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反比例系数k的几何意义
一、一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为.
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC=
二、一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为.
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ABCD=
三、两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，
结论：S△ABC =2S△ABO =
【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．
如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |yA|+co |yB|=co(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co |xA|+co |xB|=co(|xA|+|xB|)
四、两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
五、两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD （|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC （|xB|-|xA|）
【拓展】
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）．
六、两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
题型01 一点一垂线
【例1】如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式1-1】如图，等腰直角三角形的斜边在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分面积为2的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】如图，在的图象上有两点、，过这两点分别向轴引垂线，交轴于、两点，连结、，记、的面积，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式1-4】如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形、、、设它们的面积分别是、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式1-5】如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（ ）
A．0.5． B．1． C．2． D．3.5．
【变式1-6】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，若的面积为3，则的值为 ．
【变式1-7】如图，，是反比例函数图象上的两点，分别过点，作轴的垂线．已知，则阴影部分面积为（　　）
A．3 B．7 C．8 D．9
题型02 一点两垂线
【例2】如图，四边形是矩形，是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，成C在y轴的正半轴上，点F在上，点B、E在反比例函数的图象上，，则正方形的边长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】如图，在反比例函数的图象上有点，它们的纵坐标依次为6，2，1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型03 两点一垂线
【例3】如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
【变式3-1】如图，点和都在反比例函数的图象上，过点A分别向x轴y轴作垂线，垂足分别是M、N，连接、，若四边形的面积记作，面积记作，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，直线（，m为常数）与双曲线（，k为常数）交于点A，B，若，过点A作轴，垂足为M，连接，则的面积是（　　）
A．2 B． C．3 D．6
【变式3-3】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2.
（1）求的值；
（2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________；
（3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
题型04 两点两垂线
【例4】如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【变式4-1】如图，点A是第一象限内双曲线y＝ （m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝ （n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为 ，则m，n的值不可能是（　　）
A．m＝ ，n＝﹣ B．m＝ ，n＝﹣
C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2
【变式4-2】如图，A，B是函数y=（m＞0）的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，△ABC的面积记为S，则（　　）
A． B． C． D．
题型05 两点和原点
【例5】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为10．则的值是( )
A．12 B．10 C．8 D．24
【变式5-1】如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于C，D两点，连接，． 若和的面积都为3，则k的值是（ ）
B． C． D．
【变式5-2】如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为（ ）
B． C． D．
【变式5-3】下列图形中，阴影部分面积与另外三个不同的是（　　）
A．B．C． D．
【变式5-4】如图，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴分别交于点、，点、为线段的三等分点，且、在反比例函数的图象上，若的面积为12，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式5-5】如图，点，在轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点的反比例函数的图象经过的中点．若的面积为1，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-6】如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型06 两曲一平行
【例6】如图，过反比例函数的图象上一点作轴交反比例函数的图象于点，连接，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若四边形是正方形，且面积为9，则的值为（ ）
A．11 B．15 C． D．
【变式6-2】如图，四边形是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是7，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如图，设点作反比例函数的图象上，轴于点，交反比例函数的图象于点A，轴于点，交反比例函数的图象于点，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】如图，点A是反比例函数y1＝（x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数（x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为1，则k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-5】如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【变式6-6】如图，正方形的顶点A，D分别在函数和的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-7】如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，与轴交于点，且轴，，是正半轴上一点，连接，，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式6-8】如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点．则的面积为（ ）
A．3.5 B．4 C．5.5 D．6
【变式6-9】如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、，这关于四边形的面积的结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积无法确定
【变式6-10】如图，点P是函数的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图象于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【变式6-11】如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ．
【变式6-12】如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．

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