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2024年贵州中考最后一卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分150分，考试时间120分钟.
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分.在每个小题所给的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1．的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
2．如图所放置的物体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为（ ）
A．0.1023亿 B．1.023亿 C．10.23亿 D．102.3亿
4．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．小南观查某个红绿灯口，发现红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，若的周长为17，且边的垂直平分线分别交于，则对的周长描述正确的是（ ）
A．周长为17 B．周长为11 C．周长为11或17 D．周长不可求
7．计算等于（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”题目大意是：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题是假命题的是（ ）
A．内错角相等，两直线平行 B．邻补角互补
C．一个二元一次方程有无数多解 D．若，则点在第一象限
11．若方程组的解也是方程的解，则k的值是（ ）
A． B．10 C． D．
12．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．分解因式：
14．如图，点P在正五边形内，满足，，则的度数是 ．

15．已知、是方程的两根，则代数式的值为 ．
16．如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，在上分别截取，使，连接，交对角线于点G，连接并延长交于点H．若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共98分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（本题10分）如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B．直线与x轴交于点M
(1)求点B的坐标；
(2)在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标；
19．（本题10分）全民健身运动已成为一种时尚，为了解某市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查；A．健身房运动；B．跳广场舞；C．参加健步走；D．散步；E．不运动．如图和表是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

运动形式 A B C D E
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)接受问卷调查的共有 ___________人，图表中的___________， ___________．
(2)统计图中，A类所对应的扇形圆心角的度数是多少？
(3)某市体育公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“健步走”活动，若最邻近的某社区约有1500人，那么估计一下该社区参加体育公园“健步走”活动的大约有多少人？
20．（本题10分）如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求平行四边形的面积．
21．（本题10分）桑梯一登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，a的调整范围是．（参考数据：，精确到0.1米）
(1)当时，若人站在的中点E处，求此人离地面（）的高度．
(2)在安全使用范围下，求桑梯顶端D到地面的距离范围．
22．（本题12分）已知：是的直径，C为上一点，将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，若点D在上，连接交于点F．
(1)直接判断与的位置关系；
(2)求证：；
(3)若，，求阴影部分的面积．
23．（本题10分）兴宁县有一间名为“韩国料理”的餐饮店，味美价廉，该店以“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”出名，每天吸引附近很多学生慕名而来．现已知“肥牛鸡排双拼饭”单价比“鳕鱼肥牛双拼饭”高5元，且用500元购买“肥牛鸡排双拼饭”与用400元购买“鳕鱼肥牛双拼饭”数量相同．
(1)求“肥牛鸡排双拼饭”与“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价；
(2)经过市场调研发现，以（1）中的单价出售“肥牛鸡排双拼饭”每天可以出售80份，若每份售价提高1元时，每天出售份数少3份，设每份售价提高x元且x为整数，y为每天的营业额，求y关于x的函数解析式以及营业额y的最大值．
24．（本题12分）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变）
(1)求出水口在D点时抛物线的解析式:
(2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？
(3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由.
25．（本题12分）阅读材料：如图（1），在中，，点P在边上，于点于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）
(1)【理解与应用】
如图（2），正方形的边长为2，对角线相交于点O，点P在边上，于点于点F，则______；
(2)【类比与推理】
如图（3），矩形的对角线相交于点点P在边上，交于点E，交于点F，求的值；
(3)【拓展与延伸】
四边形是半径为4的圆内接四边形，对角线相交于点O，，点P在弦上，交BD于点E，交于点F，当时，试判断的值是否为定值，若是请求出该定值并求出四边形面积的最大值；若不是定值，请说明理由．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年贵州中考最后一卷
数学参考答案及解析
一、选择题：
1．C
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据是正数，正数的绝对值是它本身，即可作答．
【详解】解：的绝对值是，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示．
【详解】解：从上面观察是一个矩形，矩形的中间是一个圆．
故选：C．
3．B
【分析】把1.023的小数点向右移动八位即得到科学记数法表示的原数，再改写为以亿为单位的数即可．
【详解】=102300000=1.023亿，
故选：B．
【点睛】本题考查了把用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握当科学记数法表示的数中的指数n为正整数时，把数a的小数点向右移动n位即得原数．
4．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和平角定理可得的值．
【详解】直尺，所以两直线平行，同旁内角互补
又角的直角三角板
【点睛】本题主要考查平行线定理、平角定理，灵活运用平面上线与线的关系是解题关键．
5．D
【分析】直接利用概率的意义即可求出出遇到绿灯的概率.
