；
当1.5＜t≤4时，如图，作QH⊥BC于H，
∴CQ＝8﹣2t，
∵sin∠BCA＝，
∴，
∴QH＝，
∴S＝＝﹣；
③当4＜t≤7时，
CP＝t﹣4，BQ＝BC＝4，
∴S＝S△BPQ＝＝＝2t﹣8，
综上所述：S＝．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角函数、勾股定理，以及三角形面积的表示，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键．
5．（2022 长春）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，
（1）点D到边AB的距离为 　3　；
（2）用含t的代数式表示线段DP的长；
（3）连结A'D，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；
（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．
【答案】（1）3．
（2）PD＝；
（3）；
（4）或．
【点拨】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM＝2，再利用勾股定理可得DM的长；
（2）分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；
（3）由A'M＝2，DM＝3，则A'D≥1，当点D、A'、M共线时，DA'最短，利用角平分线的定理得，求出S△APM的面积，从而得出答案；
（4）当点A'在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出＝，从而表示出MN的长，点点A'在CM的延长线上时，同理解决问题．
【解析】解：（1）连接DM，
∵DA＝DB，点M是AB的中点，
∴DM⊥AB，AM＝2，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
DM＝＝，
故答案为：3．
（2）当点P在AD上时，即0≤t＜1时，PD＝AD﹣AP＝﹣t，
当点P在BD上时，即1≤t≤2时，PD＝t﹣，
∴PD＝；
（3）∵A'M＝2，DM＝3，
∴A'D≥1，
∴当点D、A'、M共线时，DA'最短，
方法一：延长MP，CD交于O点，
∴∠O＝∠AMP，
∵∠AMP＝∠DMP，
∴∠O＝∠DMP，
∴OD＝DM，
∵OD∥AB，
∴，
∴，
∴S△APM＝＝＝，
∴S△PA'D＝S△ADM﹣2S△AMP＝3﹣2×＝；
方法二：设△PA'D的面积为x，则△AMP的面积＝△MPA'的面积＝2x，
∴x+2x+2x＝AM DM＝3，
∴x＝，
∴△PA'D的面积为；
（4）当点A'在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，
∵AD＝BC，∠DAM＝∠CBH，∠DMA＝∠CHB，
∴△AMD≌△BHC（AAS），
∴BH＝AM＝2，CH＝DM＝3，
∵MQ平分∠CMB，
∴∠GMQ＝∠QMH，
∵∠QGM＝∠QHM，MQ＝MQ，
∴△MQG≌△MQH（AAS），
∴MG＝MH＝4，QH＝QG，
∴CG＝1，
∴tan∠MCH＝，
∴，
∴QG＝，
∴，
∵AP＝，
∴AN＝2t，PN＝3t，
∵∠AMP＝∠A'MP，∠CMQ＝∠QMH，
∴∠PMQ＝90°，
∴∠QMH＝∠MPN，
∴MN＝t，
∴2t+t＝2，
∴t＝；
当A'在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，
由题意知BP＝2﹣t，
同理得，PT＝6﹣3t，BT＝4﹣2t，MT＝18﹣9t，
∴18﹣9t+4﹣2t＝2，
∴t＝，
综上：t＝或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH＝是解题的关键．
6．（2022 宁夏）综合与实践
知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1＝36，S3＝100时，S2＝　64　．
问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是 　S1+S2＝S3　．
（2）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．
实践应用
（1）如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN＝S四边形PMFG；
（2）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB＝4，柱体的高h＝8，直接写出V1+V2的值．
【答案】知识再现：64；
问题探究：（1）S1+S2＝S3；
（2）S4+S5＝S6；
实践应用：（1）见解析；
（2）16π．
【点拨】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：（1）利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；
（2）过点D作DG⊥BC交于G，分别求出S4＝BC2，S5＝AC2，S6＝AB2，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即可求S4+S5＝S6；
实践应用：（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，则HN＝a+b﹣c，FG＝c﹣a，MF＝c﹣b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则S△PMN＝（a+b﹣c）2，S四边形PMFG＝（c﹣a）（c﹣b），再由c2＝a2+b2，可证明S△PHN＝S四边形PMFG；
（2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2＝S3，又由V2+V1＝（S1+S2）h＝S3h＝V3，即可求V1+V2＝16π．
【解析】知识再现：解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴S1+S2＝S3，
∵S1＝36，S3＝100，
∴S2＝64，
故答案为：64；
问题探究：（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴S1+S2＝S3，
故答案为：S1+S2＝S3；
（2）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
过点D作DG⊥BC交于G，
