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(共69张PPT)
第一章
运动的描述 匀变速直线运动的研究
第
3
课时
自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目标
要求
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。
2.能灵活处理多过程问题。
内
容
索
引
考点一　自由落体运动
考点二　竖直上抛运动
考点三　匀变速直线运动中的多过程问题
课时精练
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考点一
自由落体运动
1.条件：物体只受 ，从 开始下落。
2.运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。
3.基本规律：
(1)速度与时间的关系式： 。
(2)位移与时间的关系式： 。
(3)速度位移关系式： 。
重力
静止
v＝gt
v2＝2gh
1.重的物体总是比轻的物体下落得快。(　　)
2.同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(　　)
3.自由落体加速度的方向垂直地面向下。(　　)
4.做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。(　　)
5.不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(　　)
×
√
×
√
√
例1　对于自由落体运动(g＝10 m/s2)，下列说法正确的是
A.在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B.在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C.在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D.在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
√
在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；
在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10 m，故B正确；
在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；
在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。
例2　(2024·山东临沂市第三中学月考)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由
静止释放，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，
窗口的高度为2 m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g
取10 m/s2，求：
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小；
答案　20 m/s　15 m
根据速度位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为v＝20 m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度时间关系得t＝ ＝2 s
则鸡蛋落地前最后1 s内的位移大小为h2＝h－h1＝15 m
(2)高楼面离窗的上边框的高度。
答案　4.05 m
由题意知，窗口的高度为h3＝2 m
设高楼面离窗的上边框的高度为h0，
鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0，
联立解得h0＝4.05 m。
1.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例3　(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是
A.b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B.a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C.在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D.在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
√
√
由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差Δv＝gt－g(t－1 s)＝10 m/s，即速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。
自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
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竖直上抛运动
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考点二
1.运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做 运动。
2.运动性质： 直线运动。
3.基本规律
(1)速度与时间的关系式： 。
(2)位移与时间的关系式： 。
自由落体
匀变速
v＝v0－gt
4.竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过
程中从C→A所用时间tCA ，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过
A点的速度大小 。
相等
相等
思考　物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
答案　速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。
例4　为测试一物体的耐摔性，在离地25 m高处，将其以20 m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)经过多长时间到达最高点；
