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2024年龙湖区初中学业水平考试模拟试题
数 学
说明：
1．全卷满分120分，考试用时120分钟．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应选项的信息点涂黑．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡相应位置，不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 某速冻水饺的储藏温度是－18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（ ）
A. －24℃ B. －18℃ C. －17℃ D. －16℃
2. 据悉，在国内大量终端背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端APP应用规模达2610000，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数据“2610000”用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
3. 某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　）
A. 39° B. 45° C. 50° D. 51°
6. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直角坐标系中，已知点，直线与x轴正半轴的夹角为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （ ）
A. B. C. D.
9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A 6 B. 3 C. D.
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11. 点关于原点对称点为__________．
12. 一元二次方程x2＝2x解为________．
13. 如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为__________．
14. 陈力参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为84分、80分、92分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是__________分．
15. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形．若，则四边形的外接圆的直径为__________．
16. 如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是______．
三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各4分，第19题6分，共14分）
17. 计算：．
18. 化简：．
19. 下面是小明设计“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：P是外一点，求作：经过点P的的切线．作法：如图，
①连接，作线段的垂直平分线交于点A；
②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点；
③作直线．直线就是所求作的切线．
请根据小明的作法完成作图和证明．
证明：连接．
补完证明过程
∴是的切线．
四、解答题（二）（本大题4小题，第20，21每题7分，第22，23每题9分，共32分）
20. 有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图；
（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
21. 为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是．（出发点B和C在同一水平高度，将山路看成线段）
（1）求小山南坡的长；
（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）
22. 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
23. 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作，
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24. 如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
（1）在图1中连结，求证：；
（2）若的半径为，求的值；
（3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
25. 综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
（2）当是以为直角边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2024年龙湖区初中学业水平考试模拟试题
数 学
说明：
1．全卷满分120分，考试用时120分钟．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应选项的信息点涂黑．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡相应位置，不准使用铅笔和涂改液，不按要求作答的答案无效．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 某速冻水饺的储藏温度是－18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（ ）
A. －24℃ B. －18℃ C. －17℃ D. －16℃
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决．
【详解】∵，，
∴速冻水饺的储藏温度是-20～-16℃，
故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算，求出储藏温度的范围是解题的关键．
2. 据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端APP应用规模达2610000，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数据“2610000”用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：数据2610000用科学记数法表示为，
故选：B．
3. 某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从上面看到的图形，即可判定．
【详解】解：此商场的休息椅的俯视图为A，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键．
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则及合并同类项法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】解：，A错误，故不符合要求；
，B错误，故不符合要求；
，C错误，故不符合要求；
，D正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂乘法，幂的乘方及合并同类项．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5. 如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　）
A. 39° B. 45° C. 50° D. 51°
【答案】D
【解析】
【分析】由BD//l1得∠1＝∠CBD＝39°，根据平行公理的推论得BD//l2，其性质得∠ABD＝∠2，角的和差求得∠2＝51°．
【详解】如图，作BD//l1，
∵BD//l1，
∴∠1＝∠CBD，
∵l1//l2，
∴BD//l2，
∴∠ABD＝∠2，
又∵∠1＝39°，
∴∠CDB＝39°
又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝51°，
∴∠2＝51°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7. 如图，在直角坐标系中，已知点，直线与x轴正半轴的夹角为，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，坐标与图形，先根据勾股定理求出，再根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示，
∵，
∴，，
∴．
在中，．
故选：C．
8. 如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项不符合题意；
D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意；
故选：D．
9. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；
由图象可知：抛物线开口向上，
∴a>0，
由对称轴可知： <0，
∴b>0，故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；
所以，正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11. 点关于原点对称点为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，横、纵坐标互为相反数是解题关键．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答即可．
【详解】解：点关于原点O对称点为．
故答案为：．
12. 一元二次方程x2＝2x解为________．
【答案】x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
13. 如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为__________．
【答案】48
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故答案为：48．