在等边三角形BCD中，CD＝BC，CG＝BC，
∴DG＝BC，
∴S4＝×BC×BC＝BC2，
同理可得S5＝AC2，S6＝AB2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴S4+S5＝S6；
实践应用：（1）证明：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∴HN＝a+b﹣c，FG＝c﹣a，MF＝c﹣b，
∵△HGB是等边三角形，△ABF是等边三角形，
∴HG∥AF，MN∥BF，
∴∠HPN＝60°，
∴△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，
∴S△PHN＝（a+b﹣c）2，S四边形PMFG＝（c﹣a）（c﹣b），
∵△ABC是直角三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴（a+b﹣c）2＝（a2+b2+c2+2ab﹣2bc﹣2ac）＝（c2+ab﹣bc﹣ac）＝（c﹣a）（c﹣b），
∴S△PHN＝S四边形PMFG；
（2）解：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，
∵△ABC是直角三角形，
∴c2＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
∴S1+S2＝S3，
∵V2＝S2h，V1＝S1h，V3＝S3h，
∴V2+V1＝（S1+S2）h＝S3h＝V3，
∵AB＝4，h＝8，
∴V3＝S3h＝×π×4×8＝16π，
∴V1+V2＝16π．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．
7．（2023 长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE FN ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）BD是⊙O的切线；理由略；
（2）；
（3）y＝x，0＜x≤1．
【点拨】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB＝90°，从而∠CAB+∠ABC＝90°，然后根据∠DBC＝∠CAB，可以得解；
（2）由题意，据S1 S＝（S2）2得CD（CD+AC）＝AC2，再由tan∠D＝＝tan∠ABC＝，进而进行变形利用方程的思想可以得解；
（3）依据题意，连接OM，分别在Rt△OFM、Rt△AFE、Rt△BFN中，找出边之间的关系，进而由FE FN ＝y，可以得解．
【解析】解：（1）BD是⊙O的切线．
证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°．
又点A，B，C在⊙O上，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
又∠DBC＝∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝90°．
∴BD是⊙O的切线．
（2）由题意得，S1＝BC CD，S2＝BC AC，S＝AD BC．
∵S1 S＝（S2）2，
∴BC CD AD BC＝（BC AC）2．
∴CD AD＝AC2．
∴CD（CD+AC）＝AC2．
又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，
∴∠D＝∠ABC．
∴tan∠D＝＝tan∠ABC＝．
∴CD＝．
又CD（CD+AC）＝AC2，
∴+BC2＝AC2．
∴BC4+AC2 BC2＝AC4．
∴1+（）2＝（）4．
由题意，设（tan∠D）2＝m，
∴（）2＝m．
∴1+m＝m2．
∴m＝．
∵m＞0，
∴m＝．
∴（tan∠D）2＝．
（3）设∠A＝α，
∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，
∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．
如图，连接OM．
∴在Rt△OFM中，OF＝＝．
∴BF＝BO+OF＝1+，AF＝OA﹣OF＝1﹣．
∴在Rt△AFE中，EF＝AF tanα＝（1﹣） tanα，
AE＝＝．
在Rt△ABC中，BC＝AB sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）
AC＝AB cosα＝2cosα．
在Rt△BFN中，BN＝＝，FN＝＝．
∴y＝FE FN
＝x2
＝x2
＝x2
＝x2
＝x．
即y＝x．
∵FM⊥AB，
∴FM最大值为F与O重合时，即为1．
∴0＜x≤1．
综上，y＝x，0＜x≤1．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，解题时要熟练掌握并灵活运用．
8．（2022 荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线：
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）y＝（0＜x＜）；
（4）＜x＜3或＜x≤4．
【点拨】（1）证明OE⊥DE，可得结论；
（2）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法构建方程求出x即可；
（3）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法求出AJ，AE，再利用相似三角形的性质求解即可；
（4）当⊙O与CD相切时，x＝3，当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，结合图形，判断即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°，
∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，
∴∠OED＝∠DAO＝90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2中，当点E落在BD下方时，
在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝＝5，
∵S△ADB＝S△ADO+S△BDO，
∴×3×4＝×3×x+×5×x，
∴x＝．
（3）解：图2中，当点E落在BD上时，
∵DA＝DE，OA＝OE，
∴OD垂直平分线段AE，
∵ AD AO＝ DO AJ，
∴AJ＝，
