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专题08 锐角三角形及其应用
目 录
题型01 锐角三角函数与三角形综合
题型02 锐角三角函数与四边形综合
题型03 锐角三角函数与圆综合
题型04 锐角三角函数与圆及四边形综合
题型05 锐角三角函数与圆及三角形综合
题型06 锐角三角函数与函数综合
题型07 12345模型
题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
题型09 锐角三角形应用-方位角问题
题型10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
题型11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
题型12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
（时间：60分钟）
题型01 锐角三角函数与三角形综合
1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在锐角三角形中，，线段分别是边上的高线，连接，则三角形面积的最大值是 ．

【答案】/
【分析】利用特殊角的三角函数值求得的度数，利用三角形的高的意义求得，利用含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到，作出的外接圆，得出当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，为等边三角形，利用等边三角形的性质求得的面积最大值，则结论可求．
【详解】解：，
，
分别是、边上的高线，
，
，
，
，
，
，
，
，
当面积最大时，三角形面积有最大值，
作出的外接圆，如图，

点为优弧上的点，且，
，
当点为优的中点时，边上的高最大，即的面积最大，此时，
为等边三角形，
的最大值，
三角形面积的最大值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得的面积的最大值是解题的关键．
2．（2023·河南南阳·三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究：

(1)将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在和中，，，，当点D在线段上时（点D不与点A，B重合），
①由题意可得，其依据是：___________；
A． B． C． D．
②直接写出与的数量关系___________．
(2)将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在和中，，，，点A与线段不在同一直线上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关系；
(3)将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在和中，，，．将绕点C在平面内旋转，当点D落在边上时，满足，请直接写出的长．
【答案】(1)①B；②
(2)不成立，见解析
(3)或
【分析】（1）①根据可推出，即可根据证明；②根据全等三角形对应边相等，即可得出结论；
（2）根据题意可得，，，再推出，即可证明，即可得出结论；
（3）连接，过点E作于点F，分两种情况进行讨论即可：①当在左边时，②当在右边时．
【详解】（1）解：①∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
故选：B；
②由①可得，
∴；
（2）解：不成立．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，．
∴．
∴，．
∴．
∴．
即．
故（1）中和的数量关系不存在；
（3）解：连接，过点E作于点F，
①当在左边时，
∵，，，
∴，
∴点C，D，E，B四点共圆，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，根据勾股定理可得，
则，解得：，（舍），
∴，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴；

②当在右边时，
同理可得：，，
∴，

综上：的长为或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质，正确画出辅助线，根据题意进行分类讨论．
3．（2023·重庆沙坪坝·二模）等边中，点为直线上一动点，连接．

(1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度；
(2)如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作，求出长，再求出，证明，即可；
（2）作 ，交的延长线于点，由条件，，再证明出，得到，再证出，即可证明出结论；
（3）判断出点在过且平行于的直线上，点定在以为圆心，为半径的上，连接，作直线，交于，作于，用梯形的面积减去三角形的面积，再减去三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图1，作于点，

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）．
如图，作 ，交的延长线于点，

，
，即，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，若将沿直线翻折得到，则，
点在过且平行于的直线上，
将沿直线翻折得到，则，
点定在以为圆心，为半径的上，
过作于，交于点，
则的长为最小值，
连接，作直线，交于，作于，

由题得点在上，且，
，，
，
，
，，
由折叠得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等等知识点的综合应用，解直角三角形、点的轨迹的判断、直线与圆的位置关系是解题关键．
题型02 锐角三角函数与四边形综合
4．（2023·山东青岛·一模）【阅读与思考】
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
【探究与应用】
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是______；
(2)若矩形的面积为，其变形后的平行四边形面积为，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且，这个矩形发生变形后为，为E的对应点，连接，，若矩形ABCD的面积为的面积为，求的大小．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)45°
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）由已知条件得到，由相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，证得，于是得到结论．
【详解】（1）
解：∵平行四边形有一个内角是120°，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴
∴
则；
（3）解：如图2，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
由（2）知，；
可知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似综合题，需要掌握平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的理解“变形度”的定义是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·模拟预测）【实践操作】如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，把沿着折叠得到，作射线交射线于点过点作于点．
(1)求证：；
(2)当时， ______ ；
(3)【问题解决】如图，在正方形纸片中，取边中点，，将沿着折叠得到，作射线交边于点，点为边中点，是边上一动点，将沿着折叠得到，当点落在线段上时， ______ ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
（1）根据可证明：；
（2）设，根据勾股定理列方程可解答；
（3）如图，连接，，根据对称和等腰三角形的性质可得是直角三角形，由三角形中位线定理得是的中点，设，根据勾股定理列方程可得的值，最后由三角函数定义可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
由折叠得：，，
，，
，
，
≌；
（2）解：设，
≌，
，
，
，
在中，，
，
，
；
故答案为：；
（3）解：如图，连接，，
关于对称，
，，
是的中点，
，
，
是直角三角形，
，
，
为的中点，
是的中点，
为的中点，，
，，
设，
则，
，，，
≌，
，
在中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）【操作一】如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求的大小．
以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整．
解：四边形是正方形，
，，．
，
，
是的中点，
由折叠，得
______
在中，
．
______ 度．
【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求证：≌．
【应用】在图②的基础上，如图③，、分别是、的中点，顺次连接、、、，若，直接写出点、之间的距离．
【答案】【操作一】，；【操作二】见解析；【应用】
【分析】[操作一]由所给证明过程可推导得出答案；
[操作二]先由得，进一步证明，再由折叠可得，和，并证明，同理，即可得到，最后根据证明结论；
[应用]先根据≌，证明和，以及，进一步证明四边形是平行四边形，以及四边形是平行四边形，得到，再设，则，得到，再根据是的中点得到，最后解方程，求出，即可得到点、之间的距离为．
【详解】解：[操作一]四边形是正方形，
，，，
，
，，
是的中点，
，
由折叠，得，
，
在中，
，
．
故答案为：，．
[操作二]，
，
由折叠可得，，，
，
同理，
，
在和中，
，
≌．
[应用]如图，连接，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
∴，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
解得，
即点、之间的距离为．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形性在应用，勾股定理的计算及三角形全等的证明是解题关键．
7．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上与点不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求证：．
证明思路：在上截取，因为，所以，请完成接下去的证明；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，点是边上与不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求的值；
【拓展提高】
（3）如图3，在矩形中，点是边上一点，连结，作，使点，分别落在边，．上．若，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）先证明，证明，得出，进而可得；
（2）作，交线段于点，证明，得出，进而可得，即可求解；
（3）过点作，即．，得出，设，则，，得出，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】证明：（1）．
，
又四边形是正方形，
，
，
．
在和中，
，
，
，
∵，，
．
（2）作，交线段于点．
．
．
又四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
又，
，
．
（3）如图，过点作，即．
∴，
∵
∵
∴，
∴，
．
，
设，则，，
则，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
题型03 锐角三角函数与圆综合
8．（2023·广西梧州·二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，sin，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）作于点，由得到，根据角平分线定理，即可得到，即可得证，
（2）先根据锐角三角函数，求出、的长，由，可求、、的长，根据，即可求解，
本题考查了切线的性质与判定，角平分线定理，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）证明：作于点，则，
∵与相切于点，
∴，
∵交的延长线于点，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在上，
∵是的半径，且，
∴是的切线，
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴．
9．（2023·广东深圳·模拟预测）已知中，，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的圆始终过点M，且交线段于点E．

