资源简介

《4.4 同角三角函数的基本关系》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
理解同角的三角函数基本关系式． ⑴ 已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值； ⑵ 会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．
学习重难点
重点 难点
同角的三角函数基本关系式的应用． 应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定.
教材分析
本节课是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，因此本节课还起着启下的作用.
学情分析
在前面的学习中，学生们学习了任意角、象限角、终边相同的角、任意角的三角函数的概念，为本节课做好了准备，但学生对三角函数整体性质把握不了，为了解决这一问题引入本节课的教学.
教学工具
教学课件
课时安排
1课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题 之间有什么关系么？
【设计意图】用熟悉的问题引发学生思考降低学习起点.
（二）调动思维，探究新知
利用单位圆, 可以求得
并且
，
即
对任意角 α, 是否仍有这样的关系呢 ？
一般地，设点P (x,y)是角α的终边与单位圆O的交点，则|OP|=1，x=cosα， y=sinα.
因为，所以
x +y =1 即 sin α+ cos α =1
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
而当时，有.
由此得到同角三角函数间的基本关系式：
sin α+ cos α =1
这说明, 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角α的正切．
温馨提示
关系式中的是指终边在y轴上的角的正切值不存在.
【设计意图】结合具体数值搭建思维台阶学生通过观察思考参与知识形成，感受发现的乐趣.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】已知sinα=, 且角α是第二象限角, 求cosα和tanα．
解 因为sin α+ cos α =1, 所以
又因为角α是第二象限角, 所以cosα＜0, 因此
从而
【典例2】 已知，且角α是第四象限角, 求sinα和cosα．
解 由题设及同角三角函数基本关系，得方程组
解方程组得到
因为α是第四象限角, cosα＞0．所以，
.
【典例3】 化简：．
解 由于
故
【典例4】 求证：
证明 因为
所以
【典例5】 已知tanα=2, 求.
解法一：由tanα=2, 得，即sinα=2cosα, 所以
解法二：代数式上下同除以cosα, 得
探究与发现
sinα+cosα与sinαcosα之间有什么关系？
【设计意图】例1与例2强调综合运用同角三角函数基本关系与算数根有关知识解决问题掌握常用解决问题方法和思路，例3利用同角三角函数进行恒等变形解决问题，例4学习三角恒等式证明的常用方法锻炼学生灵活运用公式能力.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】已知，且是第二象限的角, 求和．
分析 知道正弦函数值，可以利用平方关系，求出余弦函数值；然后利用商数关系，求出正切函数值．
解 由，可得．
又因为是第二象限的角，故．所以
；
=．
【巩固2】 已知,求的值．
分析 利用已知条件求三角式的值问题的基本方法有两种：一种是将所求三角函数式用已知量来表示；另一种是由得到，代入所求三角函数式进行化简求值．
解1 由已知得，即，所以=．
解2 由知，所以
．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 1.已知sinα=, 且角α是第二象限角, 求cosα和tanα．
2. 已知cosα=, 且角α是第三象限角, 求sinα和tanα．
3. 已知tanα=, 且角α是第一象限角, 求sinα和cosα．
4. 化简：
(1) cosαtanα (2)
(3) ,其中角α是第二象限角.
5. 已知tanα= 4, 求下列各式的值：
(1) (2)
6. 求证：
7. 化简: , 其中角α是第一象限角.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.4；
(2)书面作业： P152习题4.4的1， 2，3,4.
（八）教学反思

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