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2016年高考数列与不等式专题分析
黄石一中 彭福来程荷花
一、数列部分
1．考点分析
数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题，对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前n项和公式，对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题，甚至是压轴题, 一般控制在之间．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：
内　　　　　容
知识要求
了解（A）
理解（B）
掌握（C）
数列
数列的概念
数列的概念
√
数列的简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式）
√
等差数列、等比数列
等差数列、等比数列的概念
√
等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式
√
等差数列、等比数列的简单应用
√
具体要求如下：
（1）数列的概念和简单表示法：①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；②了解数列是自变量为正整数的一类函数．
（2）等差数列、等比数列：① 理解等差数列、等比数列的概念；② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
全国课标卷近三年来的命题趋势呈现以下特点：回归课本重基础，回避技巧重通法，强调运算重交汇．根据全国卷求稳的特点，估计全国卷明年的数列知识考查仍在“通项公式求法与前项和公式应用”中命制，可能与函数交汇，或仍与不等式交汇出题，但在不等式的证明时，理科可能涉及到与数学归纳法知识交汇出题．
考题回顾
考题1（2014·全国理科Ⅱ卷·第17题）已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
【考点分析】等比数列，数列放缩
解析： （I）由得。
又，所以是首项为，公比为3的等比数列。
，因此的通项公式为.
（Ⅱ）由（I）知
因为当时，，所以。
于是。
所以
【点评】本题主要考查构造等比数列求一般数列，利用放缩求和来证明不等式
考题2（2015·全国理科Ⅰ卷·第17题）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
【考点分析】数列的和与项的关系，等差数列的定义
解析：（I）由题设，
两式相减得 由于，所以 （II）由题设，，，可得
由（I）知，令，解得故，由此可得
是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，.
所以，.
因此存在，使得数列为等差数列.
【评析】本题主要考查了等差数列的定义.要求学生对数列的奇数项和偶数项有着较为深刻理解
考题3 （2015·全国理科Ⅰ卷·第7题）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）
（A）（B）（C）（D）
【考点分析】等差数列通项公式及前n项和公式．
解析：∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.
【评析】本题主要考查了等差数列的求和公式以及通项公式
考题3 （2012·全国理科Ⅰ卷·第5题）已知等差数列/的前/项和为/，则数列/的前100项和为
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点分析】等差数列通项公式及前n项和公式．
解析：由/可得
/
/
/
【评析】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，要求学生对裂项有一定的认识
4．命题预测
1．设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )
A.为递减数列 B. 为递增数列
C.为递增数列,为递减数列 D. 为递减数列/,为递增数列
【答案】B
2．如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.
【答案】
3．在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.
(1)/求; (2)若,求
【答案】(1)由已知得到:
， ．
(2)由(1)知,当时,,
①当时,
②当时,
所以,综上所述:;
4.已知数列和满足.若为等比数列，且
求与；
设．记数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有．
【答案】（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；
（2）（i）由（I）知，，所以；
（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．
二、不等式部分
1．考点分析
不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性．若是解答题，也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明．
不等式因它的基础性（是研究函数、方程、数列等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点．
近几年，高考关于不等式的命题趋势是：
（1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；
（2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性．在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：
内 容
知识要求
了解
（A）
理解
（B）
掌握
（C）
不等式
（含4－5
《不等式选讲》）
一元二次不等式
一元二次不等式解法及应用
√
一元二次不等式与相应的二次函数、二方程的联系
√
简单的成性规划
用二元一次不等式表示平面区域
√
简单的成性规划问题
√
基本不等式
不等式及其简单应用
√
不等式的性质、证明与解法
不等式的基本性质
√
绝对值不等式
√
不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）
√
用数学归纳法证明一些简单的不等式（仅限理科）
√
算术——几何平均不等式、柯西不等式及其简单应用（仅限理科）
√
具体要求如下：
（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
（2）一元二次不等式
① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
（4）基本不等式
①探索并了解基本不等式≥(a≥0，b≥0)的证明过程．熟知a≥0，b≥0是基本不等式成立的前提条件；掌握基本不等式的证明方法，能用比较法来证明一些简单的不等式．
② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，掌握一些简单的不等式数学模型以解决实际问题．
（5）不等式选讲
①理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
≤＋； ≤＋.
