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2024年普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷（一）
数 学 答 案 解 析
时量:90分钟, 满分:100分
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
注意事项:
1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4.请勿折叠答题卡,保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
一、单选题:本大题共18小题,每小题3分,共54分,在每小题给出的四个选项
1．下列各选项中，表示M N的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合中子集定义判断即可.
【详解】由M N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．
答案： C
2．已知：，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用作差法比较各项即可.
【详解】对于A项，因为，
又，，所以，，
所以，所以，故A项错误；D项正确；
对于B项，，
又，，所以，
所以，所以，故B项错误；
对于C项，，
又，，所以，
所以，所以，故C项错误.
故选：D.
3．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：B.
4．命题“”的否定为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题知：
“”的否定为“”，
故选：D.
5．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出解集.
【详解】，解得.
故选：C
6．与角 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据终边相同的角关系确定选择.
【详解】因为与角 终边相同的角是
当时
故选：B
【点睛】本题考查终边相同的角，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．下列函数图象中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由偶函数的性质即可得.
【详解】根据偶函数的图象性质可知，关于y轴对称的函数是偶函数.
故选：C.
8．复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法计算.
【详解】.
故选：D
9．某林场有树苗2000棵，其中松树苗400棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则样本中松树苗的数量是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】D
【分析】根据题意，结合分层抽样的抽取方法，列出方程，即可求解.
【详解】色号样本中松树苗的数量为棵，根据题意，可得，解得，
即样本中松树苗的数量为课.
故选：D.
10．如图，在正方体中，直线与的位置关系是
A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直
【答案】D
【详解】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，
，
故选D.
11．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得，由可得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
12．函数的零点是（ ）
A． B．
C．0 D．1
【答案】C
【分析】由零点的定义求解即可.
【详解】令，得，
故函数的零点是0.
故选：C
13．明市在一条线路（总里程为20公里）市运行“招手即停”的公共汽车，票价（元）与乘坐里程(公里）之间的函数解析式是，某人下车时交了票价4元，则他乘坐的里程可能是（ ）公里
A．2 B．10 C．13 D．16
【答案】C
【分析】根据函数解析式得到，得到答案.
【详解】票价（元）与乘坐里程(公里）之间的函数解析式是，
，则.
故选：
【点睛】本题考查了分段函数，意在考查学生的应用能力.
14．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】逐项判断函数的单调性即可得出答案.
【详解】对于A，在区间上是增函数，故A错误；
对于B，在区间上是减函数，故B正确；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在区间上是增函数，故D错误；
故选：B.
15．若向量满足与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】求出，再根据数量积定义运算.
【详解】，，
.
故选：A.
16．若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由长方体外接球直径为体对角线，结合球体体积公式求体积.
【详解】由题设，长方体外接球直径为体对角线为，
所以该球体积为.
故选：D
17．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】B
【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.
【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.
故选：B
18．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.
【详解】在中，，
由余弦定理得,
而A为三角形内角，故，
故选：D
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题4分，共16分
19．已知向量，，且，则 ．
【答案】2．
【分析】根据，由，利用坐标运算求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，
解得，
故答案为：2
20．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为
【答案】/
【分析】利用古典概型概率的求法求解即可.
【详解】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个，
又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个，
所以取到白球的概率为.
故答案为：
21．函数的最大值为
【答案】/1.5
【分析】先将原式化简，得到，进而可得其最大值．
【详解】因为，，
所以，当且仅当时，取得最大值．
故答案为：．
22．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 ．
【答案】64
【详解】试题分析：样本数据落在内的频率为，所以样本数据落在内的频数为.
考点：频率分布直方图.
三、解答题：本大题共3个小题，每个题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．如图，在正方体中，E是的中点.

(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以，
三角形ABC的面积，
三棱锥的体积.
24．已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)若，恒成立，求：实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接将代入解析式，解方程即可得到答案；
（2）对进行分类讨论，若恒成立；若则可得抛物线开口向下，且与无交点；
【详解】（1）因为，
所以；
（2）当时，恒成立，
当，
综上所述：时，恒成立.
25．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

(1)求直方图中x的值；
(2)估计月平均用电量的中位数；
(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】(1)0.0075
(2)224
(3)3
【分析】（1）根据频率分布直方图相关数据直接计算即可；
（2）根据频率分布直方图相关数据直接计算中位数即可；
（3）根据分层抽样相关知识，结合抽样比例进行计算即可.
【详解】（1）由，
得，
所以直方图中x的值是0.0075
（2）因为，
所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为a，
由，得，
所以月平均用电量的中位数是224
（3）月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有(户)，
月平均用电量为的用户有 (户)，
抽取比例，
所以月平均用电量在用户中应抽取户2024年普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷（一）
数 学
时量:90分钟, 满分:100分
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
注意事项:
1.答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时,请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4.请勿折叠答题卡,保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
一、单选题:本大题共18小题,每小题3分,共54分,在每小题给出的四个选项
1．下列各选项中，表示M N的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知：，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．命题“”的否定为 （ ）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．与角 终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数图象中，为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．复数（ ）
A． B． C． D．
9．某林场有树苗2000棵，其中松树苗400棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则样本中松树苗的数量是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
10．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面但不垂直 D．异面且垂直
11．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．函数的零点是（ ）
A． B． C．0 D．1
13．明市在一条线路（总里程为20公里）市运行“招手即停”的公共汽车，票价（元）与乘坐里程(公里）之间的函数解析式是，某人下车时交了票价4元，则他乘坐的里程可能是（ ）公里
A．2 B．10 C．13 D．16
14．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
15．若向量满足与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．2
16．若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（ ）
A． B． C． D．
17．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
18．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每个小题4分，共16分
19．已知向量，，且，则 ．
20．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为 ．
21．函数的最大值为 ．
22．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在内的频数为 ．
三、解答题：本大题共3个小题，每个题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．如图，在正方体中，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积．
24．已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)若，恒成立，求：实数的取值范围.
25．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)估计月平均用电量的中位数；
(3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

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