资源简介

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5.2数列求和及应用
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 4
考点一：等差、等比公式求和 4
考点二：错位相减求和 10
考点三：裂项相消求和 16
考点四：分组（并项）求和 23
考点五：倒序相加求和 29
考点六：数列其他求方法求和 36
【真题在线】 42
【专项突破】 52
考点 考情分析 考频
等差数列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全国甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全国乙卷T19 3年7考
等比数列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全国甲卷T15 2023年全国乙卷T15 2022年全国乙卷T10 2年4考
等差与等比综合 2022年新高考Ⅱ卷T17
数列分段递推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
数列并项递推公式 2023年全国甲卷T17
数列结构不良型模型 2021年全国甲卷T18
数列前n项和与通项关系 2022年全国甲卷T17
数列与不等式综合 2022年新高考Ⅰ卷T17
数列单调性 2022年全国乙卷T14
预测：数列求和通常出现在解答题的第二问当中，从最近几年看，数列考察的难度不适中，考察的形式多样性，灵活性.建议在复习时紧抓数列的基本概念，加强学生的发散性思维的培样.提升学生的数学素养.
考点一：等差、等比公式求和
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知数列中，，当为奇数时，，当为偶数时，，则（ ）
A．数列是递减数列 B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意分别得到数列的奇数项与偶数项的性质，进而得到其通项公式，从而判断ABC，利用等比数列的求和公式与分组求和法判断D.
【详解】对于AB：当为奇数时，，则，
则数列的奇数项是以3为首项，为公比的等比数列，
所以当为奇数时，.
当为偶数时，，则，
则数列的偶数项是以2为首项，为公比的等比数列，
所以当为偶数时，，
所以，，易知A错误，B正确；
对于C：由以上分析知，
所以，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：BD.
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·山东滨州·二模）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和．
2．（2024·湖北·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列，且，，求数列和集合T；
(2)若是递增的等差数列，求证：；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由
3．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.
(1)求，，并证明：数列是等差数列；
(2)求.
4．（2024·青海西宁·二模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前n项和为，，满足，其中是不为零的常数，．
(1)是否存在使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．
参考答案：
1．(1)
(2)490
【分析】（1）根据等差中项可得，即，进而可得，即可得结果；
（2）由题意可知：在数列中对应的项数为，代入k的值分析可知，利用分组求和运算求解.
【详解】（1）因为为等差数列，则，即，
可得，，
所以.
（2）因为在与之间插入个3，
可知在数列中对应的项数为
，
当时，则，即；
当时，则，即；
由题意可知：，
所以.
2．(1)；
(2)证明见解析；
(3)存在，理由见解析.
【分析】（1）根据新定义列举出集合的元素即可求；根据题意可知，求出，即可求解；
（2）设公差为d（），则，即可分析得.
（3）利用的定义结合特例可判断存在最大值.
【详解】（1）由，且，得，均不相等，
则都是集合T中的元素，而，
于是，解得，
所以数列．
（2）因为为递增的等差数列，设的公差为，
当时，，则，
所以．
（3）存在最大值，理由如下:
依题意，集合中的元素个数最多为个，即，
取，此时，
若存在，则，其中，
故，若，不妨设，
则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
即有，，因此由得到的彼此相异，
于是，即的最大值为，所以必有最大值.
【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解答的关键在于理解题意并根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而分析得出的值.
3．(1)，，证明见解析；
(2)420.
【分析】（1）直接代入可得，再代入，结合的值求出；再由仿写出，作差后得到，即可证明结果.
（2）由（1）知数列为等差数列，然后代入等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）当时，由条件得，所以.
当时，由条件得，所以.
因为，所以（），
两式相减得：，即，
所以，
从而数列为等差数列.
（2）由（1）知，
所以，
所以数列为等差数列，首项为，
所以，
所以.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意可判断数列是等比数列，结合求出首项，公比得解；
（2）由（1）可得，根据错位相减法求和得解.
【详解】（1）因为，
所以，所以数列是公比为的等比数列，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
相减得，，
所以.
5．(1)存在，
(2)证明见解析.
