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5.1等差数列与等比数列
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 3
考点一：等差数列通项公式 3
考点二：等差数列性质 5
考点三：等差数列前n项和 6
考点四：等比数列通项公式 7
考点五：等比数列性质 8
考点六：等比数列前n项和 10
【真题在线】 11
【专项突破】 13
考点 考情分析 考频
等差数列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全国甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全国乙卷T19 3年7考
等比数列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全国甲卷T15 2023年全国乙卷T15 2022年全国乙卷T10 2年4考
等差与等比综合 2022年新高考Ⅱ卷T17
数列分段递推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
数列并项递推公式 2023年全国甲卷T17
数列结构不良型模型 2021年全国甲卷T18
数列前n项和与通项关系 2022年全国甲卷T17
数列与不等式综合 2022年新高考Ⅰ卷T17
数列单调性 2022年全国乙卷T14
预测：等差与等比数列是高考的必考点，多以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中有体现，整体难度适中，考法灵活多变，着重考察基础知识的基本应用与灵活应用.建议在复习过程中，全面掌握好基础知识的同时也要适当的拓展学生的思维训练.
考点一：等差数列通项公式
【典例精析】（多选）（2024·山东枣庄·一模）将数列中的所有项排成如下数阵：
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（ ）
A． B．
C．位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）若数列满足，，它的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测）年月日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型（，，且）．已知第一个月该植物的生长面积为，第个月该植物的生长而积为，给出下列结论：
①第个月该植物的生长面积超过；
②若该植物的生长面积达到，则至少要经过个月；
③若，则成等差数列；
④若成等差数列，，，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．若是等差数列，则
B．若是等差数列，则
C．若是正项等比数列，则
D．若是正项等比数列，则
三、填空题
4．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列中，，数列的前和为，为等差数列，，则 ．
四、解答题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【解题技巧】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二：等差数列性质
【典例精析】（多选）（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．156 B．252 C．192 D．200
2．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
三、填空题
4．（2023·江西·模拟预测）已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ．
四、解答题
5．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
【解题技巧】
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
考点三：等差数列前n项和
【典例精析】（多选）（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．为递减数列
B．
C．若，，则的取值范围为
D．
三、填空题
4．（2023·上海青浦·一模）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ．
四、解答题
5．（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【解题技巧】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点四：等比数列通项公式
【典例精析】（多选）（2024·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为等差数列
C．为等比数列 D．
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．对任意成等比数列
C．对任意，都存在，使得成等差数列
D．若，则数列递增的充要条件是
三、填空题
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，给出下列结论：①；②；③；④存在常数，使得数列是等比数列．其中所有正确结论的序号为 ．
四、解答题
5．（2024·贵州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中p，m，q成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【解题技巧】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
考点五：等比数列性质
【典例精析】（多选）（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若取，，则
B．满足题意的也必是一个等比数列
C．在的前100项中，的可能项数最多是6
D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
【变式训练】
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列满足，则有（ ）
A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值
二、多选题
3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空题
4．（2021·江西上饶·一模）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为 .
四、解答题
5．（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．
【解题技巧】
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
考点六：等比数列前n项和
【典例精析】（多选）（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
2．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，.则“”是“存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·江西赣州·一模）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
三、填空题
4．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 .
四、解答题
5．（2024·广西桂林·三模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
【解题技巧】
1.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
6．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多选题
9．（2021·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
11．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
四、解答题
12．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢台·二模）已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
4．（2023·四川成都·二模）如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西上饶·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．是等比数列
B．是递增的等差数列
C．当时，的最大值为28
D．，，
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，且，记的前项和为，前项积为，则当不等式成立时，的最大值为 ．
10．（2023·全国·三模）已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.
11．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在数列中，为其前项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则 ．
四、解答题
12．（2022·全国·模拟预测）设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，，，对都有成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
13．（2022·新疆·一模）在数列中，，，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
14．（2022·重庆·一模）学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.
(1)求；
(2)求证：.
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5.1等差数列与等比数列
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 3
考点一：等差数列通项公式 3
考点二：等差数列性质 8
考点三：等差数列前n项和 12
考点四：等比数列通项公式 17
考点五：等比数列性质 21
考点六：等比数列前n项和 26
【真题在线】 31
【专项突破】 39
考点 考情分析 考频
等差数列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全国甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全国乙卷T19 3年7考
等比数列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全国甲卷T15 2023年全国乙卷T15 2022年全国乙卷T10 2年4考
等差与等比综合 2022年新高考Ⅱ卷T17
数列分段递推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
数列并项递推公式 2023年全国甲卷T17
数列结构不良型模型 2021年全国甲卷T18
数列前n项和与通项关系 2022年全国甲卷T17
数列与不等式综合 2022年新高考Ⅰ卷T17
数列单调性 2022年全国乙卷T14
预测：等差与等比数列是高考的必考点，多以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中有体现，整体难度适中，考法灵活多变，着重考察基础知识的基本应用与灵活应用.建议在复习过程中，全面掌握好基础知识的同时也要适当的拓展学生的思维训练.
