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人教版·初中数学·七年级下册·第七章
平面直角坐标系章复习
1.理解有序数对，能用有序数对表示位置.
2.掌握平面直角坐标系，能根据坐标描出点的位置,能由点的位置写出点的坐标，知道各象限及坐标轴上点的坐标特征解决相关问题.
3.能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置,体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用.
4.知道平移与坐标的关系,能用坐标表示平移变换,进一步体会数形结合思想.
一、复习目标
二、单元结构图
确定平面内点的位置
平面直角
坐标系
坐标平面
四个象限
点与有序数对的对应关系
特殊点的坐标特征
点 P
画两条数轴
①_________
②_________
坐标有序数对(x，y)
用坐标表示平移
横坐标，右__左__
纵坐标，上__下__
用坐标表示
地理位置
直角坐标系法
____+____
加
减
加
减
方向
距离
互相垂直
有公共原点
三、知识梳理
（一）有序数对
我们把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对.
记做（a，b）.
利用有序数对,可以准确地表示出一个位置.
三、知识梳理
（二）平面直角坐标系
x轴或横轴
y轴或纵轴
1.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.
正方向：
x轴习惯取向右为正方向；
y轴习惯取向上为正方向；
原点
原点：
两条数轴的交点O.
单位长度：
相同
三要素：
①两条数轴
②互相垂直
③公共原点
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
1
2
3
O
三、知识梳理
（二）平面直角坐标系
2.如图，对于平面内任意一点P，过点P向x,y轴作垂线，垂足在x,y轴上的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b)叫做点P的坐标.
1
a
3
1
b
3
O
x
y
P（a,b)
三、知识梳理
（二）平面直角坐标系
3.建立了平面直角坐标系之后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分.每个部分称为象限，两条数轴正半轴所夹部分叫第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.
第二象限
第一象限
第三象限
第四象限
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
1
2
3
O
x轴
y轴
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
（+，+）
（-，+）
（-，-）
（+，-）
第四象限
1
2
3
-1
-2
-3
y
x
1
2
3
-1
-2
-3
-4
O
若点P（x，y）在第一象限，则 x＞ 0，y＞ 0
若点P（x，y）在第二象限，则 x＜ 0，y＞ 0
若点P（x，y）在第三象限，则 x＜ 0，y＜ 0
若点P（x，y）在第四象限，则 x ＞ 0，y＜ 0
各象限点坐标的符号
第一象限
第三象限
第二象限
三、知识梳理
（二）平面直角坐标系
4.坐标轴上的点_______(填“在”或“不在”)任何一个象限内.
不在
纵
横
纵
横
5.x轴上的点的_____坐标为0;y轴上的点的______坐标为0.
6.平行于x轴的直线上各点的_____坐标相同;平行于y轴的直线上各点的_____坐标相同.
学以致用：坐标轴上点的坐标符号
1.点P(m+2,m-1)在x轴上,则点P的坐标是 .
( 3, 0 )
2.点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是 .
( 0, -3 )
3. 点P(x,y)满足 xy=0, 则点P在 .
x 轴上 或 y 轴上
4.若　　　，则点p(x,y)位于 ＿＿
y轴(除（0，0））上
注意： 1. x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0），
2. y轴上的点的横坐标为0， 表示为（0，y）。
原点（0，0）既在x轴上，又在y轴上。
三、知识梳理
（三）用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点的分布情况的过程如下:
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向;
(2)根据具体问题确定单位长度;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.
（四）用坐标表示平移
三、知识梳理
1.点的平移：
将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））；
将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））；
一般地，在平面直角坐标系中，
（四）用坐标表示平移
三、知识梳理
2.图形的平移：
一般地，在平面直角坐标系中，
如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；
如果把一个图形各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；
3. 平面直角坐标系的平移规律
向左平移 a 个单位对应点 P2___________
向右平移 a 个单位对应点 P1___________
向上平移 b 个单位对应点 P3____________
向下平移 b 个单位对应点 P4_____________
图形上的点 P(x，y)
(x - a，y)
(x，y - b)
(x + a，y)
(x，y + b)
在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2），若将P：
(1)向左平移2个单位长度，所得点的坐标为______；
(2)向右平移3个单位长度，所得点的坐标为______；
(3)向下平移4个单位长度，所得点的坐标为______；
(4)先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得坐标为_______。
（-6，2）
（-1，2）
（-4, -2）
（1，5）
学以致用：
(m,-m)
(m,m)
x＜0
y＜0
x＜0
y＞0
x＞0
y＜0
x＞0
y＞0
横坐标相同
纵坐标相同
(0,0)
(0,y)
(x,0)
二四象限
一三象限
第四象限
第三象限
第二象限
第一象限
平行于y轴
平行于x轴
原点
y轴
x轴
象限角平分线上的点
点P（x，y）在各象限的坐标特点
连线平行于坐标轴的点
坐标轴上点P（x，y）
总结：特殊位置点的特殊坐标：
考点讲练
考点一 用坐标表示位置
例1 (西安) 如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为 A(-2，1) 和
B(-2，-3)，那么第一架轰炸机 C 的平面坐标是 ( ).
