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2023—2024学年第二学期学期调研卷
九年级 数学
（分值：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是( )．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的性质分析，即可得到答案．
【详解】的倒数是
故选：B．
【点睛】本题考查了倒数的知识；解题的关键是熟练掌握倒数的性质，从而完成求解．
2. “学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（ ）
A. 126300000 B. 12630000 C. 1263000000 D. 1263000
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，将还原成即可求解；掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故选：A．
3. 代数式可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】解：，
故选：C．
4. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．
5. 在单词“”中任意选择一个字母，选中字母为“a”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．用a的个数除以字母的总个数即可．
【详解】解：∵单词“”中共有11个字母，其中a有2个，
∴选中字母为“a”的概率为．
故选B．
6. 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边与半圆交于点C，直角边与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为，则点D在量角器上的读数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同弧的圆心角和圆周角的关系，三角形内角和定理等知识，熟练掌握同弧的圆心角和圆周角的关系是解题的关键．
根据题意先求出的度数，进而求出，然后根据三角形内角和得出的度数，即可得出点D在量角器上的读数．
【详解】解：连接，，如图所示，
点C在量角器上的读数为，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
则点D在量角器上的读数为，
故选：D．
7. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别求出各不等式解集，再求其公共解集即可．
【详解】解不等式2x－5＜1得：x＜3，
解不等式3x＋1≥2x得：x≥－1，
∴不等式组的解集为：－1≤x＜3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组解集的方法，熟知实心点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
8. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义，由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出，，由等角对等边得出，，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
的平分线分别交边于点，
，，
，，
，，
，
故选：B．
9. 嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）
A. 高，中线，角平分线 B. 高，角平分线，中线
C. 中线，高，角平分线 D. 高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，
图③中，线段是的中线，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
10. 如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=2．
由勾股定理得：DE=．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴，即，解得：．
∴BF+CM=．
故选A．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若x和y互为倒数，则___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，注意互为倒数即相乘为1，先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果即可．
【详解】解：
，
∵x和y互为倒数，
∴，
，
故答案为：4．
12. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
13. 如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵是角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数经过点，且．
（1）______；
（2）连接，则______．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理：
（1）先求出，进而得到，过点A作于E，则是等腰直角三角形，可得，则，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
过点A作于E，则是等腰直角三角形，
∴，
∴，
把代入中得：，
故答案为：；
（2）由（1）得，，
∴
，
故答案为：4．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则对原式进行化简，再将的值代入即可求解．
【详解】解：原式=
；
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，以及特殊角的三角函数值．
16. 某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
【答案】该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解决本题的关键．
设去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，根据题意得，解方程组得出计划线上线下的利润，再计算实际利润即可．
【详解】解：设去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，
根据题意得，解得，
∴万元，万元．
答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元．
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 按要求画图．
（1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形；
（2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形．
（3）连接，、，则的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）15
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）分别作出的对应点即可；
（3）利用割补法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示；
【小问3详解】
解：的面积为，
故答案为：15．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：__________．
（2）写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据前个等式的规律求解此题；
（2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解．
【小问1详解】
解：∵第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
∴第个等式：，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）可得：
第个等式：，
证明如下：
∵左边
右边，
∴等式成立，
故答案为：．
【点睛】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数．
【答案】（1）点到地面的高度为；
（2）．
【解析】
【分析】（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案；
（2）由（1）可知，四边形矩形，则，可得，进而可得，求得，由，可得，由可得答案．
【小问1详解】
解：过点作于H，延长交于，
则四边形为矩形，
∴，，
则，
∴点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
【小问2详解】
由（1）可知，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求长．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，由得到，得，于是得到结论；