∴AE＝2AJ＝，
∵AG是直径，
∴∠AEG＝∠ABF＝90°，
∵∠EAG＝∠BAF，
∴△AEG∽△ABF，
∴y＝＝（）2＝＝（0＜x＜）；
（4）当⊙O与CD相切时，x＝3，
当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，
∴x＝，
观察图象可知，当＜x＜3或＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
9．（2023 丹东）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．
（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；
（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．
【答案】（1）AG＝CE，α＝60°，理由见解析；
（2）（1）的结论成立，证明见解析；
（3）△APC的面积为或2．
【点拨】（1）由AG＝AD﹣GD＝2﹣2，CE＝CD﹣DE＝2＝AG，即可求解；
（2）证明△ADG≌△CDE（SAS），进而求解；
（3）证明△BDE、△DGC均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，即可求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，则tan∠AEC＝＝＝，
在△APC中，用解直角三角形的方法即可求解．
【解析】（1）解：AG＝CE，α＝60°，理由：
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，
则AC＝ABtan30°＝2，则BC＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，则BD＝CD＝AD＝2，
则AG＝AD﹣GD＝2﹣2，CE＝CD﹣DE＝2＝AG，
在△ACD中，AD＝CD，∠C＝60°，
则△ACD为等边三角形，则∠ADC＝60°＝α；
（2）（1）的结论成立，理由：
证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，
∵∠ADG+∠GDC＝60°＝∠GDC+∠CDE，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵AD＝CD，GD＝ED，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，∠DCE＝∠DAN，
∵∠ATD＝∠CTN，
∴∠ANC＝∠ADC＝60°＝α；
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，
根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是BC的中点，
则F、G、A共线，此时点G、P共点，
∵∠EDG＝60°，则∠BDE＝60°，
则∠EBC＝∠ECB＝30°，
则∠ACG＝30°+60°＝90°
则BH＝HD＝DM＝CM＝BC＝，
由（1）知△ADC为等边三角形，
由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，
在Rt△ACG中，AC＝2，则CG＝2，
则△APC的面积＝AC GC＝2×2＝2；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：
由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，
在Rt△AEC中，AC＝2，AE＝AB＝BE＝6﹣2＝4，
则tan∠AEC＝＝＝，
设AM＝x，则PM＝x，则CM＝＝＝x，
而AC2＝AM2+CM2，
即12＝3x2+x2，
解得：x＝，
则△APC的面积＝AM PC＝x×（x+x）＝；
综上，△APC的面积为或2．
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键．
10．（2022 湖州）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a＞b．记△ABC的面积为S．
（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．
①若S1＝9，S2＝16，求S的值；
②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2﹣S1＝2S．
（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2﹣S1与S之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）①6；
②见解答过程；
（2）S2﹣S1＝S，理由见解答过程．
【点拨】（1）①由S1＝9，S2＝16，求得b＝3，a＝4，进而求出S＝ab＝6；
②先证明△AFN∽△NAB，得出，进而得出ab+b2＝a2，即可证明S2﹣S1＝2S；
（2）先证明△ABC≌△FBE（SAS），得出AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，求出∠FEC＝30°，利用三角函数得出b＝a，进而得出S＝ab＝a2，利由等边三角形的性质求出，，通过计算得出S2﹣S1＝×，即可证明S2﹣S1＝S．
【解析】（1）①解：∵S1＝9，S2＝16，
∴b＝3，a＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴S＝ab＝＝6；
②证明：由题意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，
∴∠FAH+∠NAB＝90°，
∵FH⊥AB，
∴∠FAH+∠AFN＝90°，
∴∠AFN＝∠NAB，
∴△AFN∽△NAB，
∴＝，即，
∴ab+b2＝a2，
∴2S+S1＝S2，
∴S2﹣S1＝2S；
（2）解：S2﹣S1＝S，
理由：∵△ABF和△CBE都是等边三角形，
∴AB＝FB，CB＝EB，∠ABF＝∠CBE＝60°，
∴∠ABF﹣∠CBF＝∠CBE﹣∠CBF，
∴∠ABC＝∠FBE，
在△ABC和△FBE中，
，
∴△ABC≌△FBE（SAS），
∴AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝90°﹣60°＝30°，
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a，