答案　2 s　
运动到最高点时速度为0，
(2)抛出后离地的最大高度是多少；
答案　45 m
所以Hmax＝hmax＋h0＝45 m
(3)经过多长时间回到抛出点；
答案　4 s
法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2 s，
解得t2＝2 s，故t＝t1＋t2＝4 s
解得t3＝0(舍去)，t4＝4 s
(4)经过多长时间落到地面；
答案　5 s
法一：分段法
法二：全程法
解得t6＝－1 s(舍去)，t7＝5 s
(5)经过多长时间离抛出点15 m。
当物体在抛出点上方时，h＝15 m，
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－ (以竖直向上为正方向)
若v>0，物体上升，若v<0，物体下落
若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
1.竖直上抛运动的研究方法：
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
例5　打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为9∶1，不计空气
阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则弹丸在上升过程中最初1 s内
中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为
A.45 m/s　125 m B.45 m/s　75 m
C.36 m/s　125 m D.36 m/s　75 m
√
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匀变速直线运动中的多过程问题
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考点三
例6　(2024·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用。我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中，如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1＝205 m处，t＝0时刻，它以加速度a1＝6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1＝75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2＝70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2，求：
(1)无人机从t＝0时刻到重新悬停在距目标高度为H2
＝70 m处的总时间t；
答案　9 s
联立解得t＝t1＋t2＝9 s
(2)若无人机在距目标高度为H2＝70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，恢复动力后的最小加速度大小。
答案　4 m/s2
无人机自由下落2 s末的速度为v0＝gt′＝20 m/s
匀变速直线运动多过程的解题策略
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
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2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。
课时精练
1.(2023·广东卷·3)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是
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铯原子团仅受重力的作用，加速度g竖直向下，大小恒定，在v－t图像中，斜率绝对值等于重力加速度，故斜率不变，所以v－t图像应该是一条倾斜的直线，故选项A、B错误；
因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C错误，D正确。
2.(2021·湖北卷·2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为
A.0.2 s B.0.4 s C.1.0 s D.1.4 s
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则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，故B正确。
3.(2023·北京市东城区期末)甲、乙两物体距地面的高度之比为1∶2，所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是
A.甲、乙落地时的速度大小之比为1∶
B.所受重力较大的乙物体先落地
C.在两物体均未落地前，甲、乙的加速度大小之比为1∶2
D.在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离越来越近
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由于两物体都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故C错误；
由于两物体都做自由落体运动且同时下落，则在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离不变，故D错误。
4.(2023·黑龙江大庆市三模)一个物体从离地某一高度处开始做自由落体运动，该物体第1 s内的位移恰为最后1 s内位移的二分之一，已知重力加速度大小取10 m/s2，则它开始下落时距落地点的高度为
A.15 m B.12.5 m
C.11.25 m D.10 m
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5.(2024·山东德州市第一中学开学考)物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。如图所示，一同学将两个相同的铁球1、2用长L＝3.8 m的细线连接。用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间差
Δt＝0.2 s，g＝10 m/s2，则桥面该处到水面的高度为