【分析】（1）由与的关系和等差数列的性质求出的值，或由等差数列的通项公式与前n项和公式代入已知条件中求解.
（2）由已知求出数列的通项，得，结合等比数列前n项和公式证明结论.
【详解】（1）方法一：由题意可知①，
②，
由得．
因为且，所以．
所以③．
若存在使得数列为等差数列，则（k是不为0的常数，），
代入③化简得到．
由于不为常数数列且各项均为正数，
所以解得
所以．此时，满足且为等差数列．
方法二：若是公差为d的等差数列，由，
则，
整理得到，
所以
由③可得或．
（i）若，由①②解得；
（ii）若，代入①②解得，与题意不符．
综合以上可知存在使得为公差等于1的等差数列．
（2）由于是公比为的等比数列，，所以，
又，所以．
令可知，所以．
因为且，所以，所以，
所以，
又因为，
所以．
由于
，
且当时，，
所以，原不等式成立．
考点二：错位相减求和
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（ ）
A．的区间数列的通项
B．的取整数列的通项
C．的取整数列的通项
D．若，则数列的前项和
【答案】BD
【分析】由在上，得到，可判定A错误；根据，可判定B正确；结合， 可判定C错误；得到，利用乘公比错位相减法求和，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为在上，，，所以；
在上，，所以，
在上，，，所以，所以A错误；
对于B中，由选项A知，，所以B正确.
对于C中，因为，
所以，所以C错误；
对于D中，由选项A知，可得，
则，
所以，
两式相减，所以D正确.
故选：BD.
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.
(1)求，，，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前和.
2．（2024·湖南·二模）记为数列的前项和，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求最小的正整数，使得对一切都成立.
3．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记，求．
5．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若，求数列的前项和.
参考答案：
1．(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据题意理解可求，，，结合与互素的个数可求数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由题意可知，，，
由题意可知，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，
所以；
（2）由（1）知，所以，
所以 ，
，
所以，①
，②
所以①－②得
，
所以.
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）用替换已知，再与已知作差，得到，即可得证；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，进而得到结果.
【详解】（1）由题知，
用替换上式的，得.
两式作差，，即.
而由，可得.
从而是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，于是，
设，则，
当时，，故，
两式作差，得.
整理可得.
故，又，因此满足条件的最小正整数为.
3．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解，
（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.
【详解】（1）时，，即.
又，也符合，
所以时，，即.
又，所以，
所以，所以数列成等比数列.
（2）由（1）易得.由可得，所以.
所以，
所以.
令，
则，
所以，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出数列为等比数列，再根据条件求出，即可求出结果；
（2）根据（1）得到，再利用错位相减法，即可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，则，
则数列为等比数列，设其公比为，由，
得且，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得：
，
所以．
5．(1)，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由数列的递推式，分别令，2，3，计算可得所求值；
（2）推得，由等比数列的定义，可得证明；
（3）求得，，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【详解】（1）由
可得；；；
（2）证明：由题可得，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列；
（3）由（2）可得，即，
，
，
前项和，
，
两式相减可得，
化简可得．
考点三：裂项相消求和
【典例精析】（多选）（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列的前项和为，且，数列与数列的前项和分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由，化简得到，得出是以为首项，公比为的等比数列，求得，结合数列的性质，以及数列的求和方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由两边同时除以，
可得，所以，，
故数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
对于A中，因为，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，由，
所以，
所以B正确；
对于C中，由，
可得
，所以C正确；
对于D中，由，
当时，显然成立；
当时，，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前项和．
3．（2024·河南·二模）在数列中，，对任意正整数，均有.数列满足：.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．（2024·河南周口·模拟预测）已知首项不为1的正项数列，其前n项和为，且点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
5．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．
参考答案：
1．(1)或；
(2).
【分析】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；
（2）求出数列的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得.
【详解】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，
解得或，当时，；当时，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则
，
所以，
即.
2．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用前项和与通项公式之间的关系判定是等差数列，再求通项公式即可.