A.(1，-2) B.(1，-1)
C.(2，-1) D.(2，1)
C
练一练
1.(赤峰) 如图所示，象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点(2，2)，“炮”位于点(-1，2)，写出“兵”所在位置的坐标________.
(-2，3)
考点二 平面直角坐标系与点的坐标
例2 已知点 A(- 3 + a，2a + 9) 在第二象限，且到 x 轴的距离为 5，则点 a 的值是 .
-2
点 A 在第二象限
-3 + a＜0
2a + 9＞0
到 x 轴的距离为 5
|2a + 9| = 5
2a + 9 = 5
a = -2
分析：
1. 第一、三象限内点的横、纵坐标同号；
2. 第二、四象限内点的横、纵坐标异号；
3. 平面内点到 x 轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离是它的横坐标的绝对值.
总结
练一练
2. 已知点 M (2 + x，9 - x2) 在 x 轴的负半轴上，则点 M 的坐标是 .
(-1，0)
3. 已知点 P (m + n - 4，m - 2) 同时在两坐标轴上，则点 Q (2m，-2n) 的坐标为 .
(4，-4)
分析：
考点三 坐标与平移
例3 如图，把三角形 ABC 经过一定的变换得到三角形 A′B′C′，如果三角形 ABC上点 P 的坐标为 (a，b)，那么点 P 变换后的对应点 P′ 的
坐标为 ．
(a + 3，b + 2)
A(-3，-2)
A′(0，0)
横坐标加 3
纵坐标加 2
练一练
4. 将点 P (-3，y) 向下平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到点 Q (x，-1)，则 xy = .
-10
图形的平移→对应点的平移
总结
课堂练习
基础练习
1. 点 P(x，y) 在第四象限，且 | x | = 3，| y | = 2，则 P 点的坐标是　　　　.
2. 点 P(a - 1，a2 - 9) 在 x 轴负半轴上，则 P 点的坐标是　　　　.
(3，-2)
(-4，0)
3. 点 A (2，3) 到 x 轴的距离为　 　　；点 B (-4，0) 到 y 轴的距离为　 　　；点 C 到 x 轴的距离为 1，到 y 轴的距离为 3，且在第三象限，则 C 点坐标是　　　　.
3 个单位
4 个单位
(-3，-1)
4. ( 赤峰) 如图，点 A (2，1)，将线段 OA 先向上平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度，得到线段 O'A'，则点 A 的对应点 A' 的坐标是 ( )
A.(-3，2) B.(0，4)
C.(-1，3) D.(3，-1)
O′
A′
C
5. 已知 A (1，4)，B (-4，0)，C (2，0)，则三角形 ABC 的面积是 ．
y
A
B
C
O
(1，4)
(-4，0)
(2，0)
12
6.(潍坊) 在直角坐标系中，点 A1 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为 A2 (1，0) ，A3 (1，1) ，A4 (-1，1) ，A5 (-1，-1) ，A6 (2，-1) ，A7
(2，2 ) ，....若到达终点 An ( 506，-505 ) ，则 n 的值为______ .
2022
An (506，-505 )
第四象限点的规律
分析：
观察下标与横坐标关系
综合专题讲解
专题二：定义新概念
专题三：点的坐标的变化规律
专题目录
专题四：图形的面积
专题一：点的坐标与象限的关系
专题一：点的坐标与象限的关系
例1 若点 P(a，a - 2)在第四象限，则 a 的取值范围是 ( )
A.-2＜a＜0 B.0＜a＜2
C.a＞2 D.a＜0
点 P 在第四象限
a＞0
a-2＜0
0＜a＜2
B
例2 已知 a＋b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能 ( )
A.(a，b) B.(a，-b)
C.(-a，-b) D.(-a，b)
D
a＋b＞0
ab＞0
a＞0
ab 同号
b＞0
【应对策略】紧扣各象限坐标符号解题：
+
+
+
-
-
-
+
-
1.若点 P (m，1) 在第二象限，则点 Q (-m，0) 在 ( )
A. x 轴正半轴上 B. x 轴负半轴上
C. y 轴正半轴上 D. y 轴负半轴上
2.若点 P (a，b) 在第四象限，则点 M (b－a，a－b) 在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A
B
练习
例3 若点 P (x，y) 满足 x + y =xy，则称点 P 为“和谐点”.请你写一个“和谐点”的坐标：_______.