(1)求线段的长度；
(2)求的值；
(3)当是等腰三角形时，求出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或5
【分析】（1）在中，，然后在中利用三角函数即可求解；
（2）证明，然后根据等角的三角函数值相等即可求解；
（3）证明，故当是等腰三角形时，则为等腰三角形．然后分①当时，②当时，③当时三种情况求解．
【详解】（1）∵，
∴为直角三角形，
∵M为线段的中点，，
∴，
在中，
则；
（2）连接，

在中，∵是中线，
∴，
∴，
∵,,
∴，
∴，
在中，，则，
∴；
（3）∵，，
∴，
在中，∵是中线，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴当是等腰三角形时，则为等腰三角形，
①当时，
此时；
②当时，
∴.
∵,
∴此种情况不存在；
③当时，
∴.
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴，
在中，，
则；
综上，或5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．（2023·浙江杭州·三模）如图1，三角形内接于圆O，点D在圆O上，连接和，交于点E，

(1)求证：是直径；
(2)如图2，点F在线段上，，
①求证：；
②若，用含k的表达式表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理即可得证；
（2）①先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
②过点作于点，设，，则，，设，则，先根据等腰三角形的判定可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用勾股定理可得，建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：，
，
，
，
是直径．
（2）证明：①，，
，
，
由圆周角定理得：，
，
；
②如图，过点作于点，

设，，则，，
在中，，
，
设，则，
，，，
，
，
，
由圆周角定理得：，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得或（舍去），
则．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用、余弦等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
题型04 锐角三角函数与圆及四边形综合
11．（2023·湖南永州·二模）如图1，在正方形中，为对角线，点F，H分别在边上，，连结交于点E．

(1)求证：平分；
(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K，求证：；
(3)在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明得到，，进而得到即可；
（2）根据全等三角形的性质和圆内接四边形的外角性质得到，过K作于M，证明和，进而利用相似三角形的性质求解即可；
（3）根据相似三角形的性质得到，设，则，，，，，进而利用勾股定理求得，，再根据等腰三角形的性质得到，，，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质证得得到，求得，在中利用余弦定义求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴， ，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∵是圆内接四边形的一个外角，
∴，则，
过K作于M，则，，
∴，，
∴，，
∴；

（3）解：∵点K是线段的中点，
∴，
由（2）中，知，又，
故设，则，，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，平分，
∴，，，
∵过点A，H，F的圆交于点P，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，则，
在中，．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆内角四边形的外角性质、圆周角定理、锐角三角函数等知识，综合性强，难度较大，属于中考压轴题型，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．
12．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点在边上，过点作圆，交边或其延长线于，连接，设．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求弧的长；
(4)若圆经过矩形的两个顶点时，直接写出的值．（注：，，）
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
【分析】（）由题意得，根据锐角三角函数的定义可得出结论；
（）连接，证明，得出，由勾股定理得出，解之即可求解；
（）证明，得出 ，求出，由锐角三角函数可求出，由弧长公式可得出答案；
（）分两种情况：若圆经过矩形的顶点时；若圆经过矩形的顶点时；由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是圆的直径，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长；
（4）或．
若圆经过矩形的顶点时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
若圆经过矩形的顶点时，过点作，垂足落在的延长线，
则四边形是矩形，四边形是矩形，过点作于点，
延长交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，弧长公式，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确进行分类是解题的关键．
13．（2023·江苏扬州·三模）已知在矩形中，，点是边上的一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径作圆，交射线于点．

(1)如图1，当与直线相切时，求半径的长；
(2)当经过点时，求的正弦值．
(3)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）设与直线的切点为点，连接，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可；
（2）连接，设，则，利用勾股定理构造方程求得 ， ，从而即可得解；
（3）分三种临界情况：①当与边的切点为点，连接，此时恰好有三个交点，②当恰好经过点时，连接，③当点与点重合时，作出相应图形求解即可．
【详解】（1）解：设与直线的切点为点，连接，如图所示：

∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴半径的长为；
（2）解：连接，设，

∵四边形是矩形，
∴，，
∵当经过点，
∴，
∴，
∵，
∴即，
解得 ，
∴
∴ ；
（3）解：①如图所示：当与边的切点为点，连接，此时恰好有三个交点，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，