（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由，得．
因为是公差为1的等差数列，所以．
当时，．两式相减，得，
所以，又，所以，则，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以．
（2）由（1）可知，，则，
所以数列的前项和
．
3．(1)，
(2)
【分析】（1）利用累加法求出的通项公式，由可得两式作差即可得到的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，
当时，，
累加得，即，
经检验，满足，
所以数列的通项公式为，
因为①，
当时，，
当时，②，
①②得，即，
经检验，满足，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可得
，
所以.
即数列的前项和.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系求得数列为首项为2公差为3的等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可；
（2）先求出，然后利用裂项求和法求解即可.
【详解】（1）由题意得，所以，
故当时，，两式相减得，，
整理化简得，，因为，所以，
因为，解得或（舍去），
故数列为首项为2公差为3的等差数列，所以；
（2）由（1）得，所以，
所以数列的前n项和.
5．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时求出，时，用，即可求解；
（2）由得出，由得，根据对勾函数的单调性及的值，即可求出得范围；
（3）由（1）得，则，根据放缩法得即可证明．
【详解】（1）当时，，
当时，，时成立，
所以．
（2）由得，，显然时，单调递增，，
由得，，
又，当且仅当时，即时等号成立，
因为，，且，，，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
所以．
（3）证明：由（1）得，，
因为
所以
．
考点四：分组（并项）求和
【典例精析】（多选）（22-23高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列的前10项和为30 D．数列的前项和为
【答案】ABC
【分析】先构造数列 ，知其前 项和求通项 ，进而再求出 ，选项A，由定义证明为等差数列；选项 B，利用等差数列前 项和公式求解即可; 选项 C ，两项并一项，并项为常数列求和; 选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.
【详解】由题意，
A项，，
设，则，
所以当 时， ，
两式相减得， ，
当 时， 也适合上式.
则 ，
解得：，
所以 ，
故数列 是以 9 为首项， 6 为公差的等差数列，，
故A正确；
B项，，故B正确；
选项C，数列 的前10项和为：
，故C正确；
选项D,
则前20项和为：
故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查构造数列，等差数列的通项公式和前项和，考查并项求和，考查学生的分类讨论能力，具有很强的综合性.
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且．
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的前项和．
2．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列前项的和.
3．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
4．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
参考答案：
1．(1)的值为
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得；
（2）由题意可得，借助分组求和法计算即可得解.
【详解】（1）由题意知，
因为，所以,
设等差数列的公差为，则，
解得，所以，
所以的值为的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以
．
所以的前项和．
2．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意结合等差数列可得，可得，根据等比数列通项公式结合等比中项可得，即可得；
（2）由（1）可知：，利用分组求和结合并项求和分析求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可知：，解得，
所以.
设等比数列的公比为，则，
由题意可知：，则，解得，
所以或.
（2）由（1）可知：，
设前项的和为，前项的和为，
可知，
对任意，
因为，
，
，
，
则
，
所以，
又因为，
，
，
，
则
，
所以，
所以.
3．(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；
（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
【详解】（1）当时，由，即，解得：，
所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；
所以，则，
当时，，
当时，满足条件，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即
4．(1)；
(2).
【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.
（2）利用（1）的结论，求出，按为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和.
【详解】（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根据裂项求和即可求解，
（2）根据并项求和即可求解.
【详解】（1）由题意可知，数列是等差数列，设数列的公差为．
可转化为，
即，
即，，即，
，．
（2）由题可得，
，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上所述,
考点五：倒序相加求和
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．是偶函数
【答案】AD
【分析】先根据函数，的奇偶性及，结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数，即可得到是周期函数，进而判断选项A；由即可得到的图象的对称中心，进而判断选项B；利用倒序相加法及即可判断选项C；对两边同时求导即可判断选项D．
【详解】选项A：在中取为，得，
所以，取为，得，
因为函数是偶函数，所以，
取为，得，所以，
所以函数是周期为2的周期函数，所以也是周期函数，所以A正确；
选项B：由得的图象关于点中心对称，所以B错误；
选项C：设，
则，
两式相加，得
2022，
所以，即，所以C错误；
选项D：对于，两边同时对求导得，所以是偶函数，所以D正确
故选：AD
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数，求；
②求．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
3．（2016·辽宁沈阳·三模）已知函数.