∴cos∠FEC＝，即cos30°＝，
∴b＝acos30°＝a，
∴S＝ab＝a2，
∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴，，
∴S2﹣S1＝＝﹣＝＝×，
∴S2﹣S1＝S．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
类型2 动态几何中的线段和差问题
1．（2021 淮安）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　AE＝AD　．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有α、m的式子表示），并说明理由．
【答案】见解析
【点拨】【简单应用】证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
【拓展延伸】（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m cos（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【解析】【简单应用】解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
【拓展延伸】解：（1）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m cos（180°﹣α）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC cos（180°﹣α）＝m cos（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m cos（180°﹣α）．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．（2022 郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求AG+GM的最小值；
②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．
【答案】见解析
【点拨】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出∠DCE＝∠AEF，根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）①连接AM，由直角三角形的性质得出MB＝CM＝GM＝，则点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM＝5，则可得出答案；
②方法一：过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性质得出，设AF＝x，则BF＝4﹣x，得出MN＝BF＝（4+x），证明△AFG∽△MNG，得出比例线段，列出方程，解得x＝1，求出AF＝1，由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，得出方程，解得y＝3+或y＝3﹣，则可得出答案．
方法二：过点G作GH∥AB交BC于点H，证明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性质得出，求出GH＝，MH＝，证明△CHG∽△CBF，得出，求出FB＝3，则可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：①连接AM，如图2，
∵BG⊥CF，
∴△BGC是直角三角形，
∵点M是BC的中点，
∴MB＝CM＝GM＝，
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，
当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，
此时，AG+GM取得最小值，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，
∴AG+GM的最小值为5．
②方法一：
如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，
∴△CMN∽△CBF，
∴，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∴MN＝BF＝（4﹣x），
∵MN∥AB，
∴△AFG∽△MNG，
∴，
由（2）可知AG+GM的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴AG＝2，
∴，
解得x＝1，
即AF＝1，
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
方法二：
如图4，过点G作GH∥AB交BC于点H，
∴△MHG∽△MBA，
∴，
由（2）可知AG+MG的最小值为5，
即AM＝5，
又∵GM＝3，
∴，
∴GH＝，MH＝，
由GH∥AB得△CHG∽△CBF，
∴，
即，
解得FB＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝1．
由（1）得，
设DE＝y，则AE＝6﹣y，
∴，
解得：y＝3+或y＝3﹣，
∵0＜6，0＜3﹣＜6，
∴DE＝3+或DE＝3﹣．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2022 甘肃）已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
（1）如图1，连接BE，DE．求证：BE＝DE；
【模型应用】
（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长．
【模型迁移】
（3）如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF．求证：GE＝（﹣1）DE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①△FBG为等腰三角形，理由见解析；
②；
（3）证明见解析．
【点拨】（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；
（2）①先判断出∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；