∴由（）得半径的长为，恰好有一个交点，
∴当时，满足条件；
②当恰好经过点时，连接，如图所示：

由（）得半径的长为；
∴当时，与的三边的交点多于个，不满足条件；
③当点与点重合时，如图所示，满足条件，

∴当时，满足条件；
综上可得：或时，满足条件．
【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，求正弦值，矩形的性质及勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
题型05 锐角三角函数与圆及三角形综合
14．（2023·江西萍乡·二模）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)延长和交于点，若，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及等边对等角得出，证明进而得出，即可得证；
（2）根据题意，设，则，由，可得，根据，即可求解．
（3）由（2）知：，勾股定理求得，然后证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
设，则，
，
，
，
（3）解：由（2）知：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，求角的余弦，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023·广东惠州·一模）如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是圆O的切线；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】（1）圆周角定理，得到，再根据，即可得证；
（2）连接，证明，推出，即可得证；
（3）根据同角的余角相等，得到，求出的长，证明，利用相似比进行求解即可．
【详解】（1）证明：为的直径，
，即，
又，
；
（2）证明：连接，如图，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3），，
，
，
在中，
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
16．（2023·上海宝山·二模）如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E．
(1)当时，求的长；
(2)当时，求的值；
(3)当为直角三角形时，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的值为或．
【分析】（1）作于M，联结，证明四边形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解；
（2）同（1）作于M，联结，可得四边形是矩形，求得，由，求得，再求得，根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（3）分两种情况讨论，当时，同（1）可得四边形是矩形，再证明，利用相似三角形的性质求得的长，即可求解；当时，求得，即可求解．
【详解】（1）解：作于M，联结，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：作于M，联结，
同理四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：作于M，联结，
同理四边形是矩形，
∴，
当时，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得(负值已舍)，
∴，
∴；
当时，
由垂径定理得，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
题型06 锐角三角函数与函数综合
17．（2023·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，若点是抛物线与在轴下方的交点且，求抛物线对应的函数表达式．
【答案】(1)
(2)线段的最大值是，此时点的坐标为
(3)抛物线对应的函数表达式为．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线对应的函数表达式为；
（2）求出，直线解析式为，设，可得，而，可推得是等腰直角三角形，，故，由二次函数性质可得答案；
（3）过作于，过作轴交轴于，过作于，由，证明，得，设，，可得，从而，直线解析式为，联立，解得，设抛物线解析式为，解得或（舍去），故抛物线对应的函数表达式为．
【详解】（1）解：把、代入得：
，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：在中，令得，
，
由，,设直线解析式为，
则直线解析式为，
设，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，取最大值，此时的坐标为；
线段的最大值是，此时点的坐标为；
（3）解：过作于，过作轴交轴于，过作于，如图：
，
，
，，
，
，
，，
设，，则，，
，，
，
解得，
，
由，同上得：直线解析式为，
联立，
解得或，
，
，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，
设抛物线解析式为，
将代入得：
，
解得或（舍去），
抛物线对应的函数表达式为即．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平移变换，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
18．（2023·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或或
【分析】
本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，锐角三角函数的应用，熟练的求解函数解析式是解本题的关键；
（1）利用三角函数先求解的坐标可得反比例函数的解析式，再求解的坐标，可得一次函数的解析式，从而可得答案；
（2）先利用勾股定理求解的长，再分两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）
解：过作轴于点，如图，
，，
，即，
解得，
，
，
反比例函数且过点，
，
反比例函数解析式为，
反比例函数且经过点，
，解得，
，
一次函数过、两点，
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）
，
，
设点坐标为，则，，
是以为腰的等腰三角形，
或，
当时，则有，解得，
此时点坐标为或；
当时，则有，
解得或舍去，
此时点坐标为，
综上可知满足条件的点的坐标为或或．
19．（2023·山东济南·二模）如图，点B坐标为，点A在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，轴于点F，，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与交于点C，且．

(1)求反比例函数解析式及C点坐标；
(2)若线段上一点P，使得，求点P的坐标；
(3)过点C作轴，交于点G，点M为直线上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存在这样的点H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出所有满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，C(6,2)；
(2)
(3)存在H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与相似，M点的坐标为或或或或或．
【分析】
（1）根据正切函数及勾股定理解三角形得出，，即可确定，代入反比例函数解析式即可求解；设，过点C作轴于点G，过点E作轴于点H，根据平行四边形及相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）过点P作于点T，作轴于点W，过点B作于点R，延长交x轴于点M，过点C作轴于点K，利用待定系数法确定直线的解析式为，再由等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形确定，，再由正切函数及相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）根据题分情况分析：当点C与点A为对应点时，点H在点C右侧的双曲线上，当点C与点B为对应点时，当点C与点E为对应点时，当点C与点A为对应点时，分别作出相应图形，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）
解：∵，
∴，
∵轴于点F，
∴，即，
∴，
∴，
∵点B坐标为，
∴，
∴，
∵反比例函数在第一象限内的图象经过点D，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设，过点C作轴于点G，过点E作轴于点H，如图所示：

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴,
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴C(6,2)；
（2）
如图，过点P作于点T，作轴于点W，过点B作于点R，延长交x轴于点M，过点C作轴于点K，

设直线的解析式为，
∵，
，解得，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）
存在，理由如下：
根据图象得：为钝角三角形，
∴当点C与点A为对应点时，点H在点C右侧的双曲线上，在x轴上取点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得：, ，
∴直线与双曲线的交点为和均不符合题意，
当点C与点B为对应点时，如图所示：

设，
过点H作轴，交CG于点L，作轴于点N，
则,，
∵，
∴，
∴，即
解得：（舍去），，
∴，
，
设，
∵或
∴或
或，
解得：或，
∴或；
当点C与点E为对应点时，如图所示：
作于点S，
∴， ，
∵，
∴，
∴，即，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∵或，
或，
或，
解得：或，
∴或；
当点C与点A为对应点时，如图所示：

设，过点H作轴，交CG于点L，作轴于点N，
则,，
∵，
∴，
∴，即
解得：（舍去），，
∴，
，
设，则，
∵或
∴或
或，
解得：或，
∴或；
综上所述，存在H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与相似，
M点的坐标为或或或或或．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，理解题意，综合运用这些知识点，然后进行分情况分析是解题关键．
20．（2023·江苏宿迁·二模）阅读下列材料：
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图像的开口方向，决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图，抛物线上任意一点（）（异于顶点）到对称轴的垂线段的长度（的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（）到抛物线的顶点（）的距离（）叫这个点的“股高”，记作；点（）到顶点（）的距离（的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（）和顶点（）的直线（）与对称轴（）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．

由图1可得，对于函数：
（1）当勾距为定值时
①；股高和弦长均随增大而增大；
②；偏角随增大而减小；
（如：函数中，当时，；）
（2）当偏角为定值时
，勾距、股高和弦长均随增大而减小；
（如：函数中，当时，、）
利用以上结论，完成下列任务：
如图2：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．
(1)函数中，①当时，________，②当时，________；
(2)如图2：以为顶点作抛物线：和与轴相交于点与直线相交于点，与轴相交于点：
①当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
②若点M在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【分析】（1）①根据材料（1）勾距为定值时，；
②当偏角为定值时，，代入数据即可求解．
（2）①根据题意，分别求得，进而即可求解；
②根据题意，分求得，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①函数中，①当时， ，②当时， ，
故答案为：，．
（2）①如图所示，过点作于点，过点作于点

以为顶点作抛物线：和
∴
以为顶点的抛物线与轴相交于点，
由，令，解得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
则，
∴
∵
∴与轴交于点，，
∴，
∴
②当时，如图所示