考点一：等差数列通项公式
【典例精析】（多选）（2024·山东枣庄·一模）将数列中的所有项排成如下数阵：
从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数成等差数列．若，则（ ）
A． B．
C．位于第45行第88列 D．2024在数阵中出现两次
【答案】ACD
【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解.
【详解】由第1列数 成等差数列，设公差为，
又由，可得，解得，
则第一列的通项公式为，
又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，
可得，所以A正确,B错误；
又因为每一行的最后一个数为，
且，可得是的前一个数，且在第45行，
因为这一行共有个数，则在第45行的第88列，所以C正确；
由题设可知第行第个数的大小为，
令，若，则即；
若，则即；若，则，无整数解.
故D正确.
故答案为：ACD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）若数列满足，，它的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测）年月日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同时，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型（，，且）．已知第一个月该植物的生长面积为，第个月该植物的生长而积为，给出下列结论：
①第个月该植物的生长面积超过；
②若该植物的生长面积达到，则至少要经过个月；
③若，则成等差数列；
④若成等差数列，，，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．若是等差数列，则
B．若是等差数列，则
C．若是正项等比数列，则
D．若是正项等比数列，则
三、填空题
4．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知在数列中，，数列的前和为，为等差数列，，则 ．
四、解答题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
参考答案：
1．B
【分析】依题意可得，则是以为首项，为公差的等差数列，从而得到，即可求出的通项公式，再由等比数列求和公式计算可得.
【详解】因为，即，
又，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
所以.
故选：B
2．B
【分析】由可求得，由可知①正确；令可求得，知②错误；根据解析式和可推导得到，知③正确；利用可求得，由此可得，知④错误.
【详解】由题意得：，解得：，；
对于①，，①正确；
对于②，令，又，，即至少需要经过个月，②错误；
对于③，由得：，
，则成等差数列，③正确；
对于④，由得：，，
成等差数列，，④错误.
故选：B.
3．AC
【分析】结合等差数列与等比数列的性质及前项和公式，逐项判断即可得.
【详解】对A：设的公差为，
则，故A正确；
对B：取，则，故B错误.
对C：设的公比为，因为，
所以，故C正确；
对D：取，则，故D错误.
故选：AC.
4．
【分析】由已知可得数列为等差数列，根据，可得，结合，求得，得解.
【详解】为等差数列，所以设，为常数，
，，当时，，
，则（常数）.
数列为等差数列，
，，
所以，即，即，
则，
，，，
经检验可得，
则，，
，
.
故答案为：.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解；
（2）分为偶数和奇数求数列的前项和.
【详解】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
【解题技巧】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二：等差数列性质
【典例精析】（多选）（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前项和公式即可判断BCD.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为，
所以当时，，当时，，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．156 B．252 C．192 D．200
2．（2023·北京西城·三模）已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
三、填空题
4．（2023·江西·模拟预测）已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ．
四、解答题
5．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用性质求出.
【详解】等差数列中，，得，则，
设数列公差为，而，因此，解得，
则，所以.
故选：B
2．B
【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】“存在且，使得”，不能推出“存在且，使得”，
例如，则，即，满足，
但令，则，故不存在存在且，使得，
故“存在且，使得”是“存在且，使得”的不充分条件；
若“存在且，使得”，则取，
则，
故“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要条件；
综上所述：“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要不充分条件.
故选：B.
3．ABD
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可.
【详解】设等差数列的首项为，所以，
对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；
对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；
对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确；
对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确；
故选：ABD
4．
【分析】设，令得到，通过等差数列的通项公式求出，再根据列不等式求解即可.
【详解】设，
令得，
所以当为正整数时，由等差数列的通项公式，
得．
由题意知，
解得．
故答案为：.
5．(1)；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
【解题技巧】
1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
考点三：等差数列前n项和
【典例精析】（多选）（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14
【答案】BCD
【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确.
