资源简介

湖南省常德市2024年高三下学期3月模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三下·常德月考）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为集合，
又因为集合，则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法得出集合A，再结合交集的运算法则得出集合A和集合B的交集。
2．（2024高三下·常德月考）已知等差数列的前项和为，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列的前项和为，，，
设等差数列的公差为d，所以，，(1)，，(2)，
则，则。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而建立首项和公差的方程组，进而解方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列前n项和公式得出等差数列前2项的和。
3．（2024高三下·常德月考）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递增
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是奇函数，且在区间上单调递增，
所以在上也为单调递增函数。
对于A，不妨令
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以A错；
对于B，不妨令
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以B错；
对于C，函数，其定义域为R，又因为
所以，函数是奇函数，取则
故所以，
则函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，
当x=0时，所以，函数在上单调递增，所以C对；
对于D，不妨令函数
由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，所以D错。
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，设由二次函数的性质判断出选项A和选项B；由幂函数的性质判断选项C；由反比例函数的形式判断出选项D，进而找出说法正确的选项。
4．（2024高三下·常德月考）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，
且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可知设点到平面EFG的距离为d，
而，
由得出解得，
棱长为6的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体的对角线的长度为，
因为所以，所求球形体积最大时，即为棱长为6的正方体的内切球，
则该球形饰品的体积的最大值为。
故答案为：B.
【分析】利用等体积法求出点到平面EFG的距离，说明所求球形体积最大时，即为棱长为6的正方体的内切球，再根据球的体积公式得出该球形饰品的体积的最大值。
5．（2024高三下·常德月考）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，，则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，得出的值，再结合，进而得出的值，再根据二倍角的余弦公式得出的值.
6．（2024高三下·常德月考）已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为向量与共面，设，因为平面向量均为单位向量，且夹角为所以，又因为
即解得，所以，，
所以，
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法，设，再利用平面向量均为单位向量，且夹角为结合数量积定义得出的值，再结合和数量积的运算法则和的值，从而得出m，n的值，进而得出，再结合数量积求向量的模的公式得出向量的模。
7．（2024高三下·常德月考）已知，则=（　　）
A．9 B．10 C．18 D．19
【答案】D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由，
则，
分别对两边进行求导可得
，
令x=2，得出，
所以，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合变形的方法和求导的方法，进而赋值得出的值。
8．（2024高三下·常德月考）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%. 从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，
来自于乙箱，事件A从两箱产品中任取一件，恰好不合格，
经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该产品合格的概率为
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和全概率公式，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出该件产品合格的概率。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三下·常德月考）下列说法正确的是（　　）
A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7
B．样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同
C．若随机事件，满足：，则，相互独立
D．若，且函数为偶函数，则
【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；相互独立事件；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，将数据从小到大重新排列后为：2，3，4，5，6，7，8，9，
又因为则其上四分位数为所以A错；
对于B，所以B对；
对于C，即，
所以A，B相互独立，所以C对；
对于D，由为偶函数，则，
由对称性可知，
所以，，所以所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合上四分位数求解方法、方差的性质、条件概型求概率公式和独立事件判断方法、正态分布函数为偶函数的图象对称性求概率的方法，进而找出说法正确的选项。
10．（2024高三下·常德月考）过点的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（　　）
A．以AB为直径的圆过坐标原点
B．
C．若直线的斜率存在，则斜率为
D．若，则12
【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：根据题设，设直线：，联立直线与抛物线的方程，
整理可得：所以，，
对于A，当直线的斜率存在时，要证以AB为直径的圆过坐标原点，就要证
又因为即所以
则
即所以直线的斜率存在时，以AB为直径的圆过坐标原点；
当直线的斜率不存在时，直线即为直线x=4，此时点P到坐标原点的距离也为4，
所以直线的斜率不存在时，以AB为直径的圆过坐标原点，所以A对；
对于B，，，
所以B对；
对于C，
所以，所以C对；
对于D，若，则所以k=1，所以，直线为y=x-4，联立直线方程与抛物线方程，
即，整理可得所以，所以，
所以，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】由已知条件可设直线：，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得出，，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出以AB为直径的圆过坐标原点，从而判断选项A；利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合数量积的坐标表示和韦达定理得出，从而判断出选项B；利用直线方程结合韦达定理得出直线的斜率，从而判断出选项C；利用得出直线的斜率，从而得出直线的方程，再联立直线与抛物线方程得出交点A，B的坐标，再由两点距离公式得出的值，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项。
11．（2024高三下·常德月考）若函数的零点为，函数 的零点为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；正弦函数的性质；余弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的零点为，
函数 的零点为，
则 ，，
所以，，，
又因为，
所以，所以，，所以A错；
因为所以，所以B对；
因为，所以，所以C对；
因为所以，
所以，所以D对。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，再结合在区间上三角函数的图象和指数函数的图象，进而得出再利用不等式的基本性质、余弦函数的单调性和诱导公式，进而找出正确的选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三下·常德月考）已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则　 　．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为曲线，所以，所以，，
将x=1代入曲线中得出所以，切点坐标为，
由点斜式方程得出切线方程为，即，
又因为切线与圆相交于A、B两点，联立二者方程，
即，整理可得，设
则则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法得出切线方程，再联立直线与圆的方程结合韦达定理和弦长公式得出AB的长。
13．（2024高三下·常德月考）若复数满足：，则　 　.