由①可得，，
∴
∵设，
∴，
∴
∴
又，
∴
∴
又，
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握题目所给的材料是解题的关键．
题型07 12345模型
21．（2023·广东深圳·二模）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接交于点E，连接．给出4个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】连接，利用全等三角形的判定与性质得到，则为等腰直角三角形；利用角平分线的性质定理和平行线分线段成比例定理得到，则，利用平行线的性质得到，则为等腰直角三角形，则得①的结论正确；利用三角形的内角和定理得到，利用两直线平行，内错角相等得到，则②的结论正确；利用三角形的外交的性质得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理得到，则得③的结论不正确；利用相似三角形的判定与性质，列出比例式计算，则得④的结论正确．
【详解】解：连接，，为格点，如图，
由题意得：，，，．
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
①的结论正确；
，，
．
，
，
．
②的结论正确；
，，
，
在中，
，
，
③的结论不正确；
，，
，
，
，
④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，本题是网格题，熟练掌握网格的特性是解题的关键．
22．（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接将纸片沿折叠，使A落在的位置，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成，综合考查了矩形的性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，构造方程是解题关键．过点作轴的垂线，垂足为，根据先求出、的长度，借助面积公式求出、的长度即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，
设，，
四边形是矩形，
，
四边形为梯形，
设，，
∵，，
∴，
解得，（负值舍去）
由题意得，
，
由勾股定理得，
由面积公式得，
联立解得，，
点的坐标为
故选：．
23．（2022·江苏无锡·一模）如图所示的网格是正方形网格，则 ， °（点A，B，P是网格线交点）．
【答案】 45
【分析】根据正切的定义即可求得的值，延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理及其逆定理，可证得是等腰直角三角形，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：
如图：延长AP交格点于点D，连接BD，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，∠PDB=90°，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：，45．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为分别交轴，轴于，两点，已知点．
（1）当直线经过点时， ；
（2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】（1）将点点代入直线的解析式即可求解；
（2）如图所示（见详解），作，连接．则，由（1）可知，，由此得，，当时，，由此即可求解．
【详解】解：（1）当直线经过点时，点与点重合，
当时，，即，
故答案为2．
（2）如图所示，
作，连接．则， 且又可得，．
∴，，则，
当时，，
∴，不符合题意；
当时，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，解得．
故答案是：12．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图形的特点，几何图像的变换是解题的关键．
题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
25．（2024·江苏南京·模拟预测）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得E点的仰角为，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中）是否属实？（参考数据：，）
【答案】说明书写的烟花燃放高度属实
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过作于，根据矩形的性质得到，，，设，，根据勾股定理得到，米，根据米，米，求得米，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：过作于，于，
则四边形是矩形，
，，，
在中，米，，
设，，
，
，
米．米，
∵米，米，
米，
，
，
，
在中，，，，
，
，
（米．
∵在即425与435的范围内，
答：说明书写的烟花燃放高度属实．
26．（2024·江苏南京·一模）如图，山顶有一塔，在塔的正下方沿直线有一条穿山隧道，从与E点相距m的C处测得A，B的仰角分别为，．从与F点相距m的D处测得A的仰角为．若隧道的长为m，求塔的高．（参考数据：，．）

【答案】33m
【分析】延长交于点，则，结合角的正切分析求解直角三角形．
【详解】解：如图，延长交于点，则

在中，，
∵．
∴．
在中，，
∵，
在中，，
∵，
∴．
由题意可得m，m，m
∴
∴
又∵，
∴，解得，
∴
∴，解得
∴m
答：塔的高为33m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（2024·陕西商洛·一模）数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼的高度
测量方案示意图
测得数据 ，，
说明 图上所有点均在同一平面内
参考数据 ，，， ，，
请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数）
【答案】教学楼的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，则可得，然后分别在与中，利用三角函数的知识，求得与的长，进而可得，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】根据题意得：四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：教学楼的高度约为．
28．（2024·陕西西安·三模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，，，，
在中，，
，
是的一个外角，，，
，
，
，
在中，，
，
楼与之间的距离的长约为．
题型09 锐角三角形应用-方位角问题
29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东方向上，沿正东方向行走100米至观测点D，测得A在D 的正北方向，B在D的北偏西方向上．求A，B两点间的距离（精确度到米）．参考数据：，，．，，
【答案】，两点间的距离约107米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得和是直角三角形是解决问题的关键．由三角形内角和定理证得和是直角三角形，解直角三角形即可求出．
【详解】解：根据题意得，，三点共线，
，
，
，
，
在中，，米，，
（米），
在中，，米，，
（米）．
答：，两点间的距离约107米．
30．（2023·重庆·模拟预测）如图，四边形是某公园内的休闲步道．经测量，点B在点A的正东方向，米，点C在点B的正北方向，点D在点A的西北方向，米，点D在点C的南偏西60°方向上．（参考数据：）
(1)求步道的长度；（精确到个位）
(2)甲以90米/分的速度沿的方向步行，同时乙骑自行车以300米/分的速度沿的方向行驶．两人能否在3分钟内相遇？请说明理由．
【答案】(1)步道的长度为373米
(2)两人可以在3分钟内相遇，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于过点作于，则四边形是矩形，求得米，，解直角三角形即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：过点作于过点作于，
则四边形是矩形，
米，，
在中，，米，
（米，
米，米，
在中，，米，，
（米，
（米．
答：步道的长度约为373米；
（2）解：两人能在3分钟内相遇，理由如下：
在中，，米，
，
米，
四边形的周长为，
（秒，
故两人能在3分钟内相遇．
31．（2023·重庆·模拟预测）如图，一艘巡逻船以每小时50海里的速度从正北向正南方向进行巡逻，在点A处测得码头C在其南偏东方向上，继续向正南方向航行2小时到达点B处，测得码头C在其北偏东方向上．

(1)求此时巡逻船所在点B处与码头C的距离；（结果保留根号）
(2)巡逻船在点B处发现其南偏东方向上的点D处有一只正在非法捕鱼的渔船，于是立即调整方向以原速朝着点D处行驶，同时，巡逻船与停靠在码头C的海监船取得联系，渔船在码头C的南偏东方向上，海监船得到命令后整理装备用时10分钟，然后以每小时80海里的速度朝渔船行驶．求海监船从码头C到达渔船所在的点D处的时间；并据此判断海监船能否比巡逻船提前到达D处．（结果精确到百分位，参考数据：）
【答案】(1)海里
(2)海监船从码头C到达渔船所在的，点D处用时小时，且海监船能比巡逻船提前到达点D处
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解方位角的含义是解本题的关键．
（1）先求解，海里，再解直角三角形可得的长度；
（2）先求解，．过点B作于点E．求解海里．海里，海里．再计算时间进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得，，
，（海里）．
在中，，，
（海里）．
答：此时巡逻船所在点B处与码头C的距离为海里．
（2）由题意，得，
．