②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
≤c； ≥c； ＋≥c.
③了解二元柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．
柯西不等式向量形式：·≥；(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
④理解并能够对算术——几何平均不等式、柯西不等式进行简单应用．
⑤理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
⑥理解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
3．考题回顾
考题1（2015·全国卷文Ⅰ第15题）若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．
【考点分析】简单的线性规划．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取/最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.
/
【点评】本题主要考查简单的线性规划问题，我们可以利用“图解法”，准确地作出可行域是前提，利用“平移法”是解题的关键．
考题2（2010·全国卷理Ⅱ卷·第5题）不等式/的解集为
（A）/ （B）/
（C） / （D）/
【考点分析】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.
解析：/利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C
考题2（2011·全国卷理Ⅱ卷·第5题）下面四个条件中，使成立的充分而不必要条件是
（A） （B） （C） （D）
【考点分析】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
解析：即寻找命题,使,且推不出,逐项验证知可选A.
考题3（2011·全国卷新课标卷·第24题）选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。
【考点分析】本题主要考查绝对值不等式
解析：（Ⅰ）当时，可化为。
由此可得 或。
故不等式的解集为或。
(?Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组 或
即 或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得=，故
考题4（2012·全国卷大纲卷·第20题）设函数/。
（1）讨论/的单调性；
（2）设/，求/的取值范围。
【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。
解：/。
（Ⅰ）因为/，所以/。
当/时，/，/在/上为单调递增函数；
当/时，/，/在/上为单调递减函数；
当/时，由/得/，
由/得/或/；
由/得/。
所以当/时/在/和/上为为单调递增函数；在/上为单调递减函数。[来源:Zxxk.Com]
（Ⅱ）因为/
当/时，/恒成立
当/时，/
令/，则
/
又令/，则
/
则当/时，/，故/，/单调递减
当/时，/，故/，/单调递增
所以/在/时有最小值/，而
/，/
综上可知/时，/，故/在区间/单调递
所以/
故所求/的取值范围为/
另解：由/恒成立可得/
令/，则/
当/时，/，当/时，/
又/，所以/，即/
故当/时，有/（lbylf x）
①当/时，/，/，所以//
②当/时，/
综上可知故所求/的取值范围为/。
【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。
4．命题预测
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
2．已知/,/满足约束条件/,若/的最小值为/,则/（　　）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
3．设正实数满足，则当取得最大值时, 的最大值为（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
4．当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围______．
【答案】
5．已知______．
【答案】12
6．设函数，其中是的导函数.
，求的表达式；
若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并加以证明.
解析：（1）；（2）；
(3) 方法1 数学归纳法：
①当n＝1时，因为左边，右边＝，所以左边右边，不等式成立．
②假设当时，不等式成立，即．
那么，
在（2）中取，可得（）．
令，则，
所以，
所以．
即当时，不等式也成立．
根据①②，可知不等式对任意都成立．
方法2 放缩法：
在（2）中取，可得（）．
令（），则，即，
从而（）．
将上述n个不等式依次相加，得
故（），结论得证．
三、数列与不等式的综合应用部分
数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法.数列与不等式的交汇综合又是高考的重中之重.