A.22 m B.20 m
C.18 m D.16 m
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6.如图所示，2022年3月5号，西昌卫星发射中心发射了“长征二号”丙运载火箭，上面有六颗02批卫星和一颗商业遥感卫星。若“长征二号”丙运载火箭及其卫星总质量为240吨，总长为43 m，发射塔高100.0 m，点火后经5.0 s火箭离开发射塔。假设火箭离开发射塔的过程中做
匀加速直线运动，忽略空气阻力和运载火箭质量的变化，
取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)火箭离开发射塔瞬间的速度大小；
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答案　40 m/s　
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(2)火箭起飞时推动力大小；
答案　4.32×106 N
根据牛顿第二定律F－mg＝ma
得F＝m(g＋a)＝4.32×106 N
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(3)若火箭刚离开发射塔瞬间，某个发射用到的部件完成使命正好从火箭尾部自然脱落，求该部件脱落后经多长时间落地。
答案　10 s
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所以离地高度为H＝h＋d＝180 m
所以脱落后到落地时间为10 s。
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8.在离水平地面高H处，以大小均为v0 的初速度同时竖直向上和向下抛出甲、乙两球，不计空气阻力，下列说法中正确的是
A.甲球相对乙球做匀变速直线运动
B.在落地前甲、乙两球间距离均匀增大
C.两球落地的速度差与v0、H有关
D.两球落地的时间差与v0、H有关
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甲、乙两球加速度相同，故甲球相对于乙球做匀速直线运动，在落地前二者距离不断均匀增大，A错误，B正确；
根据竖直上抛的对称性，甲球回到抛出点时速度大小为v0，方向竖直向下，两球落地的速度差为零，与v0、H均无关，C错误；
由竖直上抛的对称性可知，两球落地的时间差Δt＝ ，与v0 有关，与H无关，D错误。
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9.(多选)(2024·黑龙江佳木斯市开学考)如图所示的自由落锤式强夯机将8～30 t的重锤从6～30 m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为t1、从自由下落到运动至最低点经历的时间为t2，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，不计空气阻力，则该次夯土作业
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D.重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
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10.(2023·山东烟台市一模)甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为
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11.(多选)(2024·四川成都市石室中学月考)小红用频闪照相法研究竖直上抛运动，拍照频率为5 Hz，某次实验时小球以某一初速度竖直上抛，照相机在此过程中曝光了8次，由于上升过程和下降过程小球经过相同位置时都被曝光，所以在底片上记录到如图所示的4个位置，a、b两点间距离为l1，b、c两点间距离为l2，c、d两点间距离为l3，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是
A.小球经过b点时的速度大小为0.4 m/s
B.a点距竖直上抛的最高点的距离为2.45 m
C.l1∶l2∶l3＝3∶2∶1
D.l1∶l2∶l3＝5∶3∶1
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初速度为0的匀加速直线运动在连续相同时间内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11∶13，若从最高点至a点分为7个相同的时间间隔，每个时间间隔为0.1 s，满足l1∶l2∶l3＝(13＋11)∶(9＋7)∶(5＋3)＝3∶2∶1，选项C正确，选项D错误。
12.如图所示，A、B为空心圆管的两端、C为可视为质点的小球，AB长度为L＝1 m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝20 m。
t＝0时刻，空心圆管做自由落体运动，C从地面以初速度v0开
始做竖直上抛运动，g＝10 m/s2。
(1)要使C在空心圆管落地前穿过空心圆管，v0应大于多少？
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答案　10.5 m/s
C在圆管落地前穿过圆管的条件是，圆管落地的瞬间小球经过B端，此过程小球的速度为最小值。设圆管的落地时间为t，则h＝ ，
解得t＝2 s，此时C恰好经过B端，
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解得vmin＝10.5 m/s，即v0应大于10.5 m/s。
(2)若v0＝20 m/s，求C从A端穿过空心圆管所用的时间。(不考虑圆管落地后的情形)
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答案　0.05 s
由上述分析可知，小球一定在空中穿过圆管，设C到达A端的时间为t1，
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设C到B端的时间为t2，
C从A端穿过圆管所用的时间为Δt＝t2－t1
解得Δt＝0.05 s。第3课时　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目标要求　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2.能灵活处理多过程问题。