【答案】2
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：设复数z=a+bi，则
所以，所以，所以，
即。
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和复数求模公式得出再利用复数加法运算法则和复数求模公式得出的值。
14．（2024高三下·常德月考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为　 　.
【答案】或
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设由双曲线的定义可得
由三角形的面积是的面积的2倍，可得m=2n，又因为为等腰三角形，
可得
当，即m+n=2a+m，可得n=2a，m=a，
在中，，
在中，，
化为，即双曲线离心率为；
当，即m+n=2a+n，可得m=2a，n=a，
在中，，
在中，，
化为，即双曲线离心率为；
综上所述，双曲线C的离心率为或。
故答案为：或.
【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，再结合三角形的余弦定理和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的值。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三下·常德月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）解：由正弦定理，
由余弦定理
又，
（2）解：由，，成等差数列，①
的面积为，，即②
由(1)③
由①②③解得：
，故的周长为15
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理以及三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合等差中项公式得出①，再结合三角形的面积公式得出②，由(1)得出③，由①②③解得a，b，c的值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长。
16．（2024高三下·常德月考）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下
的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
【答案】（1）解：每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0，1，2，3
，，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）解：设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
，
故
，
∴
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望。
（2）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而得出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程。
17．（2024高三下·常德月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：法一：取AD的中点O，，
又平面平面，平面平面=，平面
又平面，
，，
，，
又，平面，平面
法二：，，
，，
又平面平面，平面平面，平面
平面
（2）解：，
取PB的中点M，又为的中点，，又，
平面即为平面，
为平面与平面的交线
取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，
则，
取，则，
设直线与平面夹角为，
则
故直线与平面夹角的正弦值
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）用两种方法证明。
法一：取AD的中点O，利用等腰三角形三线合一，进而证出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出，结合两直线平行和勾股定理证出，再结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
法二：因为，，，利用勾股定理得出，结合勾股定理证出，再由面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而证出平面。
（2）取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，结合数量积求得平面的法向量，再利用数量积求向量夹角余弦值的公式和诱导公式，进而得出直线与平面夹角的正弦值。
18．（2024高三下·常德月考）已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
【答案】（1）解：由题易得
设，则
∵，∴
化简得：①
又在椭圆上，②
由①②得
又，∴
故椭圆C的标准方程
（2）解：设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方）；直线PB的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方）.
∴直线EF的方程为，直线GH的方程为.
又，∴
联立，解得
∴
联立，解得
∴
设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，
∴
则
∴四边形面积为
故该四边形的面积为定值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题结合椭圆的标准方程得出上、下顶点A，B的坐标，设，利用两点求斜率公式得出①，再利用点在椭圆上结合代入法得出②，由①②结合，进而得出a的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2）设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方），直线PB的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方），进而设出直线EF的方程为和直线GH的方程为，再利用两点求斜率公式和已知条件得出，再联立直线与椭圆方程和两点距离公式得出和，设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式和同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式得出
，再结合四边形的面积公式与三角形的面积公式的关系式以及三角形的面积公式得出该四边形的面积为定值，并求出定值。
19．（2024高三下·常德月考）已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：，
设，又
当时，在上单调递减，
，在上无零点
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点
（2）解：①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，
由得，，
，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得
②同理，，
由在上单调递减得，
，
当为偶数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，
即
当为奇数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切成立，故不存在使得.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，进而判断并证明出函数在区间上极值点的个数。
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，由得，再利用正切函数和余弦函数的单调性以及不等式的基本性质，进而证出不等式成立。
②同理，，再利用余弦函数的单调性得出，所以
，，再利用分类讨论的方法和分组求和的方法，进而得出对一切成立，从而得出不存在使得。
1 / 1湖南省常德市2024年高三下学期3月模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高三下·常德月考）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024高三下·常德月考）已知等差数列的前项和为，，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·常德月考）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递增
4．（2024高三下·常德月考）如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，
且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·常德月考）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三下·常德月考）已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·常德月考）已知，则=（　　）
A．9 B．10 C．18 D．19
8．（2024高三下·常德月考）设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%. 从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高三下·常德月考）下列说法正确的是（　　）
A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7
B．样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同
C．若随机事件，满足：，则，相互独立
D．若，且函数为偶函数，则
10．（2024高三下·常德月考）过点的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（　　）
A．以AB为直径的圆过坐标原点
B．
C．若直线的斜率存在，则斜率为
D．若，则12
11．（2024高三下·常德月考）若函数的零点为，函数 的零点为，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三下·常德月考）已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则　 　．
13．（2024高三下·常德月考）若复数满足：，则　 　.