（2）设的半径为r，则，由得到关于r的方程，即可求出半径，进而求出的长．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：在中，，
由题意得，，
设的半径为r，则，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______；
（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）见解析 （2）20，144°；
（3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据D组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以C的百分比求出人数,然后补全条形统计图即可；
（2）用A的人数12除以60，再乘以百分比即可得到a值；用乘以百分比得到圆心角的度数；
（3）用A加B的人数和与60的比乘以2000即可得到答案；
（4）列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：本次抽样的学生人数为：（人），
组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
．
【小问2详解】
解：组所占的百分比为：，
，
圆心角的度数为：．
故答案为：20，144°．
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名．
【小问4详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种．
恰好选中甲和乙的概率为．
七、（本题满分12分）
22. 定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
（1）①写出一种你学过的伪矩形： ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
（2）如图1，在伪矩形中，，，，求的长．
（3）如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积．
【答案】（1）①等腰梯形；②C
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据题意，写出对角线相等的四边形，例如等腰梯形，即可求解；
②根据中位线的性质可得，进而根据伪矩形的定义，可得，进而即可得出结论；
（2）根据伪矩形的定义，可得，进而勾股定理，即可求解．
（3）作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
【小问1详解】
①写出一种你学过的伪矩形：等腰梯形；
故答案为：等腰梯形．
②如图所示，伪矩形中，，
分别为四边中点，
∴
∴
∴四边形是菱形；
∴顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是菱形，
故选：C．
【小问2详解】
在伪矩形中，
，，，
；
【小问3详解】
解：作，垂足为，
伪矩形中，，，
，
，，，
，，
，
这个伪矩形的面积为
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
备用图
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．
（3）在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，点P的坐标为，的面积最大值为；
（3）存在，N点坐标为或或．
【解析】
【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题；
（2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值；
（3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题．
【小问1详解】
解：将点，代入中，
有，解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
如图，过点P作轴，交于点Q，
设直线的解析式为，把，代入，
可得，解得，
直线的解析式为，
设点，则点，
点P在直线的下方，
，
，
当时，有最大值，最大值4，
此时点P的坐标为，
的面积最大值为；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点，
设N点坐标为，P点坐标为，
以点B，C，P，N为顶点的平行四边形：
①当，为对角线时，
，且，解得，，
此时N点坐标为；
②当，为对角线时，
，且，解得，，
此时N点坐标为；
③以，为对角线时，
，且，解得，，
此时N点坐标为．
综上，N点坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2023—2024学年第二学期学期调研卷
九年级 数学
（分值：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是( )．
A. B. C. D.
2. “学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（ ）
A. 126300000 B. 12630000 C. 1263000000 D. 1263000
3. 代数式可表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A B. C. D.
5. 在单词“”中任意选择一个字母，选中字母为“a”的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为，等腰直角三角尺的一顶点与点B重合，它的斜边与半圆交于点C，直角边与半圆交于点D．若点C在量角器上的读数为，则点D在量角器上的读数为（ ）
A. B. C. D.
7. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A B. C. D.
8. 如图，四边形是平行四边形，的平分线分别交边于点．若，则的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）
A. 高，中线，角平分线 B. 高，角平分线，中线
C 中线，高，角平分线 D. 高，角平分线，垂直平分线
10. 如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
A. B. C. 3 D. 4
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若x和y互为倒数，则___________．
12. 分解因式：3a2﹣12=___．
13. 如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为____________．
14. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数经过点，且．
（1）______；
（2）连接，则______．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求代数式的值，其中．
16. 某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 按要求画图．
（1）将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的图形；
（2）将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的图形．
（3）连接，、，则的面积为______．
18. 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：__________．
（2）写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）
（1）求点P到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数．
20. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，．
（1）求证：是切线．
（2）若，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______；
（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读总时间少于24小时的学生有多少名？
（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
七、（本题满分12分）
22. 定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．
（1）①写出一种你学过的伪矩形： ．
②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．无法确定
（2）如图1，在伪矩形中，，，，求的长．
（3）如图2，在伪矩形中，，，，，求这个伪矩形的面积．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
备用图
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．
（3）在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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