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2024年高考考前押题密卷
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
则.
故选：B
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【分析】先根据复数的除法求出复数，再根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可得解.
【详解】由，
得，
所以，
所以.
故选：D.
3．若，则（　　）
A．1 B．32 C．81 D．243
【答案】D
【分析】在所给的式子中，令可得选项.
【详解】在中，令得，
故选：D.
4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出，列出方程求解即得.
【详解】依题意，设点，而抛物线C：的准线方程为，
则，点到直线的距离和为，
因此，所以.
故选：C
5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2 B．m2 C．m2 D．m2
【答案】C
【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解.
【详解】如图所示为该圆锥轴截面,
由题意,底面圆半径,母线,
所以侧面积.
故选：C.
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．的零点为3
C．在上为增函数 D．的定义域为
【答案】C
【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果.
【详解】,可知函数的零点为3，可知A,B正确；
中，由，解得：，
故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.
故选：C
7．直线：被圆：截得的最短弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】首先确定直线过的定点，然后明确直线何种情况下被圆截得的弦长最炫，由此计算即可.
【详解】直线：即为 ，
当时， ，故直线线过定点 ，设该点为P,
又，故点在圆内，
当圆心和P点连线垂直于直线l时，l被圆解得的弦长最短，
而即 ，半径 ，圆心为 ,
故 ,
故弦长为 ，
故答案为：2.
8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法证明即可得.
【详解】若为递增数列，
当，且时，有，
此时为递增数列，当对任意,，
故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件；
若存在正整数，当时，，
此时， ，故，，
假设存在，使得，则有，
则，又且，故，
则当时，，与条件矛盾，
故不存在，使，即在上恒成立，
即，又，，故，
即对任意的，，
即为递增数列，
故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件；
综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件.
故选：B.
9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义可求出的值，再根据诱导公式求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以.
故选：D.
10．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解.
【详解】由题意知，，
当时，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知函数在上是奇函数，当时，，则 .
【答案】/
【分析】
根据奇函数的定义得到，代入求解即可.
【详解】函数在上是奇函数，，
.
故答案为：.
12．在正项等比数列中，，则 ．
【答案】2
【分析】由正项等比数列性质，有，则.
【详解】正项等比数列中，，则.
故答案为：2
13．双曲线的离心率为，则 ，过双曲线的右焦点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则 ．（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】
【分析】根据离心率直接计算b，再由双曲线的几何性质可得.
【详解】由，所以，
由双曲线渐近线为可知，
，
所以．
故答案为：1；2
14．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是 ；的最大值是 .

【答案】 2
【分析】建立以点为原点的坐标系，设 ，写出向量的坐标表示形式，用的三角函数表示，，最后用辅助角公式求最值
【详解】建立如图所示坐标系，

则 ，设 ，
由 ,
化简得:，
（1）,
则当 时, 最大，值为
（2）
其中 且为第一象限角
则当 时,最大，值为
故答案为：；
15．设函数，函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，函数只有1个零点
C．当时，函数有5个零点
D．存在实数，使得函数没有零点
【答案】①②③
【分析】当时，得或，当时，，问题转为，的交点个数，结合图象可得答案.
【详解】函数的零点个数即方程异根的个数，
当时，，则，，
由，有，所以或，
当时，，则，，
由，有，所以，
所以问题转为，的交点个数，
作出函数图象可知：
当，即时，有3个交点，即函数有4个零点，
当，即时，有4个交点，函数有5个零点，
当时，只有，函数只有1个零点，
当或即或时，有2个交点，函数有3个零点，
无论实数取何值，使得函数总有零点．
故选：①②③．
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)； (2).
【分析】（1）利用余弦定理即求；（2）利用正弦定理即得.
【详解】（1）在中，由余弦定理可知：
,
（2）在中，由正弦定理可知：，
即：
.
17．如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.

(1)证明：
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离．
①；②
【答案】(1)证明见解析(2)二面角的余弦值为，点A到平面BPC距离为
【分析】（1）先确定正方形沿对角线折起后的不变关系，再证明平面，即得；
（2）由所选条件先证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，进而利用向量法可求二面角的余弦值及点到平面的距离．
【详解】（1）证明：正方形沿对角线折起后的不变关系为.
连接，，如下图：