【详解】A：因为，所以，
所以，故A错误；
B：由A的解析可得B正确；
C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确；
D：因为，由，，
故D正确；
故选：BCD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
3．（2023·广东广州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．为递减数列
B．
C．若，，则的取值范围为
D．
三、填空题
4．（2023·上海青浦·一模）已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ．
四、解答题
5．（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
参考答案：
1．D
【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.
【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论）
同理因为为等差数列的前项和，所以可设．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨设，则，则，故，
故选：D．
2．A
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再借助通项公式及前n项和公式求出，进而求得答案.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，
由、、成等比数列，得，解得，
因此，
则，当且仅当时取等号，
所以.
故选：A
3．BD
【分析】由于为等差数列，设公差为d，求出首项和公差，可得、的表达式，即可判断B；结合，判断A；求出、的表达式，结合数列单调性，即可判断C，D.
【详解】由题意知为等差数列，设公差为d，
由，，得，
解得，，则，，
则，B正确，
由，得不为递减数列，A错误，
因为，由于，故，
由于，，故的取值范围为，C错误，
由于，故，故D正确，
故选：BD
4．或
【分析】对分，讨论求出，代入运算可得解.
【详解】令，则，
当时，
，
，
由，得，化简整理得，，解得或；
当时，
，
由，得，化简整理得，解得，
这与矛盾，不合题意；
综上，符合题意的正整数或.
故答案为：2或3.
5．(1)
(2)当为偶数时, ; 当为奇数时, ;
【分析】（1）根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解，
(2)数列的前项的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可.
【详解】（1）由得时，
两式相减得,整理得
因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列
在中令解得
所以.
（2）当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当为偶数时, ; 当为奇数时, ;
【解题技巧】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点四：等比数列通项公式
【典例精析】（多选）（2024·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】AC
【分析】利用已知求得，可判断A；，可得，判断BC，进而求得，判断D.
【详解】由，
当，解得，故A正确；
当，可得，
所以，所以，
即，而，故C正确，B不正确；
因，故D错误.
故选：AC.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
2．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为等差数列
C．为等比数列 D．
二、多选题
3．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．对任意成等比数列
C．对任意，都存在，使得成等差数列
D．若，则数列递增的充要条件是
三、填空题
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，给出下列结论：①；②；③；④存在常数，使得数列是等比数列．其中所有正确结论的序号为 ．
四、解答题
5．（2024·贵州·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中p，m，q成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】根据等比中项的性质计算得，从而可得，再利用对数运算性质计算即可.
【详解】由等比中项性质可知，
又.
故选：D
2．C
【分析】由题意可得，判断A；归纳得到，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B，C；求出，判断D.
【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：
若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次；
若有3个圆盘，则移动情况如下：
，共7次，故，A错误；
由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则,
所以，而，故为等比数列，
故即，该式不是n的一次函数，
则不为等差数列，B错误；
又，则，，则为等比数列，C正确，
，D错误，
故选：C
3．ACD
【分析】对于A：分，两种情况计算可判断A；对于B： 可说明不成立判断B；，分，两种情况计算可判断C；根据，若是递增数列，可求判断D.
【详解】对于A：当时，，，故成立，
当时，，，所以成立，故A正确；
对于B：当时，，所以不成等比数列，故B错误；
对于C：当时，，故不成等差数列，
当时，若存在，使成等差数列，
则，则，
整理得，所以，所以，
所以对任意，都存在，使得成等差数列，故C正确；
对于D：，若是递增数列，
则可得，因为，所以，可解得，
所以若，则数列递增的充要条件是，故D正确.
故选：ACD.
4．②③④
【分析】由已知化简可得，利用作差法判断数列为递减数列可判断①，由已知求得，进而可得，可判断②，由可得，进而有，化简可判断③，化简可得，进而判断④.
【详解】对于①：因为，所以，得，又，
所以，即，故①错误．
对于②：在中取，得，所以，则，②正确．
对于③：由可得，所以，③正确．
对于④：由得，而，所以数列是等比数列，（点拨：等比数列的概念）④正确．
故答案为：②③④
5．(1)
(2)不存在满足题意的3项，理由见解析
【分析】（1）利用通项公式和前项和的关系求解即可.
（2）先假定存在，分析题意推出矛盾即可.
【详解】（1）当时，由得：，
所以，则，
所以数列为公比为2的等比数列；
当时，，，
.
（2）假设存在满足题意的项，
由（1）得：，又，
所以.
因为，，成等比数列，所以，即，
因为，，成等差数列，所以，所以，
所以，
整理可得：，又，，
即，
解得：，则，这与题设矛盾，所以假设错误，即不存在满足题意的3项.