近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：
（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．
（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．
数列与不等式作为高中数学代数的两大核心内容，其在高考试卷中处于的核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求．
（1）试题主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．
（2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：①建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．
（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：①猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；②判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾．
（4） 数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不等式有：①利用迭代法构建关系进行放缩；②利用累加法构建关系进行放缩；③利用累乘法构建关系进行放缩；④利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列．
考题（2012·全国新课标理科卷·第20题）
已知函数/满足满足/；
（1）求/的解析式及单调区间；
（2）若/，求/的最大值。
【解析】（1）/
令/得：/
/
得：/
/在/上单调递增
/
得：/的解析式为/
且单调递增区间为/，单调递减区间为/
（2）/得/
①当/时，/在/上单调递增
/时，/与/矛盾
②当/时，/
③当/时，/
得：当/时，/
/
令/；则/
/
当/时，/
当/时，/的最大值为/
4．命题预测
1．设数列/的前/项和/满足/,其中/.
(1)求证:/是首项为1的等比数列;
(2)若/,求证:/,并给出等号成立的充要条件.
解析：(1)由/,得/,即/.
因/,故/,得/,
又由题设条件知/,/
两式相减得/,即/,
由/,知/,因此/
综上,/对所有/成立,从而/是首项为1,公比为/的等比数列.
(2)当/或/时,显然/,等号成立.
设/,/且/,由(1)知,/,/,所以要证的不等式化为:
/
即证:/
当/时,上面不等式的等号成立.
当/时,/与/,(/)同为负;
当/时, /与/,(/)同为正;
因此当/且/时,总有 (/)(/)>0,即
/,(/).
上面不等式对/从1到/求和得,/
由此得/
综上,当/且/时,有/,当且仅当/或/时等号成立．
2．设数列的前项和为.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
解析：(1) ,.
当时,
又,
(2),.
①
当时,/ ②
由① — ②,得
数列是以首项为,公差为1的等差数列.
当时,上式显然成立.
(3)由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,
当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.
2016年高考数列与不等式专题分析
黄石一中 彭福来程荷花
一、数列部分
1．考点分析
数列是高中数学重要内容，是高考命题的热点.纵观近几年的高考试题，对等差和等比数列的概念、通项公式、性质、前n项和公式，对增长率、分期付款等数列实际应用题多以客观题和中低档解答题为主，对数列与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等相结合的综合题的考查多属于中高档题，甚至是压轴题, 一般控制在之间．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：
内　　　　　容
知识要求
了解（A）
理解（B）
掌握（C）
数列
数列的概念
数列的概念
√
数列的简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式）
√
等差数列、等比数列
等差数列、等比数列的概念
√
等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式
√
等差数列、等比数列的简单应用
√
具体要求如下：
（1）数列的概念和简单表示法：①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；②了解数列是自变量为正整数的一类函数．
（2）等差数列、等比数列：① 理解等差数列、等比数列的概念；② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
全国课标卷近三年来的命题趋势呈现以下特点：回归课本重基础，回避技巧重通法，强调运算重交汇．根据全国卷求稳的特点，估计全国卷明年的数列知识考查仍在“通项公式求法与前项和公式应用”中命制，可能与函数交汇，或仍与不等式交汇出题，但在不等式的证明时，理科可能涉及到与数学归纳法知识交汇出题．
考题回顾
考题1（2014·全国理科Ⅱ卷·第17题）已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
【考点分析】等比数列，数列放缩
解析： （I）由得。
又，所以是首项为，公比为3的等比数列。
，因此的通项公式为.
（Ⅱ）由（I）知
因为当时，，所以。
于是。
所以
【点评】本题主要考查构造等比数列求一般数列，利用放缩求和来证明不等式
考题2（2015·全国理科Ⅰ卷·第17题）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
【考点分析】数列的和与项的关系，等差数列的定义
解析：（I）由题设，
两式相减得 由于，所以 （II）由题设，，，可得
由（I）知，令，解得故，由此可得
是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，.
所以，.
因此存在，使得数列为等差数列.
【评析】本题主要考查了等差数列的定义.要求学生对数列的奇数项和偶数项有着较为深刻理解
考题3 （2015·全国理科Ⅰ卷·第7题）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）
（A）（B）（C）（D）
【考点分析】等差数列通项公式及前n项和公式．
解析：∵公差，，∴，解得=，∴，故选B.
