资源简介

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4.1平面向量
【备考指南】 2
【知识导图】 3
【考点梳理】 7
考点一：平面向量的基本概念 7
考点二：平面向量的线性运算 11
考点三：平面向量的基本定理及坐标表示 18
考点四：平面向量的数量积 23
考点五：投影向量 29
考点六：平面向量的应用举例 32
【真题在线】 37
【专项突破】 45
考点 考情分析 考频
平面向量数量积运算及应用 2023年新高考Ⅰ卷T3 2023年新高考Ⅱ卷T13 2022年新高考Ⅱ卷T4 2022年全国甲卷T13 2022年全国乙卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T15 2021年全国甲卷T14 2021年全国乙卷T14 3年8考
向量的线性运算 2022年新高考Ⅰ卷T3
向量与三角函数综合 2021年新高考Ⅰ卷T10
预测：平面向量在选择题、填空题中考察，主要考察基本概念、基本性质的应用.近三年全国卷考察的难度适中.建议在复习中，着重掌握基本概念，加强对基本概念的运算.同时也要适当的拓展学生的思维.
考点一：平面向量的基本概念
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）设是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【分析】由，可知两向量垂直，可排除A；由，可求得，进而证明出两个非零向量共线，即B正确；由两个向量垂直，可得出它们数量积为，即C正确；由，两边平方可得出，即两个向量垂直，即D正确.
【详解】对于选项A，因为，是两个非零向量，所以，故A错误；
对于选项B，，所以，
所以，所以，故B正确；
对于选项C，因为，所以，所以，故C正确；
对于选项D，因为，所以，从而，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2021·浙江·三模）已知A，，，是以为球心，半径为2的球面上的四点，，则不可能等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、多选题
3．（2023·浙江·三模）在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
4．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
三、填空题
5．（22-23高三上·湖北武汉·期中）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则 ．
参考答案：
1．A
【分析】利用向量的定义得，从而，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值.
【详解】由，
由得，，
而，当且仅当同向时，等号成立，
而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向，
故
且均小于直径长4，即，观察选项，只有A取不到.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量不等式，向量模长之间的关系，判断线段和的最值.
2．C
【分析】利用向量的数量积可求.
【详解】因为，，则，，
则，故，
故选：C.
3．ABD
【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.
【详解】因为，所以，A正确
因为，所以，
所以，即为直角三角形，B正确；
设与同向的单位向量为，，
所以在方向上的投影向量为，C错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，
故选：ABD．
4．ABC
【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
5．2
【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.
【详解】
设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，
则，，
因为与共线，所以，又因为，，
所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：2
【解题技巧】
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
考点二：平面向量的线性运算
【典例精析】（多选）（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ）

A．
B．
C．最大值为
D．，，三点共线时
【答案】ACD
【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D.
【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确；
如图建立平面直角坐标，则，，，，
所以，，则，故B错误；
又，
所以圆的方程为，
设，，
则，又，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，故最大值为，故C正确；
因为，，三点共线，所以，
又，，
所以，即，
所以，
所以，又，，
且，即，
所以，所以，所以，故D正确.
故选：ACD

【变式训练】
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）在中，，，，是内一点，，且的面积是的面积的倍，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在中，，，，则（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
4．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题
5．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 .
参考答案：
1．B
【分析】过作于，于，由可得，由，得为等腰三角形，即为中点，可求得，，，又，，所以，计算即可.
【详解】
过作于，于，
，，
因为，所以，即，
因为，所以为等腰三角形，
又，所以为中点，所以，
因为四边形为矩形，所以，
又，所以，所以，，
由图形可知，，则，，
所以
.
故选：.
2．A
【分析】
根据向量的线性运算和数量积，由，得，化简得，可得.
【详解】
，有，
由，得．
由，
得，
所以，即．
故选：A
3．AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
4．ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
5．
【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案.
【详解】取的中点，则，
又，又因为，
故三点共线，即点在中线上运动，
在正三角形中，，
又，，则，
故.
故答案为：
【解题技巧】
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
考点三：平面向量的基本定理及坐标表示
【典例精析】（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为5 D．若，则
【答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出的关系，进而可判断D.
【详解】因为，，
所以，，
对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，
又，解得或，故B错误；
对于C，
，其中，
当时，取得最大值，故C错误；
对于D，若，则，
即，所以，
所以
，故D正确.
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知单位向量、的夹角是 ，点满足，则（ ）
A． B． C． D．3
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知是同一平面内的四点，且，则（ ）
A．当点在直线的两侧时，
B．当点在直线的同侧时，
C．当点在直线的两侧时，的最小值为3
D．当点在直线的同侧时，
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）