过点B作于点E．
在中，，，
（海里）．
在中，，，
（海里），
（海里）．
海监船用时为（时），
巡逻船用时为（时）．
，
∴海监船能比巡逻船提前到达点D处．
答：海监船从码头C到达渔船所在的，点D处用时小时，且海监船能比巡逻船提前到达点D处．
32．（2024·重庆·一模）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东方向，D在C的北偏西方向．
(1)求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）
(2)客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：）
【答案】(1)千米
(2)能
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：
（1）过点D作于点E，得出，，设千米，则千米，在中，千米，根据列方程求出，从而可求出；
（2）分别求出的长，再求出应急车和救援车从出发地到目的地行驶时间，再进行比较即可得出答案
【详解】（1）解：过点D作于点E，如图，
则
由题意知，
∴是等腰直角三角形，
∴
设千米，则千米，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴千米，
即车站B到目的地D的距离为千米；
（2）解：根据题意得，
又，
∴千米，
又∵
∴千米，
救援车所用时间为：（时）；
应急车所用时间为：（时）
∵，
∴救援车能在应急车到达之前赶到D处．
题型10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
33．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，）
【答案】小山的高度约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性质推出，解直角三角形求出，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵山坡的坡度为，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，
∴
解得或（舍去），
∴，
四边形为正方形，
，
∴，
在中，，
，
，
答：小山的高度约为．
34．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度，坡面米．
(1)求甲、乙两人出发时的水平距离．
(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．
【答案】(1)米
(2)甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点A作，根据坡度比设，则，利用勾股定理即可求解；
（2）设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，列分式方程即可求解．
【详解】（1）解：过点A作，如图，
由题意得：，，
∴设，则，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：，
∴米；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
设乙的速度为v分钟/米，则甲的速度为分钟/米，
由题意得：，解得：，
经检验：是分式方程的解，
则，
∴甲的登山速度为60分钟/米，乙的登山速度为50分钟/米；
35．（2024·四川达州·模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口的上方处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中高度为，宽度为，坡面的坡角为．，结果精确到 0.1米．
(1)根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度；
(2)图2中，线段为顶点C到坡面的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？
【答案】(1)
(2)该车能进入该车库停车
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
（1）根据正切的定义求出，进而求出；
（2）根据正弦的定义求出，根据题意解答即可．
【详解】（1）解：在中，，，
，
，
答：点到坡面的铅直高度约为；
（2）解：在中，，，
，
，
该车能进入该车库停车．
36．（2023·山东青岛·模拟预测）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度．（结果精确到1米．参考数据：，，， ）．
【答案】工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．根据正切的定义分别求出，计算即可．
【详解】解：在中，，
∵，米，
∴（米），
在中，，
∵，米，
∴（米），
∴（米），
答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度约为米．
题型11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
37．（2024·安徽合肥·一模）如图，为了测量湖泊东西方向的距离AB，测绘员在湖泊正东方向的D处（B，A，D在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点D的正上方C处时，测得湖泊东岸A的俯角∠ECA为，测得湖泊西岸B的俯角∠ECB为，此时无人机距离地面的高度CD为200m，求湖泊东西方向的距离AB．（，，，，，，结果保留1位小数）
【答案】湖泊东西方向的距离约为．
【分析】
本题考查解直角三角形的应用．先在中利用正切的定义计算出，然后在中利用正切的定义计算，进一步计算即可求解．
【详解】
解：在中，，，
，
，
在中，，，
，
．
．
答：湖泊东西方向的距离约为．
38．（2024·浙江温州·一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【答案】（1）C，D两点的垂直高度差；（2）顶点A到水平地面的垂直高度；（3）若选择小组一：旗杆的高度为；若选择小组二：旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义．
（1）作交于点H，根据斜坡的坡比为，，求出，即可；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，根据的正切值为2，仰角的正切值为，得出，，设，则，，，得出，求出a的值即可得出答案；
（3）根据测出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可．
【详解】解：（1）作交于点H，
斜坡的坡比为，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得：
，，
C，D两点的垂直高度差；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，
∵的正切值为2，仰角的正切值为，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，，，
，
解得，
，，，
顶点A到水平地面的垂直高度；
（3）小组一：∵的正切值为，
∴，
∵，
，
；
小组二：∵的正切值为，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
39．（2023·海南海口·二模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内．
(1)填空：________，________；
(2)求点D到点A的距离；
(3)求隧道的长．（结果保留根号）
【答案】(1)75，90
(2)点D到点A的距离为300米
(3)隧道的长为米
【分析】（1）如图，过点D作于点E，根据方位图易得，，根据三角形内角和定理可得，，进而可得；
（2）在中，，根据三角函数即可求出的长；
（3）在中，根据三角函数求出的长，在中，根据三角函数求出的长，即可求出的长．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：如图
如图，过点D作于点E，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：，．
（2）在中，，
．
答：点D到点A的距离为300米．
（3）（3）如图1，过点D作于点E．
∵是东西走向，
∴，．
在中，
．
在中，
．
∴．
答：隧道的长为米．
题型12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
40．（2024·辽宁盘锦·一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（参考数据：，，，
(1)如图2，，．
①填空：_____°；
②投影探头的端点D到桌面的距离为_____cm．
(2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点到桌面的距离．
【答案】(1)①160；②36
(2)投影探头的端点D到桌面OE的距离为
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
（1）①延长交于，先证明得到，再利用三角形外角的性质求出的度数即可；②解求出，进而计算即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，则四边形是矩形，由（1）得，，则，求出，解，求出，则，即投影探头的端点到桌面的距离为．
【详解】（1）解：①如图所示，延长交于，
∵，，
，
，
，
故答案为：160；
②在中，，，，
，
，
，
投影探头的端点到桌面的距离为，
故答案为：36；
（2）解：如图所示，延长交于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，则四边形是矩形，
由（1）得，，
，
，
，
在中，，，
，
，
投影探头的端点到桌面的距离为．
41．（2023·四川成都·模拟预测）桌面上的某创意可折叠台灯的实物图如图①所示，将其抽象成图②，经测量，灯杆的长为，灯管的长为，底座的厚度为．不考虑其它的因素，求台灯的高（点E到桌面的距离）．（结果精确到；参考数据：，）
【答案】45cm
【分析】本题考查了解直角三角形的其他应用：过点D作AB的平行线DM，过点D作AB的垂线，垂足为点G，过点E作DM的垂线，垂足为点F．在中，根据勾股定理，得，在中，，．注意底座的厚度为，即可作答．
【详解】解：如图，过点D作的平行线，过点D作的垂线，垂足为点G，过点E作的垂线，垂足为点F．
∵，
∴．
∵
∴
在中，
∴．
在中，，
∴．
∵底座的厚度为
∴点E到桌面的距离为．
答：台灯的高（点E到桌面的距离）约为45cm
42．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习） 有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点均为可转动点，现测得，经多次调试发现当点都在的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
(1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小；
(2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：，，，）
【答案】(1)灯座与灯杆的夹角为；
(2)此时光线不是最佳．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）延长交于点F，由线段垂直平分线的性质可得且，利用三角函数的定义由此求解即可；
（2）作于点M，作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：延长交于点F，则由题可知且；
∴，
∴，即灯座与灯杆的夹角为；
（2）解：作于点M，作于点G，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴cm，
∴，
∴此时光线不是最佳．
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）点关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为（　　）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，求出，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出点Q的坐标，最后根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，求出M点的坐标即可．
【详解】解：点的坐标为,
∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为，
∴点Q关于原点的对称点M的坐标为，故B正确．
故选：B．
2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，飞行员在空中观察地面的区域是一个圆，当观察角度为，飞机的飞行高度为1000米时，观察区域的半径是（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正切函数，解直角三角形的应用；根据正切函数的定义即可完成求解．
【详解】解：如图，，，为观察区域的半径，
∵，
∴，
故选：A．
3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，作垂足分别为点E和点H，作于点F，证明四边形是矩形，同时得到，求得，的值，即可得到答案．
【详解】解：如图，作垂足分别为点E和点H，作于点F，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴ ，
∵，
∴，，
∴,
∴，
故选：D
4．（2023·安徽·模拟预测）如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，从而可得，再根据黄金分割的定义可得，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而证明A字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点M作，垂足为D，延长交半于点，连接，，