【评析】本题主要考查了等差数列的求和公式以及通项公式
考题3 （2012·全国理科Ⅰ卷·第5题）已知等差数列/的前/项和为/，则数列/的前100项和为
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点分析】等差数列通项公式及前n项和公式．
解析：由/可得
/
/
/
【评析】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，要求学生对裂项有一定的认识
4．命题预测
1．设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )
A.为递减数列 B. 为递增数列
C.为递增数列,为递减数列 D. 为递减数列/,为递增数列
【答案】B
2．如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.
【答案】
3．在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.
(1)/求; (2)若,求
【答案】(1)由已知得到:
， ．
(2)由(1)知,当时,,
①当时,
②当时,
所以,综上所述:;
4.已知数列和满足.若为等比数列，且
求与；
设．记数列的前项和为.
（i）求；
（ii）求正整数，使得对任意，均有．
【答案】（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；
（2）（i）由（I）知，，所以；
（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．
二、不等式部分
1．考点分析
不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性．若是解答题，也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明．
不等式因它的基础性（是研究函数、方程、数列等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点．
近几年，高考关于不等式的命题趋势是：
（1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；
（2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性．在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道．
2．考试要求
2015年高考数学（全国卷）《考试说明》中考试范围与要求层次：
内 容
知识要求
了解
（A）
理解
（B）
掌握
（C）
不等式
（含4－5
《不等式选讲》）
一元二次不等式
一元二次不等式解法及应用
√
一元二次不等式与相应的二次函数、二方程的联系
√
简单的成性规划
用二元一次不等式表示平面区域
√
简单的成性规划问题
√
基本不等式
不等式及其简单应用
√
不等式的性质、证明与解法
不等式的基本性质
√
绝对值不等式
√
不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）
√
用数学归纳法证明一些简单的不等式（仅限理科）
√
算术——几何平均不等式、柯西不等式及其简单应用（仅限理科）
√
具体要求如下：
（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
（2）一元二次不等式
① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
（4）基本不等式
①探索并了解基本不等式≥(a≥0，b≥0)的证明过程．熟知a≥0，b≥0是基本不等式成立的前提条件；掌握基本不等式的证明方法，能用比较法来证明一些简单的不等式．
② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，掌握一些简单的不等式数学模型以解决实际问题．
（5）不等式选讲
①理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
≤＋； ≤＋.
②会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
≤c； ≥c； ＋≥c.
③了解二元柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．
柯西不等式向量形式：·≥；(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
④理解并能够对算术——几何平均不等式、柯西不等式进行简单应用．
⑤理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
⑥理解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
3．考题回顾
考题1（2015·全国卷文Ⅰ第15题）若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为．
【考点分析】简单的线性规划．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取/最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.
/
【点评】本题主要考查简单的线性规划问题，我们可以利用“图解法”，准确地作出可行域是前提，利用“平移法”是解题的关键．
考题2（2010·全国卷理Ⅱ卷·第5题）不等式/的解集为
（A）/ （B）/
（C） / （D）/
【考点分析】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.
解析：/利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C
考题2（2011·全国卷理Ⅱ卷·第5题）下面四个条件中，使成立的充分而不必要条件是
（A） （B） （C） （D）
【考点分析】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
解析：即寻找命题,使,且推不出,逐项验证知可选A.