②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG＝BG＝2，AD＝4，进而求出AH＝3，进而求出FH＝2，最后用勾股定理即可求出答案；
（3）先判断出EF＝BE，由（1）知，BE＝DE，由（2）知，FG＝BF，即可判断出结论．
【解析】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①△FBG为等腰三角形，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝90°，
∴∠AGD+∠ADG＝90°，
由（1）知，△ABE≌△ADE，
∴∠ADG＝∠EBG，
∴∠AGD+∠EBG＝90°，
∵FB⊥BE，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∴∠AGD＝∠FBG，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝FB，
∴△FBG是等腰三角形；
②如图，过点F作FH⊥AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB＝4，
∴AG＝BG＝2，AD＝4，
由①知，FG＝FB，
∴GH＝BH＝1，
∴AH＝AG+GH＝3，
在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH＝∠DGA，
∴tan∠FGH＝tan∠DGA，
∴＝2，
∴FH＝2GH＝2，
在Rt△AHF中，AF＝＝；
（3）∵FB⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
在Rt△EBF中，BE＝BF，
∴EF＝BE，
由（1）知，BE＝DE，
由（2）知，FG＝BF，
∴GE＝EF﹣FG＝BE﹣BF＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键．
4．（2022 十堰）已知∠ABN＝90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α≤90°）．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，线段BF与CF的数量关系是 　BF＝CF　；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若α＝60°，AB＝4，BD＝m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．
【答案】（1）BF＝CF；
（2）成立，见解答；
（3）6﹣m或0或m﹣6．
【点拨】（1）连接AF，先根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（2）连接AF，先说明∠EAC＝∠BAD，然后根据“SAS”证明△ACE≌△ABD，得出∠ACE＝∠ABD＝90°，再证明Rt△ABF≌Rt△ACF，即可得出结论；
（3）先根据α＝60°，AB＝AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可．
【解析】解：（1）BF＝CF；理由如下：
连接AF，如图所示：
根据旋转可知，∠DAE＝α＝90°，AE＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF，
故答案为：BF＝CF；
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AF，
根据旋转可知，∠DAE＝α，AE＝AD，
∵∠BAC＝α，
∴∠EAC﹣∠CAD＝α，∠BAD﹣∠CAD＝α，
∴∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴∠ACF＝90°，
在Rt△ABF与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
∴BF＝CF；
（3）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝4，
①当∠BAD＜60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BP﹣BD＝6﹣m；
②当∠BAD＝60°时，AD与AC重合，如图所示：
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠ADB＝90°﹣∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴此时点P与点D重合，PD＝0；
③当∠BAD＞60°时，连接AF，如图所示：
∵Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
在Rt△ABF中，＝tan30°，
，
即CF＝BF＝4；
根据（2）可知，△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝m，
∴EF＝CF+CE＝4+m，∠FBC＝∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠EFP＝∠FBC+∠FCB＝60°，
又∵∠EPF＝90°，
∴∠FEP＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝EF＝2+m，
∴BP＝BF+PF＝6+m，
∴PD＝BD﹣BP＝m﹣6，
综上，PD的值为6﹣m或0或m﹣6．
【点睛】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解旋转的性质，注意分类讨论思想解题是关键．
5．（2022 辽宁）在 ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+DP＝DE；
（3）点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长．
【答案】见解析
【点拨】（1）连接BD，可知△BDC是等腰直角三角形，再证明△ADP≌△EBP（ASA），得PA＝PE；
（2）过点P作PF⊥CD交DE于点F，首先证明△ADP≌△EFP（ASA），得AD＝EF，再证明△DPF是等腰直角三角形，可得结论；
（3）分点P在线段CD和CD的延长线上两种情形，分别画出图形，利用△ADP≌△EFP（ASA），得AD＝EF，从而解决问题．
【解析】（1）解：连接BP，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，