A．1 B． C． D．3
三、填空题
5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知向量，，则，则实数 .
参考答案：
1．C
【分析】根据平面向量线性运算法则得到，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，所以，
即，
所以
.
故选：C
2．A
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算分析可知点与点重合时，取到最大值，即可得结果.
【详解】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
可知直线对应的一次函数解析式为，可设，
可得，
则，且，
因为开口向上，对称轴为，
且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，
此时，且，所以.
故选：A.
3．ACD
【分析】依据在直线的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A、C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B，结合平面向量基本定理，判断答案D.
【详解】
设，由，，
得
；由，得，，
当点在直线的两侧时，如图①，，
所以，即，故A正确；
因为，
所以当时，的最小值为3，故C正确；
当点在直线的同侧时，如图②，
，
所以，故B错误；
设，则，
即解得，
所以，即，故D正确．
故选：ACD.
4．AB
【分析】建立平面直角坐标系，设，用坐标表示出，再根据列方程可得，然后可得.
【详解】
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
则
设，则
∵，
∴，
∴整理得，
因为，所以
故选：AB.
5．2
【分析】根据向量坐标运算求，结合向量平行坐标表示求.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
解得，
故答案为：.
【解题技巧】
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
3.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
4.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
考点四：平面向量的数量积
【典例精析】（多选）（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．若，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可.
【详解】对A，设，根据有，
即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；
对B，
，则转化为求圆上的点到的距离最大值，
为，故B正确；
对C，，因为，故，故C正确；
对D，因为，故，
又因为，故，
，
故当时，取最小值取最小值，故D正确.
故选：BCD
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（ ）
A． B． C． D．与有关
2．（2024·河北保定·二模）已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖北黄石·三模）下列命题恒成立的有（ ）
A．已知平面向量，，则
B．已知，，则
C．已知复数，，则
D．已知复数，，则
4．（2024·吉林延边·一模）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点到直线的距离为，则
B．若，则
C．若，则的最大值为6
D．的最小值为
三、填空题
5．（2024·江苏苏州·二模）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】取线段AB的中点D，得，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得.
【详解】
取线段AB的中点D，得，所以.
所以.
故选：B
2．D
【分析】根据条件可得，结合图形得出，然后根据转化法利用向量积求出向量的模即可
【详解】如图，在中，，，，，，
所以.

故选：D
3．ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算律判断A，根据实数的运算法则判断B，利用特殊值判断C，根据复数的运算性质判断D.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：令，，则，
而，，
所以，，
所以，
显然不成立，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：ABD
4．ACD
【分析】对于A选项：利用圆的弦长公式即可求解；对于B选项：运用余弦定理即可求解；对于C选项：将转化为到直线的距离之和的倍，进而求解；对于D选项：利用数量积公式即可求解；
【详解】依题意，圆的圆心，半径为
如图所示：
对于A选项：因为点到直线的距离为，所以，故选项A正确；
对于B选项：因为，且，
所以在中，由余弦定理可得：,
所以，故选项B错误；
对于C选项：由，
其几何意义为到直线的距离之和的倍
设的中点为,结合梯形的中位线可知：
则有，
因为，所以,
在直角三角形中，,
所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆.
因为到的距离为，
所以，
所以，故选项C正确；
对于D选项：因为，
所以当所成的角为时，.
故选项D正确;
故选：ACD.
5．
【分析】建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，设的坐标，分别求出向量，的坐标，结合三角函数性质即可求解．
【详解】以A为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
因为，，与的夹角为，
，
由于，故，
所以，
因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上，
设，
则，，
得，
所以当，即时，最大，最大值为，
此时，则．
故答案为：．
【解题技巧】
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
考点五：投影向量
【典例精析】（多选）（2024·重庆·三模）已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则，在方向上的投影向量相同
【答案】ABD
【分析】根据平面向量数量积的概念和向量的共线定理即可判断A；对等式两边同时平方可得，即可判断判断B；如图，根据向量的线性运算即可判断C；根据投影向量的概念即可判断D.
【详解】A项，若，则，其中，，
若，则，，故；
若，不同时为零，则，根据向量共线定理得，，故A正确；
B项，若，两边平方得，，故B正确；
C项，利用向量线性运算的平行四边形法则，作平行四边形，如图，
，则，
由知平行四边形为荾形，为等边三角形，
所以与的夹角为，故C错误；
D项，，在方向上的投影向量分别是，
又，，故D正确.
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D．若，则向量在向量上的投影向量为
三、填空题
5．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】由投影向量的公式计算即可．
【详解】设与夹角为，则，
在上的投影向量为：，
故选：C．
2．C
【分析】依题意可知是的中点，从而得到，，解法一：过点作，垂足为，即可得到，结合投影向量的定义即可得解；解法二：设，根据向量在向量上的投影向量等于计算可得.
【详解】由，所以是的中点，又是的外心，
则，再由，又，
则为正三角形，则，
角度一：如图，过点作，垂足为，则，，
所以向量在向量上的投影向量等于.
角度二：设，则，所以，
所以向量在向量上的投影向量等于.
故选：C.
3．ACD
【分析】根据投影向量的公式求出的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.
【详解】对于A，因为在上的投影向量为，即，
所以，即，解得，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ACD.
4．AC
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D
【详解】若，则，解得，故A正确．
若，则，解得，故B错误．
若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确．
若，则，又，所以向量在向量上的投影向量为，故D错误．
故选：AC．
5．
【分析】借助投影向量定义计算即可得.
【详解】，故.
故答案为：.
考点六：平面向量的应用举例
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外 B．的最小值为2
C． D．的最大值为32
【答案】BCD
【分析】根据化简可得，即可得P点轨迹，进而根据圆A与圆Q外切求解A，根据即可求解B，根据向量数量积的运算律即可求CD.
【详解】对A，由，得，整理得，