【详解】解：∵红灯时间20秒，黄灯5秒，绿灯15秒，
∴遇到绿灯的概率是＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键.
6．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．先求解，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，即可求出的周长．
【详解】解：的周长为17，
∴
垂直平分，
，
的周长
故选：B．
7．B
【分析】本题考查分式的加法，先变为同分母分式，再进行加法计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形是解题关键．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据每人出九钱，会多出11钱可得方程，根据每人出6钱，又差16钱可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：每人出九钱，会多出11钱，
，
每人出6钱，又差16钱，
，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了判断真假命题，根据平行线的性质，邻补角互补，二元一次方程的解，各象限点的坐标特征，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B. 邻补角互补，是真命题，不符合题意；
C. 一个二元一次方程有无数多解，是真命题，不符合题意；
D. 若，则点在第一象限或第三象限，故该选项是假命题，符合题意，
故选：D．
11．B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．
【详解】
解方程组得：
代入，得
，
解得：，
故选：B．
12．C
【详解】试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．
填空题：
13．
【分析】本题考查了因式分解．观察原式，找到公因式，提出公因式后发现是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．/36度
【分析】本题考查多边形内角和公式及等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于简单试题．
首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出，即可求出．
【详解】解：根据正多边形内角和公式可得，
正五边形的内角和，
则，
，
，
则，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
原式．
故答案：．
【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
16．
【分析】由旋转的性质得，连接，由等线段减等线段相等可得，于是可通过证明，得到，易得，由三角形内角和定理可得，由得到，得为等腰直角三角形，根据等角减等角相等可知，于是可通过证明，得到，进而可通过证明，得到，由平行线的性质可得，则，设，则，在冲，利用勾股定理建立方程，求得，即或，过点作，交于点，得，由相似三角形的性质得，得为等腰直角三角形，，分两种情况讨论：①当时，，则，进而可设，由，解得，在中，利用勾股定理即可求出的长；②当时，，此时点在的延长线上，与题意不符．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋得到，
∴，
如图，连接，
，
，
在和中，
∴，
，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴和都是等腰三角形，
∴，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
∴或，
如图，过点作，交于点，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当时，，
∴，
∴设，
∵，
∵，
∴，
解得：，
在中，；
②当时，，
在中，
∴点在的延长线上，与题意不符．
综上，的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质、图形旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
三、解答题
17．（1）；（2）不等式组无解
【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键；
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以，此不等式组无解．
18．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据平移方式得到直线解析式为，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再利用直线解析式和反比例函数解析式求出点B的坐标即可；
（2）先求出点M的坐标，设，则，再根据三角形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵将直线向上平移5个单位长度后得到直线，
∴直线解析式为，
把代入中，，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴点B的坐标为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
设，则，
∵的面积为6
∴，
∴，
∴或1
∴或．
19．(1)，，；
(2)28.8°
(3)450人
【分析】（1）用B类人数除以其百分比，得出调查总人数；用调查总人数分别减去A、B、D、E四类人数，即可求出的值；用D类人数除以调查总人数，再乘以，即可求出的值；
（2）用A类人数除以调查总人数，再乘以，即可求出圆心角度数；
（3）用1500乘以样本中C类所占百分比，即可得到答案．
【详解】（1）解：人，
人，
，即，
故答案为：，，；
（2）解：，
即A类所对应的扇形圆心角的度数是；
（3）解：人，
答：该社区参加体育公园“健步走”的人数有450人．
【点睛】本题主要考查的是扇形统计图和统计表的应用，利用样本估计总体，解题关键就是要明确频数、频率以及样本容量之间的关系．
20．(1)见解析
(2)120