考点一　自由落体运动
1．条件：物体只受重力，从静止开始下落。
2．运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。
3．基本规律：
(1)速度与时间的关系式：v＝gt。
(2)位移与时间的关系式：h＝gt2。
(3)速度位移关系式：v2＝2gh。
1．重的物体总是比轻的物体下落得快。(　×　)
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(　√　)
3．自由落体加速度的方向垂直地面向下。(　×　)
4．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。(　√　)
5．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(　√　)
例1　对于自由落体运动(g＝10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
答案　B
解析　在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶4∶9，故A错误；在相邻两个1 s内的位移之差都是Δx＝gT2＝10 m，故B正确；在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比为1∶3∶5，所以平均速度大小之比为1∶3∶5，故C错误；在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶2∶3，故D错误。
例2　(2024·山东临沂市第三中学月考)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小；
(2)高楼面离窗的上边框的高度。
答案　(1)20 m/s　15 m　(2)4.05 m
解析　(1)根据速度位移关系v2＝2gh，解得鸡蛋落地时速度大小为v＝20 m/s，设鸡蛋自由下落时间为t，根据速度时间关系得t＝＝2 s
鸡蛋在第1 s内的位移为h1＝gt12＝5 m
则鸡蛋落地前最后1 s内的位移大小为
h2＝h－h1＝15 m
(2)由题意知，窗口的高度为h3＝2 m
设高楼面离窗的上边框的高度为h0，
鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0，
则h0＝gt02，h0＋h3＝g(t0＋Δt)2
联立解得h0＝4.05 m。
1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例3　(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
答案　BC
解析　b球下落高度为20 m时，t1＝＝ s＝2 s，则a球下落了3 s，a球的速度大小为v＝30 m/s，故A错误；a球下落的总时间为t2＝ s＝5 s，a球落地瞬间b球下落了4 s，b球的下落高度为h′＝×10×42 m＝80 m，故b球离地面的高度为h″＝(125－80) m＝45 m，故B正确；由自由落体运动的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差Δv＝gt－g(t－1 s)＝10 m/s，即速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误。
自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
考点二　竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。
2．运动性质：匀变速直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝v0－gt。
(2)位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2。
4．竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
思考　物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
答案　速度为负值，表示物体运动方向向下；位移为负值，表示物体已经运动到抛出点下方。
例4　为测试一物体的耐摔性，在离地25 m高处，将其以20 m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)经过多长时间到达最高点；
(2)抛出后离地的最大高度是多少；
(3)经过多长时间回到抛出点；
(4)经过多长时间落到地面；
(5)经过多长时间离抛出点15 m。
答案　(1)2 s　(2)45 m　(3)4 s　(4)5 s
(5)1 s　3 s　(2＋)s
解析　(1)运动到最高点时速度为0，
由v＝v0－gt1得t1＝－＝＝2 s
(2)由v02＝2ghmax得hmax＝＝20 m，
所以Hmax＝hmax＋h0＝45 m
(3)法一：分段，由(1)(2)知上升时间t1＝2 s，
hmax＝20 m，下落时，hmax＝gt22，
解得t2＝2 s，故t＝t1＋t2＝4 s
法二：由对称性知返回抛出点时速度为20 m/s，方向向下，则由v1＝v0－gt，得t＝－＝4 s
法三：由h＝v0t－gt2，令h＝0，
解得t3＝0(舍去)，t4＝4 s
(4)法一：分段法
由Hmax＝gt52，解得t5＝3 s，故t总＝t1＋t5＝5 s
法二：全程法
由－h0＝v0t′－gt′2
解得t6＝－1 s(舍去)，t7＝5 s
(5)当物体在抛出点上方时，h＝15 m，
由h＝v0t－gt2，解得t8＝1 s，t9＝3 s，
当物体在抛出点下方时，h＝－15 m，由h＝v0t－gt2，得t10＝(2＋) s，t11＝(2－) s(舍去)。
1．竖直上抛运动的研究方法：
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
例5　打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则弹丸在上升过程中最初1 s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为(　　)
A．45 m/s　125 m B．45 m/s　75 m
C．36 m/s　125 m D．36 m/s　75 m
答案　A