所以点P在以为圆心，2为半径的圆上，记为圆A，如图．
因为，所以圆A与圆Q外切．当点P为两圆的公共点时，点P在圆Q上，故A错误．
对B，由题意，得，故B正确．
对C，，故C正确．
对D，．而，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最大值是1
4．（20-21高一下·河北邢台·阶段练习）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则△为等边三角形
三、填空题
5．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求.
【详解】
因为，所以，易知，
结合图形，，，则，故.
所以在直角三角形中可得，故.
故选：.
2．A
【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可.
【详解】设，
则，
由，
得，又已知，且，
则有，
故.
故选：A.
3．ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合圆的几何性质、正弦定理进行逐一判断即可.
【详解】因为AB，CD为圆O的直径，所以O是AB，CD是中点，
所以，因此选项A正确；
，
因为O是AB的中点，AB，CD为圆O的直径，
所以，于是所以选项B正确；
由：，
所以有，因此选项C不正确；
设，
，
所以的最大值是1，因此选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质，结合平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
4．ACD
【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.
【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；
B：当时，有，错误；
C：，而，即，由正弦定理易得，正确；
D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知△为等边三角形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.
5．
【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.
【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：
【解题技巧】
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
9．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
10．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
11．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
三、解答题
12．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
参考答案：
1．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
2．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
3．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
5．C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
6．B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
7．
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
8．
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
9．
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
10．
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
11．.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
12．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）若，是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建三明·三模）函数的部分图象如图所示，其中两点为图象与x轴的交点，为图象的最高点，且是等腰直角三角形，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知，，则在方向上的投影数量是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
8．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为5
C．的最小值为2
D．的最大值为
9．（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．向量，在上的投影向量相等 D．
10．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量为
三、填空题
11．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则 ．
12．（2024·四川南充·三模）若，，，则的值为 .
13．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
14．（2024·福建福州·模拟预测）若向量在向量上的投影向量为，则等于 ．
参考答案：
1．A
【分析】由，两边平方化简可得，即，同向，可判断充分性成立，
由，可得，即，共线，可举反例，判断必要性不成立.
【详解】因为，所以，
即，即，
由于,是平面上两个非零的向量，所以，所以，同向，
所以有，故充分性成立；
因为，则，即，
由于是平面上两个非零的向量，所以，共线.，
不妨取，此时，共线.，但，，
故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．C
【分析】根据题意，设，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.
【详解】设，由平面向量的基本定理，可得：
当时，此时点P在直线BD上；
当时，此时点P在点A和直线BD之间；
当时，此时点P在点C和直线BD之间；
当时，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，
对于A中，由向量，满足，所以点在内部，所以A错误；
对于B中，由，满足，所以点在上，所以B错误；
对于C中，由，满足，所以点可能在内部，所以C正确；
对于D中，由，满足，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，所以D错误.
故选：C.
3．B
【分析】根据向量坐标运算，先求出，再逐一验证即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，故A错；
，故B正确；
，故C错；
因为，所以不平行，故D错.
故选：B
4．B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】，
，
，
，．
故选：B
5．B
【分析】首先求出，过点作于点，由是等腰直角三角形，表示出的坐标，由最大值为1，即可求出，根据投影向量计算公式计算即可．
【详解】，则，过点作于点，
因为是等腰直角三角形，所以，