考题3（2011·全国卷新课标卷·第24题）选修4-5：不等式选讲
设函数,其中。
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。
【考点分析】本题主要考查绝对值不等式
解析：（Ⅰ）当时，可化为。
由此可得 或。
故不等式的解集为或。
(?Ⅱ) 由 得
此不等式化为不等式组 或
即 或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得=，故
考题4（2012·全国卷大纲卷·第20题）设函数/。
（1）讨论/的单调性；
（2）设/，求/的取值范围。
【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。
解：/。
（Ⅰ）因为/，所以/。
当/时，/，/在/上为单调递增函数；
当/时，/，/在/上为单调递减函数；
当/时，由/得/，
由/得/或/；
由/得/。
所以当/时/在/和/上为为单调递增函数；在/上为单调递减函数。[来源:Zxxk.Com]
（Ⅱ）因为/
当/时，/恒成立
当/时，/
令/，则
/
又令/，则
/
则当/时，/，故/，/单调递减
当/时，/，故/，/单调递增
所以/在/时有最小值/，而
/，/
综上可知/时，/，故/在区间/单调递
所以/
故所求/的取值范围为/
另解：由/恒成立可得/
令/，则/
当/时，/，当/时，/
又/，所以/，即/
故当/时，有/（lbylf x）
①当/时，/，/，所以//
②当/时，/
综上可知故所求/的取值范围为/。
【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。
4．命题预测
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
2．已知/,/满足约束条件/,若/的最小值为/,则/（　　）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
3．设正实数满足，则当取得最大值时, 的最大值为（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
4．当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围______．
【答案】
5．已知______．
【答案】12
6．设函数，其中是的导函数.
，求的表达式；
若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并加以证明.
解析：（1）；（2）；
(3) 方法1 数学归纳法：
①当n＝1时，因为左边，右边＝，所以左边右边，不等式成立．
②假设当时，不等式成立，即．
那么，
在（2）中取，可得（）．
令，则，
所以，
所以．
即当时，不等式也成立．
根据①②，可知不等式对任意都成立．
方法2 放缩法：
在（2）中取，可得（）．
令（），则，即，
从而（）．
将上述n个不等式依次相加，得
故（），结论得证．
三、数列与不等式的综合应用部分
数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法.数列与不等式的交汇综合又是高考的重中之重.
近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：
（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．
（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．
数列与不等式作为高中数学代数的两大核心内容，其在高考试卷中处于的核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求．
（1）试题主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．
（2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：①建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．
（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：①猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；②判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾．
（4） 数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不等式有：①利用迭代法构建关系进行放缩；②利用累加法构建关系进行放缩；③利用累乘法构建关系进行放缩；④利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列．
考题（2012·全国新课标理科卷·第20题）
已知函数/满足满足/；
（1）求/的解析式及单调区间；
（2）若/，求/的最大值。
【解析】（1）/
令/得：/
/
得：/
/在/上单调递增
/
得：/的解析式为/
且单调递增区间为/，单调递减区间为/
（2）/得/
①当/时，/在/上单调递增
/时，/与/矛盾
②当/时，/
③当/时，/
得：当/时，/
/
令/；则/
/
当/时，/
当/时，/的最大值为/
4．命题预测
1．设数列/的前/项和/满足/,其中/.
(1)求证:/是首项为1的等比数列;
(2)若/,求证:/,并给出等号成立的充要条件.
解析：(1)由/,得/,即/.
因/,故/,得/,
又由题设条件知/,/
两式相减得/,即/,
由/,知/,因此/
综上,/对所有/成立,从而/是首项为1,公比为/的等比数列.
(2)当/或/时,显然/,等号成立.
设/,/且/,由(1)知,/,/,所以要证的不等式化为:
/
即证:/
当/时,上面不等式的等号成立.
当/时,/与/,(/)同为负;
当/时, /与/,(/)同为正;
因此当/且/时,总有 (/)(/)>0,即
/,(/).
上面不等式对/从1到/求和得,/
由此得/
综上,当/且/时,有/,当且仅当/或/时等号成立．
2．设数列的前项和为.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
解析：(1) ,.
当时,
又,
(2),.
①
当时,/ ②
由① — ②,得
数列是以首项为,公差为1的等差数列.
当时,上式显然成立.
(3)由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,
当时,,原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.

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