由折叠得：，，
∴，
∵点M为的黄金分割点（），
∴，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是半的内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解．
【详解】解：过作于，过作于，

由已知，，，
∴，，
∴设，则，
∴在中，，
，
解得，
∴，，
由折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出．
6．（2023·浙江杭州·二模）如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意作出对应的图形，连接，，得，由垂径定理得，再由，，，，半径相等，，再由点P为的重心，可知，得，最后列式即可．
【详解】解：如图所示，连接，过点O作于H，连接，，如图所示，设点A到的距离为h：

∵，
∴当点A到的距离最大时，三点共线，
∴，，
∵，
∴，，，
∵在，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点P为的重心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正确掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键．
7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知正方形和正方形，且三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形，交于点，连接．设，．若点三点共线，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，三角函数，过点作于，连接，先证明，得到，设，则，，再证明、，得到，，，利用三角函数即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，连接，则，
∵四边形、四边形、四边形是正方形，
∴，，，
∵点三点共线，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题
8．（2024·浙江温州·一模）如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】如图：连接，交于G点，先证明可得，再证，再根据平行线分线段成比例定理可得，然后代入相关数据计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，交于G点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴
∵是直径，
∴，
∵，
∴,即,
∵，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∵，
∴，即．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，点E是四边形外一点，连接交于点F，O在上，连接

（1）若，则 °
（2）若，则
【答案】 65
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，可得,由可得；
（2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，得 得由勾股定理求出 求出证明得，，从而可得答案
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∴,
∵
∴；
（2）过点D作于点M，于点N，于点R，于S，如图，

则
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
由勾股定理得，
∴
∵，
∴,
∴
又
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，，
∴
∴
故答案为：65；
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质在，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理以及求角的正切值，正确作出辅助线构造全等三角形以及相似三角形是解答本题的关键
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等腰中，，若点E，F分别在边和边上，沿直线将翻折，使点C落于所在平面内，记为点D．直线交于点G．

（1）若落在边上，则 ；
（2）若，则 （用含的代数式表示）
【答案】
【详解】解：（1）如图，

由折叠得，，点B与点F重合，
则
设，则
在等腰中，，则
；
（2）过点G作于点H，

，
由，设则，
在等腰中，，则
又由作图得为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：，
11．（2024·江西·一模）如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ．
【答案】或
【分析】过点B作轴于点D，求出，由反比例函数对称性可知还可以经过点，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：如图，过点B作轴于点D，
，
，，
，
．
，
．
根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知，还可以经过点．
若点B经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了；
若点A经过，如图所示，
此时，
∴，即绕着点O顺时针旋转了．
综上可知，绕着点顺时针旋转或后使的顶点依然在该反比例函数的图象上．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何综合，解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题
12．（2023·重庆万州·模拟预测）万州二中教育集团数学爱好者小艺为测量教学楼对面的大楼的高度，她先到达教学楼顶部的休闲区点的位置，看到对面大楼顶端的视线与水平线的夹角为，然后沿长米、坡度为：的斜坡到达斜坡顶端，再向前走米到达教学最边缘的观测点处，看到对面大楼底端的视线与水平线的夹角为，已知大楼底部和教学楼底部在同一水平面上，目高米，教学楼高为米（参考数据：，，）
(1)求教学楼与对面大楼的水平距离的长；
(2)求对面大楼的高．
【答案】(1)教学楼与对面大楼的水平距离的长为米
(2)对面大楼的高约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据题意设米，则米，在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意得米，求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
，
由题意得：，，米，，，
斜坡的坡度为，
∴，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
∴米，米，
∵米，
∴（米），
在中，米，
∴米，
教学楼与对面大楼的水平距离的长为米；
（2）解：过点作，垂足为，
，
由题意得：米，米，，
米，米，
∴米，
在中，米，
∴米，
对面大楼的高约为米．
13．（2023·浙江衢州·模拟预测）在矩形中，，，点在射线上，连接，点关于直线的对称点为，连接，．
(1)如图1，当经过点时，求证：．
(2)如图2，当为的中点，连结，求．
(3)当时，求与矩形重合部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)8
【分析】（1）根据对称，证明，进而证明，对应角相等，再根据矩形的性质推出，进而作答；
（2）连接，由（1），对应线段成比例，求出，为直角三角形，根据勾股定理推出，进而求；
（3）时，，为等腰直角三角形，根据正方形的性质，与矩形重合部分的面积，即，的面积．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
点关于直线的对称点为，
，，
又
，
，，
又 ，
，
，
矩形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接交于，
由（1）得，
，，
，，
，
，
，
，
点为的中点，
，
为直角三角形，
，
，
（3）解：当时，即，
为等腰直角三角形，
连接，则四边形为正方形，
与矩形重合部分的面积为△ 的面积，
．
【点睛】本题考查矩形性质，对称的性质，三角形相似的判定与性质，三角函数，三角形全等的判定与性质，等综合题，作辅助线是解题的关键．
14．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．

(1)求点到的距离；
(2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．．
①当与相切时，求的长；
②当时，直接写出的长．
【答案】(1)4
(2)①；②5或11
【分析】（1）由勾股定理求出的长，然后根据三角函数的定义求出到的距离即可；
（2）①连接，由（1）以及可以求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可；
②过作与，所以四边形为矩形，在中运用勾股定理即可求出的长，从而可以求出的长．
【详解】（1）解：过作于，如图：

，，，
，
在直角中，，
，
即点到的距离为4；
（2）解：①连接，如图：

由（1）知，，
，
，
，
，，，
，
是圆的切线，
，
；
②过作于，如图：

，，
四边形为矩形，
，，
在直角中，，
或11，
或11．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理构造直角三角形是本题解题的关键．专题08 锐角三角形及其应用
目 录
题型01 锐角三角函数与三角形综合
题型02 锐角三角函数与四边形综合
题型03 锐角三角函数与圆综合
题型04 锐角三角函数与圆及四边形综合
题型05 锐角三角函数与圆及三角形综合
题型06 锐角三角函数与函数综合
题型07 12345模型
题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
题型09 锐角三角形应用-方位角问题
题型10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
题型11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
题型12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
（时间：60分钟）
题型01 锐角三角函数与三角形综合
1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在锐角三角形中，，线段分别是边上的高线，连接，则三角形面积的最大值是 ．

