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郑州市2024年高中毕业年级第三次质量预测
数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．复数（且），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．的内角所对的边分别为．若，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．下列可以作为方程的图象的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前三项和为56，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则存在且不唯一
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．是的对称中心
B．在上单调递增
C．经过点的直线与函数的图象相交
D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象
10．已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
11．已知三棱锥是边长为2的正三角形，别是的中点，在平面内的投影为点在平面内的投影为点．（ ）
A．两两垂直
B．在平面的投影为的中点
C．三点共线
D．形如三棱锥的容器能被整体装人一个直径为2.5的球
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知，则的值为____________．
13．已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且的面积为6，则该双曲线的实轴长为____________．
14．抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，则数列的通项公式____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；
（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
16．（15分）已知函数．
（Ⅰ）若，求在处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的零点个数．
17．（15分）
如图，在三棱台中，，平面平面，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．
19．（17分）复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．
根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：．
（Ⅰ）求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标；
（Ⅱ）求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程；
（Ⅲ）等边中，在曲线上，求的面积．
2024年郑州市高中毕业年级第三次质量预测
数学评分参考
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A B D C A C
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BC ACD ACD
三、填空题
12．； 13．； 14．．
四、解答题
15．（1）由己知可得，，
，
由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
．
．
（2）由（1）知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．
（3）由（1）知，,
．
所求经验回归方程为．
（3）令，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%．
16．解（1）若，则．
又．
故所求切线方程为
即．
（2）由题．
1°当时，在上单调递减，又．
存在一个零点，此时零点个数为1．
2°当时，令得，令得，
则在上单减，在上单增．
的最小值为．
Ⅰ）当时，的最小值为0，此时有一个零点．
Ⅰⅰ）当时，的最小值大于0，此时没有零点．
Ⅰⅱ）当时，的最小值小于0，，
时，．此时有两个零点．
综上，当或时，有一个零点；当时，有两个零点；
当时，没有零点．
17．（15分）（1）证明：如图，在等腰梯形中，连接，
又，可以解得，
在三角形中，，
又平面平面，且平面平面，
，且平面，
平面．
又，且平面，
平面．
（2）由（1）可知，，
．
以为原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
可得：．
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又，
由
令，解得平面的一个法向量为，
．
平面与平面的夹角的余弦值为．
18．解：（1）由题意得，将代入椭圆方程得，联立方程组，解得椭圆的方程为．
（2）直线与椭圆相切．
理由如下：
设，由，得，解得，此时，
直线的方程为，
联立直线与椭圆消得，，解得．
直线与椭圆相切．
（3）设，
由三点共线，得，
由三点共线，得，
得，又，得，
得，
即．
设直线的方程为，
即．
联立直线与椭圆消得，
则有
将②式代入①式，得，解得（舍）或．
直线经过定点．
19．（1）由题可设所求点的坐标为，由
得所求点的坐标为．
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为．
则即
得，
所求曲线方程为．
（3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为．
设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和．
设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为，则方程为．
则是曲线的下顶点．
由题，为等边三角形，的面积即为的面积．设的边长为，由双曲线的对称性：
当和同在曲线的下支时，则，
代入的方程得无解．
当和同在曲线的上支时，则，
代入的方程得的面积为．
综上所述，的面积为．

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