∵AD＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为CD的中点，
∴DP＝BP，∠CPB＝90°，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，
∴△ADP≌△EBP（ASA），
∴PA＝PE；
（2）证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
又∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，
∴∠PFD＝∠PDF，
∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠PFE＝135°，
∴△ADP≌△EFP（ASA），
∴AD＝EF，
在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，
∵cos∠PDF＝，
∴DF＝，
∵DE＝DF+EF，
∴DA+DP＝DE；
（3）解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
则△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝3，
∴GP＝4，
∴PD＝1，
由（2）得，DA+DP＝DE；
∴3+＝DE，
∴DE＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝4﹣3＝，
当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
同理可得△ADP≌△EFP（AAS），
∴AD＝EF，
∵PD＝PG+DG＝4+3＝7，
∴DF＝PD＝7，
∴BE＝BD+DF﹣EF＝DF＝7，
综上：BE的长为或7．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
6．（2022 河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①9+5π；
②（4﹣3）s；
③．
【点拨】（1）解直角三角形求出QM，再根据AAS证明三角形全等即可；
（2）①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积；
②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，求出∠KDH＝15°，可得结论；
③利用勾股定理求出DE2，再利用相似三角形的性质求出EF，可得结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°，
在Rt△AQM中，∠Q＝90°，∠QAM＝30°，AM＝4，
∴QM＝AM＝2，
∴QM＝DH，
∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°，
在△PQM和△CHD中，
，
∴△PQM≌△CHD（AAS）；
（2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积．
设QQ′交AM于点T．
∵AQ＝QM＝6，QT⊥AM，
∴AT＝AQ cos30°＝3，
∴PQ扫过的面积＝3×3+＝9+5π；
②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，
∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4，
∴KH＝3﹣（9﹣4）＝4﹣6，
∴CK＝4﹣6+6＝4，
∵CD＝2DH＝4，
∴CD＝CK，
∴∠CKD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠KDH＝15°，
∵∠QDK＝30°﹣15°＝15°，
∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长+＝（4﹣3）s；
③如图3中，
在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°，
∴CH＝DH＝6，
∵BH＝3，BE＝d，
∴EH＝|3﹣d|，
∵DH＝2，∠DHE＝90°，
∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2）2，
∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°，
∴△DEF∽△CED，
∴DE2＝EF EC，
∴（3﹣d）2+12＝EF （9﹣d），
∴EF＝，
∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d﹣＝．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
7．（2023 鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．
（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是 　垂直　，＝　　．
（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．
（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．
【答案】（1）垂直，；
（2）证明过程详见解析；
（3）CN＝或．
【点拨】（1）连接BF并延长交AC于R，可推出∠AED＝∠ABD＝45°，从而A、B、E、D共圆，从而∠ABE＝90°，从而得出AB与BE垂直，可证得△BEF≌△RAF，从而BF＝RF，从而得出RB∥FG，FG＝，进一步得出结果；
（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，可推出∠AED＝∠ABC＝60°，从而点A、E、B、D共圆，从而得出∠ABE＝∠ADE＝90°，可推出FG⊥BC，进而得出EH∥FG∥AQ，进而得出FG是梯形AEHQ的中位线，从而EH+AQ＝2FG，变形得，可推出DQ＝EH，CQ＝AQ，进一步得出结论；
（3）分两种情形：当点D在BC上时，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，可推出△DHE∽△AQD，从而＝，从而求得EH，BH，CH及CE，在Rt△BCX中可求得BX，EX，根据BN∥CX得出，进一步得出结果；当点D在BC的延长线上时，作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，同样的过程得出结果．