14．（2024高三下·常德月考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三下·常德月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．
16．（2024高三下·常德月考）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的
天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下
的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
17．（2024高三下·常德月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（2024高三下·常德月考）已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
19．（2024高三下·常德月考）已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②试问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为集合，
又因为集合，则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分式不等式求解方法得出集合A，再结合交集的运算法则得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列的前项和为，，，
设等差数列的公差为d，所以，，(1)，，(2)，
则，则。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而建立首项和公差的方程组，进而解方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列前n项和公式得出等差数列前2项的和。
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为是奇函数，且在区间上单调递增，
所以在上也为单调递增函数。
对于A，不妨令
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以A错；
对于B，不妨令
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以B错；
对于C，函数，其定义域为R，又因为
所以，函数是奇函数，取则
故所以，
则函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，
当x=0时，所以，函数在上单调递增，所以C对；
对于D，不妨令函数
由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，所以D错。
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，设由二次函数的性质判断出选项A和选项B；由幂函数的性质判断选项C；由反比例函数的形式判断出选项D，进而找出说法正确的选项。
4．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意可知设点到平面EFG的距离为d，
而，
由得出解得，
棱长为6的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体的对角线的长度为，
因为所以，所求球形体积最大时，即为棱长为6的正方体的内切球，
则该球形饰品的体积的最大值为。
故答案为：B.
【分析】利用等体积法求出点到平面EFG的距离，说明所求球形体积最大时，即为棱长为6的正方体的内切球，再根据球的体积公式得出该球形饰品的体积的最大值。
5．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，，则.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，得出的值，再结合，进而得出的值，再根据二倍角的余弦公式得出的值.
6．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为向量与共面，设，因为平面向量均为单位向量，且夹角为所以，又因为
即解得，所以，，
所以，
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量共面的判断方法，设，再利用平面向量均为单位向量，且夹角为结合数量积定义得出的值，再结合和数量积的运算法则和的值，从而得出m，n的值，进而得出，再结合数量积求向量的模的公式得出向量的模。
7．【答案】D
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：由，
则，
分别对两边进行求导可得
，
令x=2，得出，
所以，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合变形的方法和求导的方法，进而赋值得出的值。
8．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，
来自于乙箱，事件A从两箱产品中任取一件，恰好不合格，
经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该产品合格的概率为
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和全概率公式，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出该件产品合格的概率。
9．【答案】B,C
【知识点】极差、方差与标准差；相互独立事件；正态分布的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，将数据从小到大重新排列后为：2，3，4，5，6，7，8，9，
又因为则其上四分位数为所以A错；
对于B，所以B对；
对于C，即，
所以A，B相互独立，所以C对；
对于D，由为偶函数，则，
由对称性可知，
所以，，所以所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合上四分位数求解方法、方差的性质、条件概型求概率公式和独立事件判断方法、正态分布函数为偶函数的图象对称性求概率的方法，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：根据题设，设直线：，联立直线与抛物线的方程，
整理可得：所以，，
对于A，当直线的斜率存在时，要证以AB为直径的圆过坐标原点，就要证
又因为即所以
则
即所以直线的斜率存在时，以AB为直径的圆过坐标原点；
当直线的斜率不存在时，直线即为直线x=4，此时点P到坐标原点的距离也为4，
所以直线的斜率不存在时，以AB为直径的圆过坐标原点，所以A对；
对于B，，，
所以B对；
对于C，
所以，所以C对；
对于D，若，则所以k=1，所以，直线为y=x-4，联立直线方程与抛物线方程，
即，整理可得所以，所以，
所以，所以D错。
故答案为：ABC.