【解题技巧】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
考点五：等比数列性质
【典例精析】（多选）（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若取，，则
B．满足题意的也必是一个等比数列
C．在的前100项中，的可能项数最多是6
D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
【答案】AB
【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C.
【详解】因为数列的通项公式为，
对于A，取，，则，，
由于为等比数列，则，则有，即，故A正确；
对于B，数列的通项公式为，则，
若为等比数列，即，，，，，是等比数列，
则，，，，，，是等比数列，
故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确；
对于C，在的前项中，可以取，，，，，，，
可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误；
对于D，取，，则，则，
不是数列的项，
所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误．
故选：AB．
【变式训练】
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知数列满足.记数列的前n项和为.若对任意的，都有，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列满足，则有（ ）
A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值
二、多选题
3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（ ）
A．1 B． C． D．
三、填空题
4．（2021·江西上饶·一模）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为 .
四、解答题
5．（2023·山东威海·二模）已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前100项和．
参考答案：
1．A
【分析】由递推关系式结合等比数列通项公式可得，再由裂项相消求和可得，利用数列的函数特性可得.
【详解】由可得,
即数列是以为首项，公比的等比数列，
可得，即；
所以，
因此
，且当x趋近于+∞时，趋近于，
所以实数k的取值范围为.
故选：A
2．C
【分析】由数列是等比数列，可得，即，方法一：,则利用基本不等式计算即可，方法二：利用基本不等式计算即可.
【详解】方法一：因为数列是等比数列，所以，所以，所以，所以
，
当且仅当，即时取等号．
方法二 因为数列是等比数列，所以，所以，所以
，
当且仅当时取等号．
故选：C．
3．AC
【分析】，，成等差数列，得，利用前项和与通项的关系，化简得，化简得，求解可得.
【详解】设数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
则有，即，
所以，又，
两边同除以得，，
解得或.
故选：AC.
4．
【解析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则（常数），
所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，
因为，
同理可得，因此，.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则.
5．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明；
（2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，且，可得，
所以，可得，
则，
所以数列是以公差为的等差数列.
（2）由（1）可得，
则，
整理得，
则
，
所以数列的前100项和.
【解题技巧】
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
考点六：等比数列前n项和
【典例精析】（多选）（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则
【答案】ACD
【分析】写出的表达式，根据，，得到或，由此即可判断AB，进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD.
【详解】由题意可知，且，，
故有且（否则若，则的符号会正负交替，这与，，矛盾），
也就是有或，
无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误；
对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确；
对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾），
从而只能是，且这时有，故D正确.
故选：ACD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
2．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，.则“”是“存在最小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2024·江西赣州·一模）已知等比数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列为单调数列 D．数列为单调数列
三、填空题
4．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 .
四、解答题
5．（2024·广西桂林·三模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式计算即得.
【详解】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为，
则，
由，得，整理得，
由等比数列的公比小于1，得，解得，
所以.
故选：B
2．A
【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前项和公式判断即可
【详解】若且公比，则，所以单调递增，存在最小值，故充分条件成立.
若且时，，
当为奇数时，，单调递减，故最大值为时，，而,
当为偶数时，，单调递增，故最小值为，，
所以的最小值为，
即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.
故公比“”是“存在最小值”的充分不必要条件.
故选：A
3．BC
【分析】根据条件得到或，再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】设数列的首项为，公比为，
由题有，解得或，
对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误，
对于选项B，因为，当，显然有，当时，
，所以，故选项B正确，
对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列，
当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确，
对于选项D，由选项B知，所以，
当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误，
故选：BC.
4．
【分析】根据已知和求通项及等比数列通项公式可得结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以，，因为为等比数列，所以，
即，解得或0（舍去），
所以，，公比，所以.
故答案为：.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据运算即可求解；
（2）由（1）可得，结合错位相减求和法计算可得，将原问题转化为不等式对恒成立，结合一次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，
当时，得，即，①，
当时，②，
由①-②得，，又也满足，
所以．
（2）因为，
所以，，
两式相减得，，
即，则，
故．
由，得，即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，
所以，即的取值范围为．
【解题技巧】
1.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
3．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
6．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、多选题
9．（2021·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
11．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
四、解答题
12．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
3．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
4．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
5．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
6．D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
7．A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
8．B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
9．ACD
【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
10．
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
11．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢台·二模）已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
4．（2023·四川成都·二模）如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西上饶·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．是等比数列
B．是递增的等差数列
C．当时，的最大值为28
D．，，
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，且，记的前项和为，前项积为，则当不等式成立时，的最大值为 ．
10．（2023·全国·三模）已知等比数列的前项和为，且满足，则当 时，最大.