(1)求证：图象关于点中心对称；
(2)定义，其中且，求；
(3)对于（2）中的，求证：对于任意都有.
4．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式列方程求解；
（2）①利用条件直接求解；②求出当为偶数时，然后利用倒序相加以及错位相减法求和即可.
【详解】（1）设数列的公差为的公比为，
由已知可得，得，
；
（2）①为奇数，为偶数．

；
②当为偶数，为奇数，
令，
，
即，
，
所以
所以
所以
所以.
2．(1)是，证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.
【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即
．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．
3．(1)证明见解析
(2)且
(3)证明见解析
【分析】（1）证明：，即可证明图象关于点中心对称；
（2）利用倒序相加法，求；
（3）等价于，构造函数，利用函数的单调性即可证明.
【详解】（1）证明：当时，，
又，所以图象关于点中心对称.
（2）由（1）知
则
∵…①
∴…②
①+②，得，∴且.
（3）证明：当时，由（2）知
于是等价于
令，则
∴当时，，即函数在上单调递增，又
于是，当时，恒有，即恒成立
故当时，有成立
取，则有成立
所以，对于任意都有.
4．(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以

.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
考点六：数列其他求方法求和
【典例精析】（多选）（2024·吉林延边·一模）与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白银分割率．记该数列为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据定义即可判定正确，根据，即可求出，利用，求出，从而得到，令，则，利用不动点法求出数列的通项公式，从而判定D.
【详解】由于一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数，则，故A正确；，
对于B，由于，可得，
所以，
由于，所以，故B正确；
对于C，由于，可得，
所以，
由于，则，所以，
则，故C正确；
对于D，由于，则，即，
令，则，，
求不动点，设，令，解得：，，
所以，化简得：①
，化简得：②，
则，
且，则数列是第二项为，公比为的等比数列，则，
所以，由于，所以，故D不正确；
故选：ABC
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
4．（2023·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
参考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合，即可求得；
（2）由，把表达式求出后，可直接求和.
【详解】（1），
设，则，又，
所以，.
（2）
.
2．(1)
(2)当为偶数时，，当为奇数时，.
【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；
（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.
【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，
即，又因为，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
经检验，时，满足，
综上，当为偶数时，，
当为奇数时，.
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，，成等比数列解得、，再利用得，两边同除以可得数列是等比数列，从而得出数列的通项公式；
（2）利用即可得答案.
【详解】（1）当时，；当时，.
因为，，成等比数列，所以，
所以，解得或（舍），所以，
因为①，所以当时，②.
①②得，化简得（也成立），
两边同除以得，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即数列的通项公式为；
（2）因为，所以，当且仅当时取等号，
即，整理得，，
所以，故.
4．(1)，．
(2)
【分析】（1）当时，利用累加法可求得的表达式，结合可得出的表达式，再检验的情形，综合可得出的通项公式；
（2）由求出数列的通项公式，列举出数列的前项，即可求得的值.
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.
【详解】（1）
点在函数的图象上，，
是“平方递推数列”．
因为，
对两边同时取对数得，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）
由（1）知，
由数列的通项公式得，
当时，；当时，．
又由，得
当且时，；
当且时，
，
综上，
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
4．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
5．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
6．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
2．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
3．(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
4．（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
5．（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
6．（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
一、单选题
1．（2005·重庆·高考真题）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
3．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
4．（2024·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山西晋中·模拟预测）已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2024·江苏南京·二模）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
二、多选题
7．（2023·山西晋中·二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
8．（2024·全国·模拟预测）已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则（ ）
A．
B．为等比数列
C．数列的前项和
D．、、不是任一等差数列的三项
三、填空题
9．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ．
11．（2023·上海宝山·一模）已知函数，正项等比数列满足，则
四、解答题
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
14．（2024·天津红桥·二模）已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，．
(1)求数列{，的通项公式；
(2)设，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
参考答案：
1．C
【分析】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，则为等比数列，由此求出塔形表面积的表达式，令即可得出的范围．
【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，
则为以2为首顶，以为公比的等比数列，
是以4为首项，以为公比的等比数列．
塔形的表面积，
令，解得，
该塔形中正方体的个数至少为6个．
故选：C．
2．C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
3．D
【分析】由等比数列的性质可得，由，可得，故有，即可计算.