因为，所以，同理得，
又因为平面且，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）若选择①，，
因为，所以，
因为，所以，
由（1）可得，
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取时，，即，
因为平面，
所以平面的一个法向量，
于是，，
所以结合图像可知，二面角的余弦值为.
，，
点到平面的距离，
所以A到平面的距离为.
若选择②，
由（1）得，，，平面，，
所以平面，又平面，所以，
因为，
所以，
所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取时，，即，
因为平面，
所以平面的一个法向量，
于是，，
所以结合图像可知，二面角的余弦值为.
，，
点到平面的距离，
所以A到平面的距离为.
18．2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：
展区类型 新一代信 息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备 制造展
展区的企 业数量/家 60 360 650 450 70 990
备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20
(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】(1) (2) (3)，分布列见解析.
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可求解；
（2）利用条件概率和全概率公式计算即可求解；
（3）求出“新一代信息技术展”、 “数字医疗展”展区中备受关注的企业数量，确定X的值，利用超几何分布求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可.
【详解】（1）根据统计表，所有展区的企业数量为，
其中“新型显示展”展区备受关注的企业数量为．
所以所求概率为．
（2）用事件A，，分别表示从3个展区中随机抽取2个展区为“环保展与智慧城市展”“环保展与高端装备制造展”“智慧城市展与高端装备制造展”，
事件表示“采访的两家企业都是备受关注的企业”，
则
．
（3）“新一代信息技术展”展区中备受关注的企业数量为，
“数字医疗展”展区中备受关注的企业数量为．
易知所有可能的取值为0，1，2．
所以，，．
故的分布列为
0 1 2
则．
19．已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由已知条件和椭圆的性质解方程组可得；
（2）设直线方程，由点在角平分线上结合到角公式（或斜率公式）可得；然后设设的方程为，直曲联立，用韦达定理表示化简得到和直线经过定点，再代入方程①得到；最后利用弦长公式表示出三角形的面积再结合基本不等式求出最值.
【详解】（1）
由条件得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）
由的平分线经过点，得到的斜率都存在，点的坐标为，可设，
点的坐标为，所以，化简得到.
由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，，
联立方程组，得，①
，
，
由，得到，
所以，
得，
根据韦达定理得
，化简得，
即或.
又当时，直线经过点，不符合题意，
因此，，直线经过定点，
将代入方程①得，
由，解得.
面积.
设，，则，
当且仅当时取等号，因此面积的最大值为.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；
(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
【答案】(1)； (2)； (3).
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.
（2）利用导数分类讨论函数在区间内的最值情况作答.
（3）变形不等式，构造函数，利用导数探讨恒成立的k的范围作答.
【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），，函数，求导得：，显然恒有，
则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；
当时，由，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，函数取得最小值，
所以函数在上有最小值，的取值范围是.
（3），
因为存在，使得当时，恒有成立，
则有存在，使得当时，，
令，即有，恒成立，
求导得，令，，
因此函数，即函数在上单调递增，而，
当，即时，，函数在上单调递增，
，成立，从而，
当时，，，则存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，所以的取值范围是.
21．在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.

(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.
【答案】(1) (2)证明见解析 (3)474.
【分析】（1）根据图形即可得到结果；
（2）根据题意，由图形分别计算与，然后代入计算，即可证明；
（3）根据题意，将方程转化为，然后化简，分别计算与的值，即可得到结果.
【详解】（1）根据图形可知.
（2）则为一个高阶等差数列，且满足
所以，
，
所以，该式也成立，
所以，
所以
.
（3），
等价于，
等价于，
即，
化简得，
由于增大，也增大，
当时，，
当时，，
故当时，，即2024年高考考前押题密卷
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B．3 C． D．5
3．若，则（　　）
A．1 B．32 C．81 D．243
4．已知F是抛物线C：的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且A，B到直线的距离之和等于，则（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
5．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2 B．m2 C．m2 D．m2
6．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A． B．的零点为3
C．在上为增函数 D．的定义域为
7．直线：被圆：截得的最短弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
10．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12 B．13 C．14 D．15
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知函数在上是奇函数，当时，，则 .
12．在正项等比数列中，，则 ．
13．双曲线的离心率为，则 ，过双曲线的右焦点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则 ．（本题第一空2分，第二空3分）
14．给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是 ；的最大值是 .

15．设函数，函数．则下列说法正确的有
①．当时，函数有3个零点
②．当时，函数只有1个零点
③．当时，函数有5个零点
④．存在实数，使得函数没有零点
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
（本题13分）如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
17．（本题13分）如图所示，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，为的中点.

(1)证明：
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点到平面的距离．
①；②
18．（本题14分）2023年11月19日，以“激发创新活力，提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称“高交会”）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会距今已有25年的历史．福田展区的专业展设有新一代信息技术展、环保展、新型显示展、智慧城市展、数字医疗展、高端装备制造展等六类．现统计了每个展区的备受关注率﹝一个展区中受到所有相关人士（或企业）关注的企业数与该展区的参展企业数的比值﹞，如下表：
展区类型 新一代信 息技术展 环保展 新型显示展 智慧城市展 数字医疗展 高端装备 制造展
展区的企 业数量/家 60 360 650 450 70 990
备受关注率 0.20 0.10 0.24 0.30 0.10 0.20
(1)从参展的6个展区的企业中随机选取一家企业，求这家企业是“新型显示展”展区备受关注的企业的概率．
(2)若视备受关注率为概率，某电视台现要从“环保展”“智慧城市展”“高端装备制造展”3个展区中随机抽取2个展区，再从抽出的2个展区中各抽取一家企业进行采访，求采访的两家企业都是备受关注的企业的概率．
(3)从“新一代信息技术展”展区备受关注的企业和“数字医疗展”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记为这2家企业中来自“新一代信息技术展”展区的企业数量，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（本题15分）已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.
20．（本题15分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；
(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.
21．（本题15分）在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.

(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.

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