【分析】（1）先证△ABE≌△CBF（AAS），即有AB＝CB，则有平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质有AC⊥BD，BO＝BD＝5，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12，则菱形的面积可求．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC×BD＝120．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】
本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
（1）过E作于点H，由题意易得，然后问题可求解；
（2）过点D作于点D，，然后分当时和当时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：过E作于点H，

∵，，
∴，
∵点E为的中点，米，
∴，
∴，
在中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点D，
当时，
∵，
∴，
∴，
即；
当时，；
∴，
即；
∴D与地面的距离范围为．
22．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了圆周角的性质和垂径定理，解题关键是根据旋转得出所在的圆与是等圆，再根据圆的相关性质推理即可．
（1）根据弧相等所对的弦也相等得出，进而得出点B是中点，得出；
（2）根据圆周角相等，得出，，再根据垂直可证；
（3）由（2）可证弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，利用，求解即可．
【详解】（1）解：
将绕着点B逆时针旋转一定的角度得到，交于E点，所以所在的圆与是等圆，连接
∴，
∴点B是中点，
∵是的直径，
∴；
（2）证明：连接，
∵，所在的圆与是等圆，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）得，，所在的圆与是等圆，
所以弓形和弓形的面积相等，阴影部分的面积就是三角形的面积，
连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
所以三角形的面积=，
阴影面积为：
23．(1)“肥牛鸡排双拼饭”的单价为25元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为20元
(2)，营业额取得最大值为2002元
【分析】（1）设“肥牛鸡排双拼饭”的单价为x元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为元，根据用500元购买“肥牛鸡排双拼饭”与用400元购买“鳕鱼肥牛双拼饭”数量相同列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出函数解析式，根据二次函数的增减性，求出最大值即可．
【详解】（1）解：设“肥牛鸡排双拼饭”的单价为x元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为元，依题意得：
，
解得
经检验，为方程的解，
（元），
答：“肥牛鸡排双拼饭”的单价为25元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为20元．
（2）解：依题可知：
，
∵，
∴该函数为开口向下的二次函数，在对称轴上取得最大值，其对称轴为直线，
∵自变量x为整数，
∴当时取得最大值为：（元），
答：该函数为，在时营业额取得最大值为2002元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或关系式．
24．(1)
(2)水能够射进窗户
(3)正好能击中火苗，理由见详解
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．
（1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可；
（2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，
设解析式为，代入得：，
解得：.
∴解析式为：；
（2）解：经过平移后抛物线的解析式为，
即为：
当时，，
∵，
∴水能够射进窗户；
（3）由题意可得，抛物线的解析式为，
此时着火点的横坐标为40，当时，，
因此，正好能击中火苗．
25．(1)
(2)
(3)，四边形面积的最大值为4
【分析】（1）证：，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．
（2）证：，然后由条件可证，从而可得，进而求出．
（3）证：四边形是矩形，四边形是正方形，即可求出，因而是定值．设，则，利用矩形的面积和二次函数的性值求出最值即可．
【详解】（1）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：当时，是定值．
理由：连接、、、，
四边形是的圆内接四边形，
，，
是四边形的对角线，对角线相交于点O，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，
四边形是矩形，
∴四边形面积，
，
当时，四边形面积有最大值，最大值为4．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识，考查了类比联想的能力，有一定的综合性．要求的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年贵州中考最后一卷
数学参考答案
选择题
1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．B 8．D 9．D 10．D
11．B 12．C
二、填空题：
13． 14．/36度 15． 16．
三、解答题
17．（1）；（2）不等式组无解
18．(1)
(2)或
19．(1)，，；
(2)28.8°
(3)450人
20．(1)见解析
(2)120
21．(1)
(2)
22．(1)
(2)见解析
(3)
23．(1)“肥牛鸡排双拼饭”的单价为25元，“鳕鱼肥牛双拼饭”的单价为20元
(2)，营业额取得最大值为2002元
24．(1)
(2)水能够射进窗户
(3)正好能击中火苗，理由见详解
25．(1)
(2)
(3)，四边形面积的最大值为4
答案第1页，共2页
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