解析　射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式h＝gt2，弹丸最后1 s内上升的高度h1＝×10×12 m＝5 m，则最初1 s内上升的高度h2＝9h1＝45 m，最初1 s内中间时刻的速度v＝＝ m/s＝45 m/s，弹丸的初速度v0＝v＋gt′＝45 m/s＋10×0.5 m/s＝50 m/s，故上升的最大高度为h＝＝ m＝125 m，故选A。
考点三　匀变速直线运动中的多过程问题
例6　(2024·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用。我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中，如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1＝205 m处，t＝0时刻，它以加速度a1＝6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1＝75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2＝70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2，求：
(1)无人机从t＝0时刻到重新悬停在距目标高度为H2＝70 m处的总时间t；
(2)若无人机在距目标高度为H2＝70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，恢复动力后的最小加速度大小。
答案　(1)9 s　(2)4 m/s2
解析　(1)设无人机下降过程最大速度为v，向下加速时间为t1，减速时间为t2，则由匀变速直线运动规律有h1＝a1t12，v＝a1t1，H1－H2－h1＝t2，
联立解得t＝t1＋t2＝9 s
(2)无人机自由下落2 s末的速度为v0＝gt′＝20 m/s
2 s内向下运动的位移为x1＝gt′2＝20 m
设其向下减速的加速度大小为a2时，恰好到达地面前瞬间速度为零，此时a2为最小加速度大小，则H2－x1＝，代入数据解得a2＝4 m/s2。
匀变速直线运动多过程的解题策略
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。
课时精练
1．(2023·广东卷·3)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是(　　)
答案　D
解析　铯原子团仅受重力的作用，加速度g竖直向下，大小恒定，在v－t图像中，斜率绝对值等于重力加速度，故斜率不变，所以v－t图像应该是一条倾斜的直线，故选项A、B错误；因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C错误，D正确。
2．(2021·湖北卷·2)2019年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中，陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(　　)
A．0.2 s B．0.4 s C．1.0 s D．1.4 s
答案　B
解析　陈芋汐下落的整个过程所用的时间为
t＝＝ s≈1.4 s
下落前5 m的过程所用的时间为
t1＝＝ s＝1 s
则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t2＝t－t1＝0.4 s，故B正确。
3．(2023·北京市东城区期末)甲、乙两物体距地面的高度之比为1∶2，所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙落地时的速度大小之比为1∶
B．所受重力较大的乙物体先落地
C．在两物体均未落地前，甲、乙的加速度大小之比为1∶2
D．在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离越来越近
答案　A
解析　由于不计空气阻力，两物体均做自由落体运动，由v2＝2gh可知v＝，所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶，故A正确；由h＝gt2可知t＝，所以物体做自由落体运动的时间取决于高度，与物体所受重力的大小无关，即甲物体先落地，故B错误；由于两物体都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故C错误；由于两物体都做自由落体运动且同时下落，则在两物体均未落地前，甲、乙之间的距离不变，故D错误。
4．(2023·黑龙江大庆市三模)一个物体从离地某一高度处开始做自由落体运动，该物体第1 s内的位移恰为最后1 s内位移的二分之一，已知重力加速度大小取10 m/s2，则它开始下落时距落地点的高度为(　　)
A．15 m B．12.5 m C．11.25 m D．10 m
答案　C
解析　物体第1 s内的位移为h1＝gt02＝×10×12 m＝5 m，则物体最后1 s内的位移为h2＝2h1＝10 m，又gt总2－g(t总－1 s)2＝h2，解得t总＝1.5 s，则物体开始下落时距落地点的高度为h＝gt总2＝×10×1.52 m＝11.25 m，故选C。
5.(2024·山东德州市第一中学开学考)物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。如图所示，一同学将两个相同的铁球1、2用长L＝3.8 m的细线连接。用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，桥面处的接收器测得两球落到水面的时间差Δt＝0.2 s，g＝10 m/s2，则桥面该处到水面的高度为(　　)
A．22 m B．20 m C．18 m D．16 m
答案　B
解析　设桥面该处到水面的高度为h，根据自由落体运动位移公式，对铁球2有h＝gt22，对铁球1有h－L＝gt12，又t2－t1＝Δt，解得h＝20 m，故选B。
6.如图所示，2022年3月5号，西昌卫星发射中心发射了“长征二号”丙运载火箭，上面有六颗02批卫星和一颗商业遥感卫星。若“长征二号”丙运载火箭及其卫星总质量为240吨，总长为43 m，发射塔高100.0 m，点火后经5.0 s火箭离开发射塔。假设火箭离开发射塔的过程中做匀加速直线运动，忽略空气阻力和运载火箭质量的变化，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
(1)火箭离开发射塔瞬间的速度大小；
(2)火箭起飞时推动力大小；
(3)若火箭刚离开发射塔瞬间，某个发射用到的部件完成使命正好从火箭尾部自然脱落，求该部件脱落后经多长时间落地。