【详解】由数列是公比为q（）的正项等比数列，故，
，故，
即有，
由，则当时，
有，
故，
故，
故.
故选：D.
4．A
【分析】根据题意，由条件可得数列是等差数列，再由错位相减法可得，代入计算，分离参数，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】，，又，
数列是首项为1、公差为1的等差数列，
，，
①，
②，
①②得，，
，不等式，
即，
故对任意的恒成立．
又，当且仅当，即时等号成立，
，
故选：A．
5．B
【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿写作差后得到，进而得到，然后利用裂项相消法求出不等式左边的最大值即可.
【详解】因为，
所以，即，
即，则，
与上式作差后可得，
因为正项数列，所以，
所以，
因为，，
所以
，
所以实数的最小值为，
故选：B.
6．C
【分析】根据题意求得数列的前8项，通过观察找到规律，即可求解.
【详解】因为，，，，
所以，
，
，
，
，
，…，
可以看出数列的前20项为，
故.
故选：C.
7．BCD
【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.
【详解】由题意知，，恒成立，
所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；
设切点为，则，
切线方程为，
代入点得，
即，解得或，
所以切线方程为或，C正确；
易知，令，则．
当时，，，所以点是的对称中心，
所以有，即．
令，
又，
所以，
所以，D正确．
故选：BCD.
8．BCD
【分析】分别求出数列和的几项找出公共项判断A；根据等差数列的定义可判断B；通过错位相减求和并判断的单调性可判断C；利用等差数列的通项可判断D
【详解】设的第n项与的第m项相等，即，
当时，，
当时，，
当时，，故A错；
令，即，
，不是中的项，即不是的项，
，是中的项，即不是的项，
所以，则，即为等比数列，故B对；
由，
得，
两式相减得，
所以，且，所以单调递增，所以，故C对；
设、、是等差数列的第i、j、p项，的首项为，公差为d，
，
因为是有理数，是无理数
所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项
故选：BCD
9．
【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解.
【详解】设等差数列的公差为．由，得①，
由得②，
联立①②，，解得，
所以．
则，
所以
．
故答案为：
10．1
【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解.
【详解】因为，，
所以
…，
所以数列的各项依次为3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期为6．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…，
所以数列是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0，
其前项12的和为．
又，
所以数列的前2024项的和为等于前8项的和．
故答案为：.
11．
【分析】利用倒序相加法，结合函数的对称性以及等比数列的性质即可求得正确答案.
【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,
因为的对称中心为，所以的对称中心为，
所以，
因为正项等比数列满足，所以，
所以，
所以，
①，
②，
则①②相加得：
即，
所以.
故答案为：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知数列是首项为2，公比为3的等比数列，可得，结合与之间的关系分析求解；
（2）由（1）可得数列的通项公式，分和两种情况，利用错位相减法运算求解.
【详解】（1）因为，则，
可得，
且，可知数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以．
当时，，
而不满足上式，所以．
（2）由（1）及可知．
当时，；
当时，，
．
两式相减得
，
所以；
且满足该式，所以．
13．(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前项和公式求解即得.
（2）利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）数列中，当时，，即，
则
，而满足上式，
所以数列的通项公式是，．
（2）由（1）知，，则，
因此
，而，则，
所以．
14．(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）利用递推公式，等差数列，等比数列的性质解方程即可求出、、，再由基本量法写出通项即可；
（2）（ⅰ）先化简可得由累乘法求出即可；（ⅱ）先裂项化简可得，再用分组求和即可.
【详解】（1）设的首项为，公差为，的公比为，
因为，，
所以，
解得或（舍），
所以，即，
所以，
又，，即，
解得，
所以，即
（2）（ⅰ）因为，则，
则；
（ⅱ）因为，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第二问对于分式形式的数列求出可采用裂项相消法.