2．（2023·河南南阳·三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究：

(1)将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在和中，，，，当点D在线段上时（点D不与点A，B重合），
①由题意可得，其依据是：___________；
A． B． C． D．
②直接写出与的数量关系___________．
(2)将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在和中，，，，点A与线段不在同一直线上，（1）中与的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关系；
(3)将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在和中，，，．将绕点C在平面内旋转，当点D落在边上时，满足，请直接写出的长．
3．（2023·重庆沙坪坝·二模）等边中，点为直线上一动点，连接．

(1)如图1，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．若点在边上，且，，求的长度；
(2)如图2，若点在延长线上，点为线段上一点，点在延长线上，连接、．在点的运动过程中，若，且，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在边上，且，将绕点逆时针方向旋转得到线段，点是直线上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，在点，运动过程中，当最小时，若，请直接写出的面积．
题型02 锐角三角函数与四边形综合
4．（2023·山东青岛·一模）【阅读与思考】
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．
【探究与应用】
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是______；
(2)若矩形的面积为，其变形后的平行四边形面积为，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且，这个矩形发生变形后为，为E的对应点，连接，，若矩形ABCD的面积为的面积为，求的大小．
5．（2023·吉林长春·模拟预测）【实践操作】如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，把沿着折叠得到，作射线交射线于点过点作于点．
(1)求证：；
(2)当时， ______ ；
(3)【问题解决】如图，在正方形纸片中，取边中点，，将沿着折叠得到，作射线交边于点，点为边中点，是边上一动点，将沿着折叠得到，当点落在线段上时， ______ ．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）【操作一】如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求的大小．
以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整．
解：四边形是正方形，
，，．
，
，
是的中点，
由折叠，得
______
在中，
．
______ 度．
【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求证：≌．
【应用】在图②的基础上，如图③，、分别是、的中点，顺次连接、、、，若，直接写出点、之间的距离．
7．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】
（1）如图1，四边形是正方形，点是边上与点不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求证：．
证明思路：在上截取，因为，所以，请完成接下去的证明；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形中，点是边上与不重合的任意一点，，，点是射线上一点，求的值；
【拓展提高】
（3）如图3，在矩形中，点是边上一点，连结，作，使点，分别落在边，．上．若，且，求的值．
题型03 锐角三角函数与圆综合
8．（2023·广西梧州·二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，sin，求的长．
9．（2023·广东深圳·模拟预测）已知中，，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的圆始终过点M，且交线段于点E．

(1)求线段的长度；
(2)求的值；
(3)当是等腰三角形时，求出线段的长．
10．（2023·浙江杭州·三模）如图1，三角形内接于圆O，点D在圆O上，连接和，交于点E，

(1)求证：是直径；
(2)如图2，点F在线段上，，
①求证：；
②若，用含k的表达式表示．
题型04 锐角三角函数与圆及四边形综合
11．（2023·湖南永州·二模）如图1，在正方形中，为对角线，点F，H分别在边上，，连结交于点E．

(1)求证：平分；
(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K，求证：；
(3)在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．
12．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点在边上，过点作圆，交边或其延长线于，连接，设．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求弧的长；
(4)若圆经过矩形的两个顶点时，直接写出的值．（注：，，）
13．（2023·江苏扬州·三模）已知在矩形中，，点是边上的一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径作圆，交射线于点．

(1)如图1，当与直线相切时，求半径的长；
(2)当经过点时，求的正弦值．
(3)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；
题型05 锐角三角函数与圆及三角形综合
14．（2023·江西萍乡·二模）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)延长和交于点，若，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
15．（2023·广东惠州·一模）如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是圆O的切线；
(3)若，求的长．
16．（2023·上海宝山·二模）如图，已知半圆O的直径，C是圆外一点，的平分线交半圆O于点D，且，联结交于点E．
(1)当时，求的长；
(2)当时，求的值；
(3)当为直角三角形时，求的值．
题型06 锐角三角函数与函数综合
17．（2023·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，若点是抛物线与在轴下方的交点且，求抛物线对应的函数表达式．
18．（2023·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
19．（2023·山东济南·二模）如图，点B坐标为，点A在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形，轴于点F，，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与交于点C，且．

(1)求反比例函数解析式及C点坐标；
(2)若线段上一点P，使得，求点P的坐标；
(3)过点C作轴，交于点G，点M为直线上的一个动点，H为反比例函数上的动点，是否存在这样的点H、M，使得以C、H、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出所有满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023·江苏宿迁·二模）阅读下列材料：
在九年级下册“5.2二次函数的图像和性质”课时学习中，我们发现，函数：中的符号决定图像的开口方向，决定图像的开口大小，为了进一步研究函数的图像和性质，我们作如下规定：如图，抛物线上任意一点（）（异于顶点）到对称轴的垂线段的长度（的长度）叫做这个点的“勾距”，记作；垂足（）到抛物线的顶点（）的距离（）叫这个点的“股高”，记作；点（）到顶点（）的距离（的长度）叫这个点的“弦长”，记作；过这个点（）和顶点（）的直线（）与对称轴（）相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作．

由图1可得，对于函数：
（1）当勾距为定值时
①；股高和弦长均随增大而增大；
②；偏角随增大而减小；
（如：函数中，当时，；）
（2）当偏角为定值时
，勾距、股高和弦长均随增大而减小；
（如：函数中，当时，、）
利用以上结论，完成下列任务：
如图2：已知以为顶点的抛物线与轴相交于点，若抛物线的顶点也是，并与直线相交于点，与轴相交于点．
(1)函数中，①当时，________，②当时，________；
(2)如图2：以为顶点作抛物线：和与轴相交于点与直线相交于点，与轴相交于点：
①当时，设，随的取值不同，的值是否发生改变，如果不变，请求出的值，如果发生改变，请直接写出的取值范围；
②若点M在抛物线上，直线与的另一个交点为，记的面积为，的面积为，若，请求出的值
题型07 12345模型
21．（2023·广东深圳·二模）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接交于点E，连接．给出4个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
22．（2023·河南郑州·三模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接将纸片沿折叠，使A落在的位置，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·江苏无锡·一模）如图所示的网格是正方形网格，则 ， °（点A，B，P是网格线交点）．
24．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为分别交轴，轴于，两点，已知点．
（1）当直线经过点时， ；
（2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是 ．
题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
25．（2024·江苏南京·模拟预测）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得E点的仰角为，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中）是否属实？（参考数据：，）
26．（2024·江苏南京·一模）如图，山顶有一塔，在塔的正下方沿直线有一条穿山隧道，从与E点相距m的C处测得A，B的仰角分别为，．从与F点相距m的D处测得A的仰角为．若隧道的长为m，求塔的高．（参考数据：，．）