【解析】（1）解：如图1，
连接BF并延长交AC于R，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
同理可得：∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠ABD，
∴A、B、E、D共圆，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AB与BE垂直，
∵F是AE的中点，
∴BF＝DF＝AE，
∵G是BD的中点，
∴FG⊥BC，
∵∠ABE+∠BAC＝90°+90°＝180°，
∴BE∥AC，
∴∠EAR＝∠FEB，
∵∠AFR＝∠BFE，AF＝EF，
∴△BEF≌△RAF（ASA），
∴BF＝RF，
∴RD∥FG，FG＝，
∵FG⊥BC，
∴RD⊥BC，
∵∠C＝45°，
∴CD＝RD，
∴FG＝，
故答案为：垂直，；
（2）证明：如图2，
作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADE＝90°，，
∴∠AED＝60°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴点A、E、B、D共圆，
∴∠ABE＝∠ADE＝90°，
∵F是AE的中点，
∴BF＝DF＝AE，
∴FG⊥BC，
∴EH∥FG∥AQ，
∴，
∴HG＝QG，
∴FG是梯形AEHQ的中位线，
∴EH+AQ＝2FG，
∴，
∵∠H＝90°，∠EBH＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝30°，
∴BH＝EH，
∵HG＝QG，BG＝DG，
∴BH＝DQ，
∴DQ＝EH，
∵∠AQC＝90°，∠C＝60°，
∴CQ＝AQ，
∴DQ+3CQ＝2FG，
∴（DQ+CQ）+2CQ＝2FG，
∴BC+CD＝2FG；
（3）解：如图3，
当点D在BC上时，
作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，BQ＝CQ＝BC＝3，
∴DQ＝CD﹣CQ＝2，AQ＝AC＝3，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDH+∠ADQ＝90°，
∵∠H＝∠ADQ＝90°，
∴∠ADQ+∠DAQ＝90°，
∴∠EDH＝∠DAQ，
∴△DHE∽△AQD，
∴＝，
∴EH＝＝，
∴BE＝2EH＝，BH＝EH＝2，
∴CH＝BH+BC＝8，
∴CE＝＝，
在Rt△BCX中，BC＝6，∠BCX＝∠EBH＝30°，
∴BX＝6 cos30°＝3，
∴EX＝EB+BX＝，
∵BN∥CX，
∴，
∴，
∴CN＝，
如图4，
当点D在BC的延长线上时，
作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，
由上可知：AQ＝3，CQ＝3，△DHE∽△AQD，
∴DQ＝CQ+CD＝8，＝，
∴EH＝DQ＝，
∴BH＝EH＝8，BE＝2EH＝，
∴CH＝BH﹣BC＝2，
∴CE＝＝＝，
∵BX＝BC＝3，
∴EX＝BE﹣BX＝，
∵BN∥CX，
∴，
∴
∴CN＝，
综上所述：CN＝或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和垂直，直角三角形的性质，梯形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造梯形的中位线．
8．（2023 重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．
【答案】（1）AD＝5；
（2）证明见解析；
（3）．
【点拨】（1）在Rt△ABC中，由∠B＝60°，AC＝9，可得BC＝＝3，AB＝2BC＝6，即得AD＝AB﹣BD＝5；
（2）取AB的中点O，连接OC，证明△BOC 为等边三角形，得CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，可得△OCD≌△BCE（SAS），有∠EBC＝∠DOC＝120°，故OC∥BE，在GF上截取 HF＝BF，连接DH，可证△BEF≌△HDF（SAS），得BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，有DH∥BE，DH∥OC，可得∠HDG＝∠OCD，知∠G＝∠HDG，HG＝HD，从而HG＝BE，GF＝HG+FH＝BE+BF；
（3）取AB的中点S，连接PS，在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，用面积法得CD＝＝a，BD＝BC＝a，证明△BCD≌△BCE（SAS），知BD＝BE＝a，根据将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，有BE＝BN＝a，故N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，又PS＝BN＝a，故P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，可得△BSC是等边三角形，∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，而CP＝CS+PS＝2a+a＝a，可求得PT＝CP＝a，CT＝PT＝a，AT＝AC﹣CT＝a，连接PQ交NR于W，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，知PQ⊥BC，故即PW∥AR，PW是△ANR的中位线，同理可得PT是△ANR的中位线，即可得PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，根据将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，得CP＝CQ，∠QCP＝120°，有PQ＝CP＝a，即得WQ＝PQ﹣PW＝a，从而NQ＝＝a，＝．
【解析】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AC＝9，
∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6
∵BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝5；
（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：
在Rt△ABC 中，点O为斜边AB的中点，