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5.2数列求和及应用
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 4
考点一：等差、等比公式求和 4
考点二：错位相减求和 5
考点三：裂项相消求和 6
考点四：分组（并项）求和 7
考点五：倒序相加求和 8
考点六：数列其他求方法求和 9
【真题在线】 11
【专项突破】 12
考点 考情分析 考频
等差数列模型 2023年新高考Ⅰ卷T7 2023年新高考Ⅰ卷T20 2023年新高考Ⅱ卷T18 2023年全国甲卷T10 2022年新高考Ⅱ卷T3 2021年新高考Ⅱ卷T17 2021年全国乙卷T19 3年7考
等比数列模型 2023年新高考Ⅱ卷T8 2023年全国甲卷T15 2023年全国乙卷T15 2022年全国乙卷T10 2年4考
等差与等比综合 2022年新高考Ⅱ卷T17
数列分段递推公式 2021年新高考Ⅰ卷T17
数列并项递推公式 2023年全国甲卷T17
数列结构不良型模型 2021年全国甲卷T18
数列前n项和与通项关系 2022年全国甲卷T17
数列与不等式综合 2022年新高考Ⅰ卷T17
数列单调性 2022年全国乙卷T14
预测：数列求和通常出现在解答题的第二问当中，从最近几年看，数列考察的难度不适中，考察的形式多样性，灵活性.建议在复习时紧抓数列的基本概念，加强学生的发散性思维的培样.提升学生的数学素养.
考点一：等差、等比公式求和
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知数列中，，当为奇数时，，当为偶数时，，则（ ）
A．数列是递减数列 B． C． D．
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·山东滨州·二模）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和．
2．（2024·湖北·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)若数列，且，，求数列和集合T；
(2)若是递增的等差数列，求证：；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由
3．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.
(1)求，，并证明：数列是等差数列；
(2)求.
4．（2024·青海西宁·二模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）已知数列不为常数数列且各项均为正数，数列的前n项和为，，满足，其中是不为零的常数，．
(1)是否存在使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若数列是公比为的等比数列，证明：（且）．
考点二：错位相减求和
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（ ）
A．的区间数列的通项
B．的取整数列的通项
C．的取整数列的通项
D．若，则数列的前项和
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.
(1)求，，，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前和.
2．（2024·湖南·二模）记为数列的前项和，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求最小的正整数，使得对一切都成立.
3．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记，求．
5．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若，求数列的前项和.
考点三：裂项相消求和
【典例精析】（多选）（23-24高三下·江西·开学考试）已知数列的前项和为，且，数列与数列的前项和分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前项和．
3．（2024·河南·二模）在数列中，，对任意正整数，均有.数列满足：.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．（2024·河南周口·模拟预测）已知首项不为1的正项数列，其前n项和为，且点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
5．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．
考点四：分组（并项）求和
【典例精析】（多选）（22-23高二上·山东泰安·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列 B．
C．数列的前10项和为30 D．数列的前项和为
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且．
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的前项和．
2．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列前项的和.
3．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
4．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
考点五：倒序相加求和
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数是偶函数，是奇函数，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．是偶函数
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若
①当为奇数，求；
②求．
2．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
3．（2016·辽宁沈阳·三模）已知函数.
(1)求证：图象关于点中心对称；
(2)定义，其中且，求；
(3)对于（2）中的，求证：对于任意都有.
4．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
考点六：数列其他求方法求和
【典例精析】（多选）（2024·吉林延边·一模）与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白银分割率．记该数列为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
4．（2023·山东·一模）已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
4．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
5．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
6．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
一、单选题
1．（2005·重庆·高考真题）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
3．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
4．（2024·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山西晋中·模拟预测）已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2024·江苏南京·二模）我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
二、多选题
7．（2023·山西晋中·二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ）
A．一定有两个极值点
B．函数在R上单调递增
C．过点可以作曲线的2条切线
D．当时，
8．（2024·全国·模拟预测）已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则（ ）
A．
B．为等比数列
C．数列的前项和
D．、、不是任一等差数列的三项
三、填空题
9．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，，，数列，满足，则数列的前2024项的和为 ．
11．（2023·上海宝山·一模）已知函数，正项等比数列满足，则
四、解答题
12．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
14．（2024·天津红桥·二模）已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，．
(1)求数列{，的通项公式；
(2)设，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
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