【分析】由已知条件可设直线：，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得出，，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出以AB为直径的圆过坐标原点，从而判断选项A；利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合数量积的坐标表示和韦达定理得出，从而判断出选项B；利用直线方程结合韦达定理得出直线的斜率，从而判断出选项C；利用得出直线的斜率，从而得出直线的方程，再联立直线与抛物线方程得出交点A，B的坐标，再由两点距离公式得出的值，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；正弦函数的性质；余弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的零点为，
函数 的零点为，
则 ，，
所以，，，
又因为，
所以，所以，，所以A错；
因为所以，所以B对；
因为，所以，所以C对；
因为所以，
所以，所以D对。
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，再结合在区间上三角函数的图象和指数函数的图象，进而得出再利用不等式的基本性质、余弦函数的单调性和诱导公式，进而找出正确的选项。
12．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为曲线，所以，所以，，
将x=1代入曲线中得出所以，切点坐标为，
由点斜式方程得出切线方程为，即，
又因为切线与圆相交于A、B两点，联立二者方程，
即，整理可得，设
则则
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法得出切线方程，再联立直线与圆的方程结合韦达定理和弦长公式得出AB的长。
13．【答案】2
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：设复数z=a+bi，则
所以，所以，所以，
即。
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和复数求模公式得出再利用复数加法运算法则和复数求模公式得出的值。
14．【答案】或
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设由双曲线的定义可得
由三角形的面积是的面积的2倍，可得m=2n，又因为为等腰三角形，
可得
当，即m+n=2a+m，可得n=2a，m=a，
在中，，
在中，，
化为，即双曲线离心率为；
当，即m+n=2a+n，可得m=2a，n=a，
在中，，
在中，，
化为，即双曲线离心率为；
综上所述，双曲线C的离心率为或。
故答案为：或.
【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，再结合三角形的余弦定理和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率的值。
15．【答案】（1）解：由正弦定理，
由余弦定理
又，
（2）解：由，，成等差数列，①
的面积为，，即②
由(1)③
由①②③解得：
，故的周长为15
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理以及三角形中角的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合等差中项公式得出①，再结合三角形的面积公式得出②，由(1)得出③，由①②③解得a，b，c的值，再利用三角形的周长公式得出三角形的周长。
16．【答案】（1）解：每天普及人数不少于240人的天数为3天，则X的所有可能取值为0，1，2，3
，，
，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）解：设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为
，
故
，
∴
【知识点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X可能的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望。
（2）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而得出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程。
17．【答案】（1）证明：法一：取AD的中点O，，
又平面平面，平面平面=，平面
又平面，
，，
，，
又，平面，平面
法二：，，
，，
又平面平面，平面平面，平面
平面
（2）解：，
取PB的中点M，又为的中点，，又，
平面即为平面，
为平面与平面的交线
取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，
则，
取，则，
设直线与平面夹角为，
则
故直线与平面夹角的正弦值
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）用两种方法证明。
法一：取AD的中点O，利用等腰三角形三线合一，进而证出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出，结合两直线平行和勾股定理证出，再结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
法二：因为，，，利用勾股定理得出，结合勾股定理证出，再由面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而证出平面。
（2）取AB的中点Q，连结OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，结合数量积求得平面的法向量，再利用数量积求向量夹角余弦值的公式和诱导公式，进而得出直线与平面夹角的正弦值。
18．【答案】（1）解：由题易得
设，则
∵，∴
化简得：①
又在椭圆上，②
由①②得
又，∴
故椭圆C的标准方程
（2）解：设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方）；直线PB的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方）.
∴直线EF的方程为，直线GH的方程为.
又，∴
联立，解得
∴
联立，解得
∴
设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，
∴
则
∴四边形面积为
故该四边形的面积为定值
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题结合椭圆的标准方程得出上、下顶点A，B的坐标，设，利用两点求斜率公式得出①，再利用点在椭圆上结合代入法得出②，由①②结合，进而得出a的值，从而得出椭圆C的标准方程。
（2）设直线PA的平行线与椭圆相交于点E、F（E在上方），直线PB的平行线与椭圆相交于点G、H（G在上方），进而设出直线EF的方程为和直线GH的方程为，再利用两点求斜率公式和已知条件得出，再联立直线与椭圆方程和两点距离公式得出和，设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式和同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式得出
，再结合四边形的面积公式与三角形的面积公式的关系式以及三角形的面积公式得出该四边形的面积为定值，并求出定值。
19．【答案】（1）解：，
设，又
当时，在上单调递减，
，在上无零点
当时，在上单调递增，
，在上有唯一零点
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点
（2）解：①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，
由得，，
，
由函数在单调递增得，
，
由在单调递减得
②同理，，
由在上单调递减得，
，
当为偶数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，
即
当为奇数时，的相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，
即，
综上，对一切成立，故不存在使得.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，进而判断并证明出函数在区间上极值点的个数。
（2）①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，同理可得，在有极小值点，…，在有极值点，由得，再利用正切函数和余弦函数的单调性以及不等式的基本性质，进而证出不等式成立。
②同理，，再利用余弦函数的单调性得出，所以
，，再利用分类讨论的方法和分组求和的方法，进而得出对一切成立，从而得出不存在使得。
1 / 1

展开更多......

收起↑