因为，所以，
因为最大值为1，所以，解得，
所以，则，
则在上的投影向量的坐标为：，
故选：B．
6．D
【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案.
【详解】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故选：D
7．C
【详解】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算代入计算，再结合投影的定义，即可得到结果.
【分析】设与的夹角为θ．由题意，得．又，
所以，
所以在方向上的投影数量为．
故选：C．
8．BD
【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值.
【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足，
此时有最小值，A选项错误；
当向量方向相同时，满足，
此时有最大值，B选项正确；
，有，即，则，
向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误；
向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确.
故选：BD
9．BC
【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
10．ABD
【分析】A选项，根据得到垂直关系；B选项，求出，根据模长公式求出答案；C选项，根据得到答案；D选项，利用得到D正确.
【详解】A选项，因为，．
所以．则．所以．故A正确：
B选项，因为．所以．故B正确；
C选项，因为．且．
所以．故C错误；
在上的投影向量为．故D正确．
故选：ABD．
11．
【分析】根据向量共线的坐标表示求出和，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】，即，，，
，，.
故答案为：.
12．
【分析】根据条件，利用数量积的运算运算，得到，，再利用向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，又，，
所以，
得到，所以，
故答案为：.
13．
【分析】令，代入公式即可得解.
【详解】令，
又，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：
14．
【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为，
所以.
故答案为：.
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4.1平面向量
【备考指南】 2
【知识导图】 3
【考点梳理】 7
考点一：平面向量的基本概念 7
考点二：平面向量的线性运算 8
考点三：平面向量的基本定理及坐标表示 10
考点四：平面向量的数量积 12
考点五：投影向量 13
考点六：平面向量的应用举例 14
【真题在线】 15
【专项突破】 16
考点 考情分析 考频
平面向量数量积运算及应用 2023年新高考Ⅰ卷T3 2023年新高考Ⅱ卷T13 2022年新高考Ⅱ卷T4 2022年全国甲卷T13 2022年全国乙卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T15 2021年全国甲卷T14 2021年全国乙卷T14 3年8考
向量的线性运算 2022年新高考Ⅰ卷T3
向量与三角函数综合 2021年新高考Ⅰ卷T10
预测：平面向量在选择题、填空题中考察，主要考察基本概念、基本性质的应用.近三年全国卷考察的难度适中.建议在复习中，着重掌握基本概念，加强对基本概念的运算.同时也要适当的拓展学生的思维.
考点一：平面向量的基本概念
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）设是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2021·浙江·三模）已知A，，，是以为球心，半径为2的球面上的四点，，则不可能等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、多选题
3．（2023·浙江·三模）在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
4．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
三、填空题
5．（22-23高三上·湖北武汉·期中）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则 ．
【解题技巧】
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
考点二：平面向量的线性运算
【典例精析】（多选）（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ）

A．
B．
C．最大值为
D．，，三点共线时
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）在中，，，，是内一点，，且的面积是的面积的倍，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在中，，，，则（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
4．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题
5．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 .
【解题技巧】
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
考点三：平面向量的基本定理及坐标表示
【典例精析】（多选）（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最大值为5 D．若，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知单位向量、的夹角是 ，点满足，则（ ）
A． B． C． D．3
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知是同一平面内的四点，且，则（ ）
A．当点在直线的两侧时，
B．当点在直线的同侧时，
C．当点在直线的两侧时，的最小值为3
D．当点在直线的同侧时，
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）

A．1 B． C． D．3
三、填空题
5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知向量，，则，则实数 .
【解题技巧】
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
3.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
4.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
考点四：平面向量的数量积
【典例精析】（多选）（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．若，则的最小值为
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·三模）在半径为的中，弦的长度为，则的值为（ ）
A． B． C． D．与有关
2．（2024·河北保定·二模）已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·湖北黄石·三模）下列命题恒成立的有（ ）
A．已知平面向量，，则
B．已知，，则
C．已知复数，，则
D．已知复数，，则
4．（2024·吉林延边·一模）已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点到直线的距离为，则
B．若，则
C．若，则的最大值为6
D．的最小值为
三、填空题
5．（2024·江苏苏州·二模）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ．
【解题技巧】
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
考点五：投影向量
【典例精析】（多选）（2024·重庆·三模）已知，，是平面上的三个非零向量，那么（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则，在方向上的投影向量相同
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山东聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D．若，则向量在向量上的投影向量为
三、填空题
5．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 ．
考点六：平面向量的应用举例
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，且，MN是圆Q：的一条直径，则（ ）
A．点P在圆Q外 B．的最小值为2
C． D．的最大值为32
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最大值是1
4．（20-21高一下·河北邢台·阶段练习）在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，且，则△为等边三角形
三、填空题
5．（2021·云南昆明·三模）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为 ．
【解题技巧】
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
8．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
9．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
10．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
11．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
三、解答题
12．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）若，是平面上两个非零的向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建三明·三模）函数的部分图象如图所示，其中两点为图象与x轴的交点，为图象的最高点，且是等腰直角三角形，若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知，，则在方向上的投影数量是（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
8．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（ ）
A．的最小值为2
B．的最大值为5
C．的最小值为2
D．的最大值为
9．（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．向量，在上的投影向量相等 D．
10．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量为
三、填空题
11．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，若，则 ．
12．（2024·四川南充·三模）若，，，则的值为 .
13．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
14．（2024·福建福州·模拟预测）若向量在向量上的投影向量为，则等于 ．
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