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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题31 最值问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中的最值问题是近几年各地中考中以选择题、填空题、解答题的形式进行考查，多数题目难度较大，属于压轴题，考查涉及到的知识点涉及三角形基本性质、相似三角形、三角函数、四边形的性质、圆的基本性质、二次函数的性质等，考查的热点有利用函数或不等式的性质求最值、利用图形的位置关系求最值。
考点剖析☆典型例题
例1（2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
【答案】（1）S＝（0＜x＜4），
（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
【点拨】（1）过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，证明△AOC是等边三角形，可得DE＝x，进而证明△CDF∽△COB，得出DF＝（4﹣x），根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据二次函数的性质即可求解．
【解析】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，
∵顶点A的坐标为（2，2），
∴OA＝，OG＝2，AG＝2，
∴cos∠AOG＝＝，
∴∠AOG＝60°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵DE⊥OB，
∴DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴ED＝OD＝x，
∵DF∥OB，
∴△CDF∽△COB，
∴，
∵A（2，2），AO＝4，则B（6，2），
∴OB＝，
∴＝，
∴DF＝（4﹣x），
∴S＝＝，
∴S＝（0＜x＜4），
（2）∵S＝＝（0＜x＜4），
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，特殊角的三角函数，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题关键．
例2（2023 淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 　等腰直角三角形　．
（2）深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．
【答案】（1）等腰直角三角形；
（2）探究一：；
探究二：DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
【点拨】（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，由AC＝CF，可知△ACF是等腰三角形，再由△ABC≌△FGC（SAS），推导出∠ACF＝90°，即可判断出△ACF是等腰直角三角形，
（2）探究一：证明△CDM≌△FGM（AAS），可得CM＝MF，再由等腰三角形的性质可得AD＝DF，在Rt△CDM中，CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，则MF＝，即可求△CMF的面积＝2×＝；
探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，分别得出四边形MHPD是平行四边形，四边形HNCP是平行四边形，则∠MHN＝90°，可知H点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为T，DT＝＝，所以DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，
在Rt△CFG中，CF＝，
∵AB＝GF，BC＝CG，
∴AC＝CF，
∴△ACF是等腰三角形，
∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，
∴△ABC≌△FGC（SAS），
∴∠ACG＝∠GFC，
∵∠GCF+∠GFC＝90°，
∴∠ACG+∠GCF＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，
∴△CDM≌△FGM（AAS），
∴CM＝MF，
∵AC＝CF，CD⊥AF，
∴AD＝DF，
∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，
∴DM＝4﹣CM，
在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，
∴CM2＝22+（4﹣CM）2，
解得CM＝，
∴MF＝，
∴△CMF的面积＝2×＝；
探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，
∵H是AE的中点，
∴MH∥DE，且MH＝DE，
∵CD＝CE，
∴CP⊥DE，DP＝PE，
∵MH∥DP，且MH＝DP，
∴四边形MHPD是平行四边形，
∴MD＝HP，MD∥HP，
∵AD∥BC，MD＝CN，
∴HP∥CN，HP＝CN，
∴四边形HNCP是平行四边形，
∴NH∥CP，
∴∠MHN＝90°，
∴H点在以MN为直径的圆上，
设MN的中点为T，
∴DT＝＝，
∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
方法二：设AC的中点为T，连接HT，
∵HT是△ACE的中位线，
∴HT＝CE＝1，
∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，
∵DT＝＝，
∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 利用函数或不等式的性质求最值
1．（2023 辽宁）如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　　．
【答案】．
【点拨】连接CF，证明ACF为直角三角形，根据勾股定理列出AF2＝CF2+AC2，设BC＝x，则AC＝8﹣x，建立关于x的二次函数关系式，求出x＝2时，AF最小，再求出顶角是120°的三角形BCD的面积即可．
【解析】解：连接CF，则CF＝DF＝EF，
∵∠EDC＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠FCD＝60°．
∵∠DCB＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴△ACF是直角三角形．
设BC＝x，则AC＝8﹣x，BC＝BD＝x，CD＝CF＝x，由勾股定理得：
AF＝＝＝2．
当x＝2时，AF有最小值．
∴BC＝BD＝2，∠CBD＝120°，
∴S△BCD＝×2×2×＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120°的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．
2．（2023 无锡）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（　　）
A． B． C． D．10
【答案】B
【点拨】过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，根据直角三角形的性质得到，求得，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，
∵∠D＝60°，CD＝2，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，
∴MN显然在点B的上方（中间位置时），
设MF＝x，FN＝1﹣x，
∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x﹣）2+，
∴当x＝时，BM2+2BN2的最小值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2022 绵阳）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
（3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）当0≤x≤2时，y＝x2；当2≤x≤时，y＝﹣x2+x+x；当≤x≤2时，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值为2+；
（3）EF∥BD．
【点拨】（1）延长DF交CB的延长线于G，证明△AFD∽△BFG，则＝，求出BG的长，再由AD∥CG，则＝，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，过点E作EH⊥AB交于H，y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；此时当x＝2时，y有最大值3；当2≤x≤时，E点在BD上，F点在AB上，过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，y＝×AF×EN＝﹣x2+x+x；当x＝时，y有最大值2+；当≤x≤2时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，y＝×AB×（EQ﹣PF）＝6+2﹣x﹣x；此时当x＝时，y有最大值2+；
（3）连接DH，求出AH＝1，可得AH⊥AB，由直角三角形的性质可得HM＝DM＝MF，则EM＝DF，可得EF∥BD．
【解析】解：（1）延长DF交CB的延长线于G，
∵平行四边形ABCD中，
∴CG∥AD，
∴∠A＝∠GBF，
∴△AFD∽△BFG，
∴＝，
∵运动时间为秒，
∴AF＝，
∵AB＝4，
∴BF＝，
∵AD＝2，
∴BG＝1，
∴CG＝3，
∵AD∥CG，
∴＝，
∵AE＝，
∴ED＝，
∴＝；
（2）当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，
由题意可知，AE＝x，AF＝x，
∵DB＝2，AB＝4，AD＝2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，
过点E作EH⊥AB交于H，
∴EH＝AE sin60°＝x，
∴y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；
此时当x＝2时，y有最大值3；
当2≤x≤时，E点在BD上，F点在AB上，
过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，
∵AD+DE＝x，AD＝2，
∴DE＝x﹣2，
∵BD＝2，
∴BE＝2﹣x+2，
在Rt△ABD中，DM＝，
∵EN∥DM，
∴＝，
∴＝，
∴EN＝1+﹣x，
∴y＝×AF×EN＝×（x）×（1+﹣x）＝﹣x2+x+x；
此时当x＝时，y有最大值2+；
当≤x≤2时，过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，
∴AB+BF＝x，DA+DE＝x，
∵AB＝4，AD＝2，
∴BE＝2﹣x+2，BF＝x﹣4，
∵PF∥DM，
∴＝，即＝，
∴PF＝x﹣2，
∵EQ∥DM，
∴＝，即＝，
∴EQ＝+1﹣x，
∴y＝×AB×（EQ﹣PF）＝×4×（+1﹣x﹣x+2）＝6+2﹣x﹣x；