答案　(1)40 m/s　(2)4.32×106 N　(3)10 s
解析　(1)设发射塔高为h，根据平均速度公式h＝t，得v＝＝40 m/s
(2)火箭上升时的加速度为a＝＝8 m/s2
根据牛顿第二定律F－mg＝ma
得F＝m(g＋a)＝4.32×106 N
(3)方法一：脱离后部件还将继续做竖直上抛运动，d＝＝80 m，
所以离地高度为H＝h＋d＝180 m
上升过程所用的时间t1＝＝4 s
下降过程所用的时间t2＝＝6 s
所以脱落后到落地时间为10 s。
方法二：根据－h＝vt－gt2，得t＝10 s。
7.如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)
A．1<<2 B．2<<3
C．3<<4 D．4<<5
答案　C
解析　由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3<<4，选项C正确。
8．在离水平地面高H处，以大小均为v0 的初速度同时竖直向上和向下抛出甲、乙两球，不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　)
A．甲球相对乙球做匀变速直线运动
B．在落地前甲、乙两球间距离均匀增大
C．两球落地的速度差与v0、H有关
D．两球落地的时间差与v0、H有关
答案　B
解析　甲、乙两球加速度相同，故甲球相对于乙球做匀速直线运动，在落地前二者距离不断均匀增大，A错误，B正确；根据竖直上抛的对称性，甲球回到抛出点时速度大小为v0，方向竖直向下，两球落地的速度差为零，与v0、H均无关，C错误；由竖直上抛的对称性可知，两球落地的时间差Δt＝，与v0 有关，与H无关，D错误。
9.(多选)(2024·黑龙江佳木斯市开学考)如图所示的自由落锤式强夯机将8～30 t的重锤从6～30 m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为t1、从自由下落到运动至最低点经历的时间为t2，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，不计空气阻力，则该次夯土作业(　　)
A．重锤下落时离地高度为gt12
B．重锤接触地面后下降的距离为gt1t2
C．重锤接触地面后的加速度大小为
D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
答案　AC
解析　作出重锤的v－t图像，如图所示，根据自由落体运动规律可知，重锤下落时离地高度为h1＝gt12，根据匀变速直线运动中平均速度＝可知，重锤在空中运动的平均速度等于接触地面后的平均速度，A正确，D错误；根据s＝t可知，重锤下落时离地高度h1和重锤接触地面后下降距离h2之比为＝，故重锤接触地面后下降的距离为h2＝gt1(t2－t1)，B错误；根据v＝at可知，重锤接触地面后的加速度大小为a＝＝，C正确。
10.(2023·山东烟台市一模)甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为(　　)
A.gt22 B.g(t22－t12)
C.g(t22－t12) D.g(t22－t12)
答案　D
解析　根据竖直上抛运动规律，竖直向上运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间为t＝，甲小球到达的最高点高度为h＝g()2＝gt22，甲小球下落的高度为h′＝g(－)2＝gt12，故该位置距离抛出点的高度为h″＝h－h′＝g(t22－t12)，故选D。
11.(多选)(2024·四川成都市石室中学月考)小红用频闪照相法研究竖直上抛运动，拍照频率为5 Hz，某次实验时小球以某一初速度竖直上抛，照相机在此过程中曝光了8次，由于上升过程和下降过程小球经过相同位置时都被曝光，所以在底片上记录到如图所示的4个位置，a、b两点间距离为l1，b、c两点间距离为l2，c、d两点间距离为l3，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是(　　)
A．小球经过b点时的速度大小为0.4 m/s
B．a点距竖直上抛的最高点的距离为2.45 m
C．l1∶l2∶l3＝3∶2∶1
D．l1∶l2∶l3＝5∶3∶1
答案　BC
解析　频闪照相的时间间隔T＝＝0.2 s，题图中所有位置曝光两次，所以d点到竖直上抛的最高点的时间间隔为t＝，所以从最高点开始至下落到b点经历的时间为tb＝t＋2T＝T＝0.5 s，小球经过b点时的速度大小为vb＝gtb＝5 m/s，选项A错误；从最高点下落到a点经历的时间为ta＝t＋3T＝T＝0.7 s，所以a点距竖直上抛的最高点的距离为ha＝gta2＝2.45 m，选项B正确；初速度为0的匀加速直线运动在连续相同时间内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11∶13，若从最高点至a点分为7个相同的时间间隔，每个时间间隔为0.1 s，满足l1∶l2∶l3＝(13＋11)∶(9＋7)∶(5＋3)＝3∶2∶1，选项C正确，选项D错误。
12.如图所示，A、B为空心圆管的两端、C为可视为质点的小球，AB长度为L＝1 m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝20 m。t＝0时刻，空心圆管做自由落体运动，C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动，g＝10 m/s2。
(1)要使C在空心圆管落地前穿过空心圆管，v0应大于多少？
(2)若v0＝20 m/s，求C从A端穿过空心圆管所用的时间。(不考虑圆管落地后的情形)
答案　(1)10.5 m/s　(2)0.05 s
解析　(1)C在圆管落地前穿过圆管的条件是，圆管落地的瞬间小球经过B端，此过程小球的速度为最小值。设圆管的落地时间为t，则h＝gt2，
解得t＝2 s，此时C恰好经过B端，
则有vmint－gt2＝L
解得vmin＝10.5 m/s，即v0应大于10.5 m/s。
(2)由上述分析可知，小球一定在空中穿过圆管，设C到达A端的时间为t1，
则有(v0t1－gt12)＋gt12＝h
设C到B端的时间为t2，
则有(v0t2－gt22)＋gt22＝h＋L
C从A端穿过圆管所用的时间为Δt＝t2－t1
解得Δt＝0.05 s。第3课时　自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题
目标要求　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。2.能灵活处理多过程问题。