11．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在数列中，为其前项和，首项，且函数的导函数有唯一零点，则 ．
四、解答题
12．（2022·全国·模拟预测）设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，，，对都有成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和.
13．（2022·新疆·一模）在数列中，，，且.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
14．（2022·重庆·一模）学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.
(1)求；
(2)求证：.
参考答案：
1．D
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合正数列出不等式组，求解即得.
【详解】设这5个数分别为，依题意，，即，
由各项均为正数可得，所以.
故选：D
2．A
【分析】由题意知对折后的等腰直角三角形的腰长成首项为，公比为的等比数列，进而求出对折6次后的腰长，即可求解.
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，
故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，
所以斜边长为.
故选：A．
3．B
【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，
所以，
又，所以，
解得或（舍） ，
所以.
故选：B
4．B
【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较大小即可.
【详解】因为如果为各项都大于零组不相等的等差数列，
所以，
对于A，B，，
因为，所以，所以，即，故错误，B正确；
对于C，D，，
因为，所以，大于0或者小于0不能确定，
所以和
大小关系无法确定，故错误，
故选：B.
5．C
【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果.
【详解】成等差数列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或.
故选：C.
6．D
【分析】首先根据因为是等差数列，可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得解.
【详解】因为是等差数列，
所以可设，所以，
所以为等差数列，
，
所以，
所以.
故选：D
7．AD
【分析】根据数列的单调性即可求解，即可根据选项逐一求解.
【详解】根据题意，在时取得最小值，所以为单调递增数列，所以，所以A正确，B错误；
当时，，满足题意，所以C错误；
由可得，即，所以，所以D正确．
故选：AD．
8．AD
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式及其性质，对于A选项，当由为定值即可判断；对B，，根据的正负即可判断单调性；对C，，因为，所以即可得解；对D，由结合基本不等式即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，因为，
所以，又，所以，.
对于A选项，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确.
对于B选项，易知，
则，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
又，故是递减的等差数列，故B错误.
对丁C选项，因为，
所以；
因为，所以，
故当时，的最大值为29，故C错误.
对于D选项，因为，，，
，由基本不等式知，
当且仅当时取等号，所以，故D正确.
故选：AD.
9．19
【分析】由等比数列的通项公式、前项和公式及等差数列前项和公式，结合不等式成立问题，分类讨论思想即可求解．
【详解】设等比数列的公比为．
由，得，解得，
所以，
则．
由，得，即．
整理得，．
令，解得．
又，所以．
当时，，不等式不成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，所以，不等式不成立．
故当不等式成立时，的最大值为19．
故答案为：19．
10．7或8
【分析】利用等比数列性质和前n项和公式求基本量，进而写出通项公式，令求n范围，即可确定答案.
【详解】由题意，，所以，解得.
又252，解得.
所以.
令得：，又，
所以当或8时，最大.
故答案为：7或8
11．502
【分析】由题意得偶函数有唯一零点，从而可得，由此构造等比数列，由等比数列求和公式以及分组求和即可得解.
【详解】，令，
显然定义域关于原点对称，且，
结合已知有偶函数有唯一零点，
则这个零点只能是（否则若，则有，这与有唯一零点矛盾），
所以，即，经检验符合题意，
注意到，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
从而，所以，
所以.
故答案为：502.
12．(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求出，当时，由求出，设正项等比数列的公比为，由等比数列的性质列方程求出，即可得出答案.
（2）由（1）得，，再由错位相减法求解即可.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，
又符合上式，∴.
设正项等比数列的公比为，且.
由得，解得或（舍去），
∴.
（2）由（1）得，，
①，
②，
①②得：
∴
13．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由递推关系得，结合已知及等比数列定义即可证结论.
（2）由（1）得，当n为奇数，应用累加法求，当n为偶数，结合求，即可确定的通项公式.
【详解】（1）由得：，且，
则，又，
所以数列是首项为3，公比为4的等比数列.
（2）由（1）知：，又，则，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，·
综上，·
14．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设公差，根据可得首项和公差，利用等差数列前n项公式可得答案；
（2）求出，计算出，根据单调性再计算出当时，
可得，利用等比数列求和公式可得答案.
【详解】（1）设公差，，
解得，，
.
（2）（随递减），
当时，，即（，仅时相等），
（从开始放缩），
.
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