此时当x＝时，y有最大值2+；
综上所述：当0≤x≤2时，y＝x2；当2≤x≤时，y＝﹣x2+x+x；当≤x≤2时，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值为2+；
（3）连接DH，
∵AH＝HB，AB＝4，
∴AH＝1，
∴DH⊥AB，
∵M是DF的中点，
∴HM＝DM＝MF，
∵EM＝HM，
∴EM＝DF，
∴△EDF是直角三角形，
∴EF⊥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF∥BD．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
4．（2023 呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP＝时，求BP的长；
②求的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①BP的长为或；
②的最大值为．
【点拨】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC＝90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC＝MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC＝∠MCD，进而可得∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，再利用切线的判定定理即可证得结论；
（2）①分两种情况：当点P在线段BC上时，过点P作PT⊥AB于点T，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；当点P在CB的延长线上时，过点B作BK⊥AP于点K，运用勾股定理和解直角三角形即可；
②设CP＝n，则AP＝＝，利用面积法可得CQ AP＝AC CP，得出CQ＝＝，即＝，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案．
【解析】（1）证明：如图，连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点M为边BC的中点，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
设PT＝x，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴PT＝，
∵sin∠ABC＝＝，即＝，
∴BP＝；
当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
设BK＝a，则AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴AK＝3，BK＝，
∵S△ABP＝AP BK＝BP AC，
∴＝＝，
设BP＝m，则AP＝m，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（m）2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴BP＝；
综上所述，BP的长为或；
②设CP＝n，则AP＝＝，
如图，∵AC是⊙O的直径，
∴CQ⊥AP，
∵CQ AP＝AC CP，
∴CQ＝＝，
∴＝，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴＝≤＝，
∴的最大值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面积，乘法公式和不等式性质等．熟练掌握圆的相关性质和解直角三角形等是解题关键．
5．（2022 广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）6
（2）①7；
②是，最小值为12．
【点拨】（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据菱形120°内角得邻补角是60°，利用三角函数即可解答；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，因为利用即可求解S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
②设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，所以四边形EMHY、FNHG是矩形，对边相等，方法同①，用含x的式子表示计算面积需要的各边长并代入到S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．在计算CE+CF的最小值时，有两种方法，参照解答过程．
【解析】解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中，
DH＝AD sin∠DAH＝6×＝3，
AH＝AD cos∠DAH＝6×＝3，
∴BD＝＝＝6；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC cos∠ABC＝6×＝3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA＝ABC＝30°，
在Rt△BEM中，
ME＝BM tan∠DBM＝3×＝，
BE＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF sin∠FAN＝4×＝2，
AN＝AF cos∠FAN＝4×＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM BM+（EM+FN） MN﹣AN FN
＝3+（+2）×5﹣2×2
＝+﹣2
＝7；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由①可知：ME＝BE＝x，
BM＝BE＝x，
AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，
FN＝AF＝，
CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝x，
GH＝FN＝，
EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM BM+（EM+FN） MN﹣AN FN
＝x×x+（x+） （9﹣2x）﹣（3﹣x）
＝x2﹣x+9
＝（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，
方法一：CE+CF＝+
＝+
＝+×
＝+×
＝+，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，
∴CE+CF＝+≥12，
当且仅当x＝3时，CE+CF＝12，即当x＝3时，CE+CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，
∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴＝＝，即GE＝CF，
∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
解法二：如图，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取点F，连接DF，使得△DFM∽△BEC．
则有CE＝FM，作点M关于AD的对称点M′，
∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），
∴C，F，M′共线时，最小，
此时DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值为12．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．
类型三 利用图形的位置关系求最值
1．（2022 泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【点拨】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解析】解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
2．（2023 辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 　　．
【答案】．
【点拨】当DF⊥AB'时，BF有最大值，即点E与点F重合，由勾股定理可求CE的长，可求BE＝B'E＝4，通过证明△EB'H∽△EDC，即可求解．
【解析】解：如图，过点B'作BH⊥BC于H，
∵点B关于直线AE的对称点B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，
当DF⊥AB'时，BF有最大值，
∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，
∴AD＝DE＝10，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝4＝B'E，
∵B'H⊥BC，DC⊥BC，
∴B'H∥CD，
∴△EB'H∽△EDC，
∴，
∴，
∴HB'＝，
∴点B′到BC的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点F的位置是解题的关键．
3．（2023 雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 　3　．
【答案】3．
【点拨】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．
【解析】解：如图，连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB＝＝＝6，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四边形CDPE是矩形，
∴DE＝CP，
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，
此时，AP＝BP，
∴CP＝AB＝3，
∴DE的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
4．（2023 广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　　．
【答案】见解析
【点拨】首先证明出MN是△AEF的中位线，得出 ，然后由正方形的性质和勾股定理得到 ，证明出当BE最大时，AE最大，此时MN最大，进而得到当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，最后代入求解即可．
【解析】解：如图所示，连接AE，
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时 ，
∴，
∴MN的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．（2023 乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【点拨】判断三角形OCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．