14. 陈力参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为84分、80分、92分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是__________分．
【答案】86.8
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
（分），
所以，小王的成绩是86.8分．
故答案为：86.8．
15. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形．若，则四边形的外接圆的直径为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论．
【详解】解：如图，连接．
∵正方形正方形，相似比为，
又∵正方形的面积为2，
∴正方形的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的外接圆的直径为4，
故答案为：4．
16. 如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的性质．根据题意可设可设点P的坐标为，且，可得，再根据反比例函数的性质可得，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵P是第一象限内一次函数图象上一动点，
∴可设点P的坐标为，且，
∴，
∵反比例函数经过点P，
∴，
∴当时，k的值最大，最大值为2，
∵，
∴当时，k随a的增大而增大，当时，k随a的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴k的取值范围是．
故答案为：
三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各4分，第19题6分，共14分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先化简，，，然后再合并即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可得到结果
【详解】解：
19. 下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：P是外一点，求作：经过点P的的切线．作法：如图，
①连接，作线段的垂直平分线交于点A；
②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点；
③作直线．直线就是所求作的切线．
请根据小明的作法完成作图和证明．
证明：连接．
补完证明过程
∴是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，根据要求即可画出图形；再根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【详解】解：图形如图所示．
证明：连接，
∵为的直径，
∴．
∴．
∴为的切线．
四、解答题（二）（本大题4小题，第20，21每题7分，第22，23每题9分，共32分）
20. 有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图；
（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）400，54°，补全条形统计图见解析；
（2）恰好选出1名男生和1名女生的概率=．
【解析】
【详解】试题分析：（1）用乘公交车的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用“骑自行车”所占的百分比乘以360°得到“骑自行车”所在扇形的圆心角度数，然后计算出乘私家车的人数后补全条形统计图；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：（1）本次接受调查的总人数为160÷40%=400（人），
扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数为×360°=54°，
乘私家车的人数=400﹣60﹣160﹣80=100（人），
补全条形统计图为：
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，
所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．
21. 为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是．（出发点B和C在同一水平高度，将山路看成线段）
（1）求小山南坡的长；
（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）过A作，垂足为D，在中，先求出的度数，然后利用含角的直角三角形的性质可得米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论，根据路程，速度，时间之间的关系，列方程计算即可．
【小问1详解】
解：如下图，过A作，垂足为D，
在中，
，
，
，
（米），
在中，
，
（米）
小山南坡的长为米；
【小问2详解】
设小强登山的速度为x米/分，根据题意，得：，
解得：，
小强登山的速度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，分式方程，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）该校此次最多可购买22个B品牌篮球
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用．
（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
【小问2详解】
解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
∵是整数，
所以，该校此次最多可购买22个B品牌篮球．
23. 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作，
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查四边形综合题、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识点，学会添加常用辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质即角平分线的性质证明即可；
（2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，然后由线段垂直平分线的性质即可证明结论；
（3）过点G作交于点H，连接，证明四边形为是菱形可得，进而得到，最后再运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴平行四边形为矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
（2），理由如下：
连接交于点O，连接，如图2，
由（1）得四边形为正方形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
（3）补全图形如图，过点G作交于点H，连接，
由题意得四边形为平行四边形，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为是菱形，
∴，易得，
∵，
∴
∴，
∴，
此时，A，G两点之间的距离为．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24. 如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
（1）在图1中连结，求证：；
（2）若的半径为，求的值；
（3）如图，若，点是中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可得证；
（2）连接并延长交于点，连接，根据题意得出，，进而根据得出；
（3）结论：．连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴
∵直径，
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴,，
∵
∴
∵
∴
∴
【小问3详解】
．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、余弦的定义，圆的相关性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理在几何计算中的运用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
25. 综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
（2）当是以为直角边直角三角形时，求出n的值；
（3）直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，直线的解析式为，直线的解析式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，
（1）分别求出A、B、C的坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，求出或（舍）；
（3）先设，当为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，再将点P代入直线的解析式中求出n的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，再由E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，则，得到方程，求出n的值即可求P点坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
解得或，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
平移后的直线解析式为，
∴，
∴，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
解得或（舍）；
【小问3详解】
解：存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当时，解得
∴，
当为邻边时，与为菱形的对角线，
∴，
∴轴，
∴，
∴，
解得，
∴；
当为菱形的对角线时，，
∴，
∵，
∴E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述：P点坐标为或．

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