∴OC＝OB，
∵∠ABC＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，
∴∠OCD＝∠BCE，
在△OCD和△BCE 中，
，
∴△OCD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠DOC＝120°，
∴∠OCB+∠EBC＝180°，
∴OC∥BE，
在GF上截取HF＝BF，连接DH，
∵点F是DE的中点，
∴FE＝FD．
在△BEF和△HDF中，
，
∴△BEF≌△HDF（SAS），
∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，
∴DH∥BE，
∴DH∥OC，
∴∠HDG＝∠OCD，
又∠G＝∠BCE，
∴∠G＝∠HDG，
∴HG＝HD，
∴HG＝BE，
∴GF＝HG+FH＝BE+BF；
（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：
在CD取得最小值时，CD⊥AB，
设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，
∵2S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，
∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCE（SAS），
∴BD＝BE＝a，
∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，
∴BE＝BN＝a，
∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，
∵点P为AN的中点，S为AB的中点，
∴PS＝BN＝a，
∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，
当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：
∵S是AB中点，
∴BS＝AS＝CS＝AB＝2a，
∵∠ABC＝60°，
∴△BSC是等边三角形，
∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，
∴∠PCA＝30°，
∵CP＝CS+PS＝2a+a＝a，
∴PT＝CP＝a，CT＝PT＝a，
∴AT＝AC﹣CT＝a，
连接PQ交NR于W，如图：
∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴PQ⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴PQ∥AC，即PW∥AR，
∵P为AN中点，
∴PW是△ANR的中位线，
∴NW＝RW＝NR，
同理可得PT是△ANR的中位线，
∴PT＝NR，
∴PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，
∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ，
∴∠QCP＝120°，
∴PQ＝CP＝a，
∴WQ＝PQ﹣PW＝a﹣a＝a，
∴NQ＝＝＝a，
∴＝＝．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，对称变换，最短路径等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．
9．（2023 十堰）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．
（1）如图1，若∠CDP＝25°，则∠DAF＝　20°　；
（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF＝a，EF＝b，请直接用含a，b的式子表示DF的长．
【答案】（1）20°；
（2）；
（3）或 或 ．
【点拨】（1）如图，连接CE，DE，由对称知∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED，由四边形ABCD是正方形得AD＝CD，所以AD＝ED，从而；
（2）如图，连接CF，DE，AC，CE，交DP于点H，由轴对称知，CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF，可证得∠AFC＝90°，由勾股定理得，Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝AF2+EF2，Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，从而 ；
（3）由勾股定理，，分情况讨论：当点F在D，H 之间时，；当点D在F，H之间时， 点H在F，D之间时，．
【解析】解：（1）如图，连接CE，DE，
∵点C关于直线DP的对称点为点E，
∴CD，ED关于DP对称，∠CDP＝∠EDP＝25°，CD＝ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
∴AD＝ED，
∴．
故答案为：20°；
（2）结论：．
理由：如图，连接DE，CE，AC，CF．
由轴对称知，CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF，
而∠DEF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DCF．
∵∠FAC+∠FCA＝∠FAC+∠DAF+∠DCA＝90°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，
在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝AF2+EF2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
2CD2＝AF2+EF2，即；
（3）∵∠AFC＝90°，CF＝EF＝b，
∴，
∵，
∴．
如图，当点F在D，H之间时，，
如图，当点D在F，H之间时，，
如图，当点H在F，D之间时，．
【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾 股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键．
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