【解析】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，
∵CD＝，OC＝OD＝1，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴△OCD为等腰直角三角形，
由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝2，OQ＝，
由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，
∵P为中点，
∴OP＝，
∴PQ＝OP+OQ＝，
∴S△ABP＝AB PQ＝3．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．
6．（2021 贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【点拨】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
【解析】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．
7．（2023 德阳）如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【点拨】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
8．（2022 毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 　　．
【答案】．
【点拨】方法一：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，证明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性质得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．
方法二：过点A作AE⊥BC垂足为E 当PQ⊥BC时，符合题意，则四边形AEPQ是矩形，可求出PQ＝AE＝2.4．
【解析】解：方法一：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：过点A作AE⊥BC垂足为E 当PQ⊥BC时，符合题意，则四边形AEPQ是矩形，
∴PQ＝AE＝2.4．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
9．（2022 黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　　．
【答案】
【点拨】连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，从而可得OP＝O′P，此时OP+PE的值最小，先利用菱形的性质可得AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，从而可得△ADB是等边三角形，进而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，进而利用直角三角形斜边上的中线可得OE＝OA＝AC＝，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得OE∥AB，从而求出∠EOF＝90°，进而在Rt△AOF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，即可求出OO′的长，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解析】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴OD＝BD＝，
∴AO＝＝＝，
∴AC＝2OA＝3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝AC＝，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB＝∠DAB＝30°，
∴OF＝OA＝，
∴OO′＝2OF＝，
在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，
∴OP+PE＝，
∴OP+PE的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2023 菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【点拨】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．
【解析】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴，
∴，
∴线段BF的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．
11．（2022 泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣2
【答案】D
【点拨】如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解析】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值为﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．（2021 陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　6　．
【答案】6．
【点拨】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【解析】解：如图，
当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．
13．（2022 日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 　2　．
【答案】2．
【点拨】如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，可证得△BAP≌△OAF（SAS），得出BP＝OF，当BP⊥x轴时，BP最小值为2，故OF的最小值为2．
【解析】解：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，
过点B作BP′⊥x轴于点P′，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝AF，∠PAF＝60°，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，
∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，
在△BAP和△OAF中，
，
∴△BAP≌△OAF（SAS），
∴BP＝OF，
∵P是x轴上一动点，
∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，
∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，
∴BP′＝OB＝×4＝2，
∴OF的最小值为2，
故答案为2．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
14．（2022 鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
【答案】（1）B（8，6）；
（2）P（，6）；
（3）P（，6）；
（4）OG的最小值为4，线段FP扫过的面积．
【点拨】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可；
（3）如图2中，设PA′交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论；
（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．证明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小．
【解析】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（3）如图2中，设PA′交OB于点T．
∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．
∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，FP＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四边形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OR＝+＝，
∴OW＝OR sin60°＝4，
∴OG的最小值为4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等边三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴线段FP扫过的面积＝＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
15．（2022 广西）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；
（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD＝，OD′＝，进而得出结论；
（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；
（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．
【解析】解：（1）OD＝OD′，理由如下：
在Rt△AOB中，点D是AB的中点，
∴OD＝，
同理可得：OD′＝，
∵AB＝A′B′，
∴OD＝OD′；
（2）如图1，
作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′，交AB于D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′＝AB＝6，
OC最大＝CO′＝CD+DO′＝+BO′＝3+3；
（3）如图2，
作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，
∴AI＝＝3，∠AOB＝，
则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，
此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB，
∵OC＝CI+OI＝AB+3＝3+3，
∴S△AOB最大＝＝9+9，
∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．
16．（2022 阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；
②2．
【点拨】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