27．（2024·陕西商洛·一模）数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼的高度
测量方案示意图
测得数据 ，，
说明 图上所有点均在同一平面内
参考数据 ，，， ，，
请你依据此方案，求教学楼的高度．（结果保留整数）
28．（2024·陕西西安·三模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，
题型09 锐角三角形应用-方位角问题
29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东方向上，沿正东方向行走100米至观测点D，测得A在D 的正北方向，B在D的北偏西方向上．求A，B两点间的距离（精确度到米）．参考数据：，，．，，
30．（2023·重庆·模拟预测）如图，四边形是某公园内的休闲步道．经测量，点B在点A的正东方向，米，点C在点B的正北方向，点D在点A的西北方向，米，点D在点C的南偏西60°方向上．（参考数据：）
(1)求步道的长度；（精确到个位）
(2)甲以90米/分的速度沿的方向步行，同时乙骑自行车以300米/分的速度沿的方向行驶．两人能否在3分钟内相遇？请说明理由．
31．（2023·重庆·模拟预测）如图，一艘巡逻船以每小时50海里的速度从正北向正南方向进行巡逻，在点A处测得码头C在其南偏东方向上，继续向正南方向航行2小时到达点B处，测得码头C在其北偏东方向上．

(1)求此时巡逻船所在点B处与码头C的距离；（结果保留根号）
(2)巡逻船在点B处发现其南偏东方向上的点D处有一只正在非法捕鱼的渔船，于是立即调整方向以原速朝着点D处行驶，同时，巡逻船与停靠在码头C的海监船取得联系，渔船在码头C的南偏东方向上，海监船得到命令后整理装备用时10分钟，然后以每小时80海里的速度朝渔船行驶．求海监船从码头C到达渔船所在的点D处的时间；并据此判断海监船能否比巡逻船提前到达D处．（结果精确到百分位，参考数据：）
32．（2024·重庆·一模）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东方向，D在C的北偏西方向．
(1)求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）
(2)客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：）
题型10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
33．（2024·河南周口·一模）2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，）
34．（2024·广东江门·一模）甲、乙两人去登山，甲从小山西边山脚B处出发，已知西面山坡的坡度（坡度：坡面的垂直高度与水平长度的比，即）．同时，乙从东边山脚C处出发，东面山坡的坡度，坡面米．
(1)求甲、乙两人出发时的水平距离．
(2)已知甲每分钟比乙多走10米．两人同时出发，并同时达到山顶A．求：甲、乙两人的登山速度．
35．（2024·四川达州·模拟预测）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口的上方处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中高度为，宽度为，坡面的坡角为．，结果精确到 0.1米．
(1)根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度；
(2)图2中，线段为顶点C到坡面的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？
36．（2023·山东青岛·模拟预测）我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土加高，使坝高由原来的162米增加到173米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角，新坝体的高为，背水坡坡角．求工程完工后背水坡坡底端水平方向增加的宽度．（结果精确到1米．参考数据：，，， ）．
题型11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
37．（2024·安徽合肥·一模）如图，为了测量湖泊东西方向的距离AB，测绘员在湖泊正东方向的D处（B，A，D在同一直线上）利用无人机升空测量，当无人机恰好在点D的正上方C处时，测得湖泊东岸A的俯角∠ECA为，测得湖泊西岸B的俯角∠ECB为，此时无人机距离地面的高度CD为200m，求湖泊东西方向的距离AB．（，，，，，，结果保留1位小数）
38．（2024·浙江温州·一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D两点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
39．（2023·海南海口·二模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内．
(1)填空：________，________；
(2)求点D到点A的距离；
(3)求隧道的长．（结果保留根号）
题型12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
40．（2024·辽宁盘锦·一模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（参考数据：，，，
(1)如图2，，．
①填空：_____°；
②投影探头的端点D到桌面的距离为_____cm．
(2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点到桌面的距离．
41．（2023·四川成都·模拟预测）桌面上的某创意可折叠台灯的实物图如图①所示，将其抽象成图②，经测量，灯杆的长为，灯管的长为，底座的厚度为．不考虑其它的因素，求台灯的高（点E到桌面的距离）．（结果精确到；参考数据：，）
42．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习） 有一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，图1是台灯的平面示意图，其中点均为可转动点，现测得，经多次调试发现当点都在的垂直平分线上时（如图2所示）放置最平稳．
(1)求放置最平稳时灯座与灯杆的夹角的大小；
(2)当A点到水平桌面（所在直线）的距离为时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将调节到，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：，，，）
（时间：60分钟）
一、单选题
1．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）点关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点的对称点为M，则M的坐标为（　　）
A． B．
C． D．以上答案都不对
2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，飞行员在空中观察地面的区域是一个圆，当观察角度为，飞机的飞行高度为1000米时，观察区域的半径是（ ）米．
A． B． C． D．
3．（2024·山西大同·一模）中考新考法：真实问题情境·实物，如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆，且，连杆与底坐的夹角为，则该椭圆机的机身高度（点到地面的距离）为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽·模拟预测）如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点（），则的值为（　　）

A． B． C． D．
5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（ ）

A． B． C．6 D．
6．（2023·浙江杭州·二模）如图，已知内接于，，，点P为的重心，当点A到的距离最大时，线段的长为（　　）

A． B．
C． D．
7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知正方形和正方形，且三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形，交于点，连接．设，．若点三点共线，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024·浙江温州·一模）如图，的内接四边形，，的直径与交于点F，连接．若，，，则的长为 ．
9．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形中，，点E是四边形外一点，连接交于点F，O在上，连接

（1）若，则 °
（2）若，则
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等腰中，，若点E，F分别在边和边上，沿直线将翻折，使点C落于所在平面内，记为点D．直线交于点G．

（1）若落在边上，则 ；
（2）若，则 （用含的代数式表示）
11．（2024·江西·一模）如图，已知过点的直线与反比例函数的图象交于点，连接，将绕着点顺时针旋转后，的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ．
三、解答题
12．（2023·重庆万州·模拟预测）万州二中教育集团数学爱好者小艺为测量教学楼对面的大楼的高度，她先到达教学楼顶部的休闲区点的位置，看到对面大楼顶端的视线与水平线的夹角为，然后沿长米、坡度为：的斜坡到达斜坡顶端，再向前走米到达教学最边缘的观测点处，看到对面大楼底端的视线与水平线的夹角为，已知大楼底部和教学楼底部在同一水平面上，目高米，教学楼高为米（参考数据：，，）
(1)求教学楼与对面大楼的水平距离的长；
(2)求对面大楼的高．
13．（2023·浙江衢州·模拟预测）在矩形中，，，点在射线上，连接，点关于直线的对称点为，连接，．
(1)如图1，当经过点时，求证：．
(2)如图2，当为的中点，连结，求．
(3)当时，求与矩形重合部分的面积．
14．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．

(1)求点到的距离；
(2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．．
①当与相切时，求的长；
②当时，直接写出的长．

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