考点一　自由落体运动
1．条件：物体只受________，从____________开始下落。
2．运动性质：初速度为零、加速度为g 的匀加速直线运动。
3．基本规律：
(1)速度与时间的关系式：________。
(2)位移与时间的关系式：____________。
(3)速度位移关系式：____________。
1．重的物体总是比轻的物体下落得快。(　　)
2．同一地点，轻重不同的物体的g值一样大。(　　)
3．自由落体加速度的方向垂直地面向下。(　　)
4．做自由落体运动的物体在1 s内速度增加约9.8 m/s。(　　)
5．不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定。(　　)
例1　对于自由落体运动(g＝10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．在前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比是1∶3∶5
B．在相邻两个1 s内的位移之差都是10 m
C．在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度大小之比是1∶2∶3
D．在1 s末、2 s末、3 s末的速度大小之比是1∶3∶5
例2　(2024·山东临沂市第三中学月考)某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，忽略空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小；
(2)高楼面离窗的上边框的高度。
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1．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故初速度为零的匀加速直线运动的规律、比例关系及推论等规律都适用。
2．物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
例3　(多选)从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　)
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球速度差恒定
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大。
考点二　竖直上抛运动
1．运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做____________运动。
2．运动性质：________直线运动。
3．基本规律
(1)速度与时间的关系式：________________________________________________________。
(2)位移与时间的关系式：_______________________________________________________。
4．竖直上抛运动的对称性(如图所示)
(1)时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA________，同理tAB＝tBA。
(2)速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小________。
思考　物体做竖直上抛运动，竖直向上为正方向，在上述速度与时间的关系式中，把时间t代入后，若v为负值，负号表示什么意义？在上述位移与时间的关系式中，把时间t代入后，若位移为负值，又表示什么意义？
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例4　为测试一物体的耐摔性，在离地25 m高处，将其以20 m/s的速度竖直向上抛出，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)经过多长时间到达最高点；
(2)抛出后离地的最大高度是多少；
(3)经过多长时间回到抛出点；
(4)经过多长时间落到地面；
(5)经过多长时间离抛出点15 m。
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1．竖直上抛运动的研究方法：
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
2.竖直上抛运动的多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
例5　打弹弓是一款传统游戏，射弹花样繁多，燕子钻天是游戏的一种，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1 s内上升的高度与最后1 s内上升的高度之比为9∶1，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则弹丸在上升过程中最初1 s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为(　　)
A．45 m/s　125 m B．45 m/s　75 m
C．36 m/s　125 m D．36 m/s　75 m
考点三　匀变速直线运动中的多过程问题
例6　(2024·湖北武汉市第二中学月考)无人机在生产生活中有广泛应用。我国林业部门将无人机运用于森林防火工作中，如图所示，某架无人机执行火情察看任务，悬停在目标正上方且距目标高度为H1＝205 m处，t＝0时刻，它以加速度a1＝6 m/s2竖直向下匀加速运动距离h1＝75 m后，立即向下做匀减速直线运动直至速度为零，重新悬停在距目标高度为H2＝70 m的空中，然后进行拍照。重力加速度大小取10 m/s2，求：
(1)无人机从t＝0时刻到重新悬停在距目标高度为H2＝70 m处的总时间t；
(2)若无人机在距目标高度为H2＝70 m处悬停时动力系统发生故障，自由下落2 s后恢复动力，要使其不落地，恢复动力后的最小加速度大小。
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匀变速直线运动多过程的解题策略
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量。
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键。

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