②作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，证明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°．
∵DE＝DF，∠EDF＝90°．
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．
∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°．
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∴∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△AMB≌△CNB．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，
此时△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH．
∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，
∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．
∴BM最小值＝AH最小值＝．
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小值＝．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
17．（2022 南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或；
（3）．
【点拨】（1）如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，证明△ABE≌△AMF（AAS），可得结论；
（2）利用勾股定理求出BE＝，利用全等三角形的性质推出FM＝BE＝，再利用勾股定理求出CF即可；
（3）分两种情形：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．证明点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，求出DH即可．当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．证明△ADE≌△ARF（SAS），推出∠ADE＝∠ARF＝90°，推出点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，可得结论．
【解析】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，
∴BE＝＝＝，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝＝＝．
当点E在CD上时，作FH⊥AC于点H，可证DE＝AD＝AH＝FH＝3，CH＝2，
可得CF＝＝＝．
综上所述，CF的值为或；
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MJ＝，CJ＝，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴DF的最小值为．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．
∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD cos∠BAC＝3×＝，
∵AR＝AD＝3，
∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，
∴DF的最小值为，
∵＜，
∴DF的最小值为．
解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，得到AT，连接DT，ET，DF．
证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为．
当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
18．（2023 济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
【答案】（1）∠BDC＝60°，；
（2）；
（3）4．
【点拨】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由锐角三角函数可求MF＝BE＝x，DG＝2+x，利用（1）的结论可求解；
（3）通过证明△AGC 是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋转的性质可得PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，则当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，即可求解．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，
∴，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴；
（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，
∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴，
∴，
设 DM＝x，则 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知：，
∴，
解得 x＝1，
∴；
（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，
矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝4，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，
∴，
∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，
此时为 ．
【点睛】本题是相似综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题31 最值问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中的最值问题是近几年各地中考中以选择题、填空题、解答题的形式进行考查，多数题目难度较大，属于压轴题，考查涉及到的知识点涉及三角形基本性质、相似三角形、三角函数、四边形的性质、圆的基本性质、二次函数的性质等，考查的热点有利用函数或不等式的性质求最值、利用图形的位置关系求最值。
考点剖析☆典型例题
例1（2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
例2（2023 淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 　 　．
（2）深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．
考点过关☆专项突破
类型一 利用函数或不等式的性质求最值
1．（2023 辽宁）如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　　．
2．（2023 无锡）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（　　）
A． B． C． D．10
3．（2022 绵阳）如图，平行四边形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，动点E、F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；
（2）如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？
（3）如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM，并说明理由．
4．（2023 呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP＝时，求BP的长；
②求的最大值．
5．（2022 广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
类型二 利用图形的位置关系求最值
1．（2022 泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
2．（2023 辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 　　．
3．（2023 雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 　　．
4．（2023 广西）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　　．
5．（2023 乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
6．（2021 贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023 德阳）如图， ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
8．（2022 毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 　　．
9．（2022 黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　　．
10．（2023 菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　　．
11．（2022 泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣2
12．（2021 陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　　．
13．（2022 日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是 　 　．
14．（2022 鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
15．（2022 广西）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；
（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．
16．（2022 阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
17．（2022 南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
18．（2023 济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
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