理解新定义
x + y = xy
代特殊值 x = 1、2、3...
求满足条件的 y
x = 2，y =2
(2，2 )
专题二：定义新概念
【应对策略】平面直角坐标系新定义类问题:
理解新定义
代特殊值 x = -1、0、1...
求满足条件的 y
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到 x、y 轴的距离中的较大值等于点 Q 到 x、y 轴的距离中的较大值，则称 P，Q 两点为“等距点”.下图中的 P，Q 两点即为“等距点”.
(1)已知点 A 的坐标为(-3，1).
①在点 E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，
为点 A的“等距点”的是点_______；
②若点 B 的坐标为 B(m，m + 6)，且 A，B
两点为“等距点”，则点 B 的坐标为_______；
E、F
(-3，3)
练习
(2) 若 T1 (-1，-k - 3)， T2 (4，4k - 3)两点为“等距点”，求 k 的值.
①|4k - 3|≤4
k = -7(舍去) 或 k = 1
4 = -k - 3
-4 = -k - 3
②|4k - 3|＞4
|4k - 3| = |-k - 3|
k = 0(舍去) 或 k = 2
综上，k 的值是 1 或 2
例4 如图，在平面直角坐标系中，OA1 = 1，将边长为 1的若干正方形一边与 x 轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的水平间距相等，且 A4A5 = 1，则点
A2022 的坐标为 ( )
A.(1009，1)
B.(1010，1)
C.(1011，0)
D.(1011，-1)
专题三：点的坐标的变化规律
D
①找周期：8 个点为一个循环周期；
②算余数：2022÷8 = 252...6；
③找对应：在 253 个循环中对应第六个点的位置.
A2022 的纵坐标→A6 的纵坐标
A2022 的横坐标→252×4＋3 = 1011
【应对策略】周期性问题三步走：
①找周期(循环规律)；
②算余数（年份数除以周期）；
③找对应（余数几，对应周期内第几个）.
4. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1 ，O2，O3，...，组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第 21 秒时，点 P 的坐标为 ( )
A.(21，- 1)
B.(21 ，0)
C.(21，1)
D.(22，0)
C
5. (洛阳期末) 在平面直角坐标系中，对于点 P (x，y)，我们把点 P' (y - 1，-x - 1) 叫做点 P 的友好点，已知点 A，的友好点为点 A2，点 A2 的友好点为点 A3，点 A1 的友好点为点.......以此类推，当点 A1 的坐标为 (2，1) 时，点A2022 的坐标为 ( )
A.(2，1) B.(0，-3)
C.(-4，-1) D.(-2，3)
B
例5 如图，三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A(-1，4)，B(-4，-1)，C(1，1)，则三角形 ABC 的面积是______.
割补法变成规则四边形
专题四：图形的面积
9.5
①
②
③
S△ABC = S四边形-S①-S②-S③
例6 如图，A(-1，0)，C(1，4)，点 B 在 x 轴上，且 AB = 3.
(1) 求点 B 的坐标；
(2) 求三角形 ABC 的面积；
(3) 在 y 轴上是否存在点 P，使以 A，B，P 三点为顶点的三角形的面积为 10 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
6
(2，0) 或 (-4，0)
【应对策略】
平面直角坐标系求面积的方法：
方法1:直接法
方法2:间接法
图形中有一边平行与 x 轴、y 轴，直接利用公式求解.
过顶点作 x 轴、y 轴的平行线，利用分割法或补形法求解.
6. 如图，在平面直角坐标系中，点 A (4，0)，B (3，4)，C (0，2).
(1) 求 S四边形ABCO；
(2) 连接 AC，求 S三角形ABC .
解：(1) 如图，过点 B 作 BD⊥OA 于点 D.
∵点 A (4，0)，B (3，4)，C (0，2 )，
OC = 2，OD = 3，BD = 4，AD = 4－3 = 1.
∴S四边形ABCO=S梯形CODB+S三角形ABD=
(2)S三角形ABC=S四边形ABCO-S三角形AOC=
小结：
（1）坐标轴上的点不属于任何象限；
（2）四个象限中点的坐标特征：
第一象限（+，+），第二象限（-，+），
第三象限（-，-），第四象限（+，-）；
（3）坐标轴上点的特征：
横轴上的点的纵坐标为0；
纵轴上的点的横坐标为0．
（4）平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
（5）第一三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；
第二四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。

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